[PDF] DROITES ET PLANS DANS LESPACE 30 Haz 2015 Chapitre :Droites

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DROITES ET PLANS DANS L"ESPACE

Ph DEPRESLE

30 juin 2015

Tabledes matières

1 Parallélisme dans l"espace2

2 Géométrie vectorielle2

2.1 Vecteurs de l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Vecteurs colinéaires-Caractérisation d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.3 Vecteurs coplanaires-Caractérisation vectorielle d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Géométrie analytique : repère dans l"espace4

3.1 Repère- Coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Représentation paramétrique d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.3 Représentation paramétrique d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Produit scalaire dans l"espace5

5 Équations cartésiennes d"unplan dans un repère orthonormal6

5.1 Caractérisation d"un plan à l"aide d"un vecteur normal et d"un point. . . . . . . . . . . . 6

5.2 Équation cartésienne d"un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6 Droites orthogonales6

6.1 Droites orthogonales. Droites perpendiculaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

6.2 Droites perpendiculaires à un plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

7 QCM8

8 EXERCICES: Les exercices debase10

9 EXERCICES: Les exercices debase ( corrigés)13

1 Chapitre :Droites et plans dans l"espaceTerminale S

1 Parallélisme dans l"espace

Théorème 1.Si une droite d est parallèle à une droite d" incluse dans un plan P, alors d est parallèle

au plan P.

Théorème 2.Une droite d est parallèle à un plan P si elle est parallèle à une droite d" de P.

Théorème 3.Soit P1et P2deux plans parallèles. Alors tout planQ qui coupe l"un coupe l"autre et les droites d"intersectionsont parallèles.

Théorème 4.(Théorème du toit)

Si d

1et d2sont deux droites parallèles contenues respectivement dans deux plansP1etP2.

Si les deux plansP1etP2sontsécants, alorsleur droite d"intersectionest parallèleaux droites d1et d2.

2 Géométrie vectorielle

2.1 Vecteursde l"espace

Les vecteurs de l"espace sont définis comme les vecteurs du plan. Propriétés 1.Soit A,B,C,D quatre points de l"espace.

Les vecteurs# »AB et# »CD sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme

(éventuellement aplati). A? B? C ?D? E?F? G ?H Par exemple :-→AB=-→EF=--→HG=--→DC.

Propriétés 2.

Soit

#»u un vecteur. Pour tout point M de l"espace, il existe un pointunique M tel que# »0M=#»u.

Les règles de calcul sont les mêmes qu"avec les vecteurs du plan. Relation de Chasles :# »AB+# »BG=# »AG

2.2 Vecteurscolinéaires-Caractérisationd"une droite

Définition 1.

Soient

#»u et#»v deux vecteurs de l"espace. On dit que les vecteurs#»u et#»v sont colinéaires si l"un des deux

vecteurs est nul, ou s"il existe un réel k tel que#»v=k#»u.

Propriétés 3.

Lesvecteurs

#»u et#»v sontcolinéairessietseulementsiilexistedeuxréelsαetβnonsimultanémentnuls

tels queα#»u+β#»v=#»0.

Ph DEPRESLE: Notes de coursPage 2 sur

16 Chapitre :Droites et plans dans l"espaceTerminale S

Propriétés 4.

?Soient quatre points du plan A,B,C,D tels que A?=B et C?=D. Les droites(AB)et(CD)sont paral- lèles si et seulement si les vecteurs# »AB et# »CD sont colinéaires.

?Les points A,B,C sont alignés si et seulement si les vecteurs# »AB et# »AC sont colinéaires.

Définition 2.Soit une droite(d). On dit que le vecteur non nul#»u est un vecteur directeur de la droite

(d)si il existe deux points A et B de la droite(d)tels que#»u=# »AB. Propriétés 5.Caractérisation vectorielle d"une droite

Soit A un point de l"espace et#»u un vecteurnon nul. Alorsla droite passantpar A etde vecteurdirecteur#»u est l"ensemble des points M de l"espace tels que# »AM et#»u sont colinéaires.

2.3 Vecteurscoplanaires-Caractérisation vectorielled"un plan

Définition 3.

Soient

#»u;#»v;#»w trois vecteurs de l"espace, A un point de l"espace et B,C,D les points tels que#»u=# »AB ;#»v=# »AC ;#»w=# »AD.

On dit quelesvecteurs#»u;#»v;#»w sontcoplanairessiilexisteunplan quicontientlespoints A,B,C,D. On

dit que les quatre points A,B,C,D sont coplanaires. Propriétés 6.Soient#»u;#»v;#»w trois vecteurs de l"espace : - Si#»u;#»v colinéairesalors#»u;#»v;#»w coplanaires. - Si#»u;#»v non colinéairesalors :

lesvecteurs#»u;#»v;#»w sontcoplanairessietseulementsiilexistedeuxréelsαetβtelsque#»w=α#»u+β#»v .

Propriétés 7.

-→u;-→v;-→w sont coplanairessi et seulement si il existe(α,β,γ)?=(0,0,0)tel que :α-→u+β-→v+γ-→w=-→0. •-→u;-→v;-→w sont non coplanairessi et seulement si dès queα-→u+β-→v+γ-→w=-→0on aα=β=γ=0.

Exemple :

ABCDEFGHest un cube.

Les pointsMetNsont définis par 3--→EM=--→EHet

3--→AN=-→AB.

Démontrer que les vecteurs-→EA,--→MN,--→HBsont coplanaires.

Solution:

3--→HE+-→EA+13-→AB

Les vecteurs-→EA,--→MN,--→HBsont coplanaires. A? B? C ?D? E?F? G ?H ?M N Propriétés 8.Caractérisation vectorielle d"un plan •Soit trois points non alignés A,B,C de l"espace.

Un point M appartient au plan(ABC)si et seulement si il existe un couple de réels(x,y)tel que--→AM=x-→AB+y-→AC.

•Soit A un point de l"espace et deux vecteurs non colinéaires-→u et-→v . L"ensemble des points M de l"espace tels que--→AM=x-→u+y-→u est un plan. On l"appelle plan passant par A et dirigé par-→u et-→v .

Ph DEPRESLE: Notes de coursPage 3 sur

16 Chapitre :Droites et plans dans l"espaceTerminale S

3 Géométrie analytique: repère dans l"espace

3.1 Repère- Coordonnées

Théorème 5.Soit-→i,-→j,-→k trois vecteurs non coplanaires. Alors pour tout point vecteur#»u de l"espace, il existe un unique triplet(x,y,z)tel que : u=x-→i+y-→j+z-→k

Définition 4.

•Un repère de l"espace est constituéd"un pointO et de trois vecteurs non coplanaires-→i,-→j,-→k .

On le note(O;#»i,#»j,#»k).

•Soit-→v un vecteur de l"espace.

Il existe un unique triplet(x,y,z)de réels tel que-→v=x-→i+y-→j+z-→k . On l"appelle triplet de coordonnées de#»v dans le repère(O;#»i,#»j,#»k).

•Soit M un point de l"espace.Il existe un unique triplet(x,y,z)de réels tel que--→OM=x-→i+y-→j+z-→k .

On l"appelletripletde coordonnéesde M dans lerepère(O;#»i,#»j,#»k). ( x abscisse, y ordonnée, z côte)

Propriétés 9.Tous les résultats de la géométrie plane s"étendent à l"espace en ajoutant une troisième

coordonnée

•Si-→u((x

y z)) et-→v((x? y z et siα?Ralors : u+-→v((x+x? y+y? z+z?)) etα-→u((αx αy

αz))

•Si A(xA;yA;zA)et B(xB;yB;zB)alors :

AB((x B-xA y B-yA z

B-zA))

•Le milieu I de[AB]a pour coordonnées I?xA+xB

2;yA+yB2;zA+zB2?

3.2 Représentationparamétrique d"une droite

L"espace est muni d"un repère (O;#»i,#»j,#»k). Soit la droitedpassant parA(x0;y0;z0) et dirigé par-→u((α M?dsi et seulement si il existet?Rtel que# »AM=t#»u.

Cette condition équivaut à :???x=x0+tα

y=y0+tβ z=z0+tγt?R.

Définition 5.

On dit que

?x=x0+tα y=y0+tβ z=z0+tγt?R. est une représentationparamétrique de d.

Ph DEPRESLE: Notes de coursPage 4 sur

16 Chapitre :Droites et plans dans l"espaceTerminale S

3.3 Représentationparamétrique d"un plan

L"espace est muni d"un repère (O;#»i,#»j,#»k). Soit le planPpassant par le pointA(xA,yA,zA) et dirigé par les vecteurs#»u((α et#»v((α? non colinéaires. M(x,y,z)?Psi et seulement si il existe deux réelstett?tels que# »AM=t#»u+t?#»v. Cette condition équivaut à :???x-xA=tα+t?α? y-yA=tβ+t?β? z-zA=tγ+t?γ?t,t??R

Définition 6.On dit que :???x=xA+tα+t?α?

y=yA+tβ+t?β? z=zA+tγ+t?γ?t,t??Rest une représentationparamétrique du plan P.

Exemple :SoitPle plan d"équation???x=-t+t?

y=-1+2t z=2+t-2t?t,t??R. Donner un point de deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Le pointM(-3,4,0) est-il un point de P?

Par exemple le pointA(0,-1,2) est un point deP.

Deux vecteurs non colinéaires dePsont par exemple :#»u((-1 2 1)) et#»v((10 -2)) Dire queMappartient au planPéquivaut à dire qu"il existet?Rett??Rtel que :???-3=-t+t?

4=-1+2t

0=2+t-2t?

C"est à dire

?t=5 2 t ?=-1 2 0=2+5

2+1ce qui est faux

Le pointMn"appartient donc pas au planP.

4 Produit scalaire dans l"espace

Définition 7.Soient#»u et#»v deux vecteursde l"espace et trois points A,B,C tels que#»u=# »AB et#»v=# »AC.

Il existe un planPqui contient A,B etC (ce plan est unique si les points ne sont pas alignés).

Le produit scalaire des vecteurs#»u et#»v , noté#»u.#»v est# »AB.# »AC calculé dansP.

On retrouve les expressions du produit scalaire dans le plan.

En particulier si dans un repère orthonormal,

#»u((x y z)) et#»v((x? y z alors #»u.#»v=xx?+yy?+zz?et||#»u||=? x2+y2+z2

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16 Chapitre :Droites et plans dans l"espaceTerminale S

Exemple :

Dans un cube d"arêteaon a :

?A? E?H D? F?G C?B # »AE.# »DG=# »AE.# »AF=AE2=a2# »AD.# »CG=# »AD.# »DH= 0

Vecteursorthogonaux

Définition 8.

On dit que les vecteurs

#»u et#»v sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul :#»u.#»v=0.

On note#»u?#»v .

5 Équations cartésiennes d"un plan dans un repère orthonormal

5.1 Caractérisationd"un plan à l"aide d"un vecteurnormal et d"un point

SoitPun plan, les droites perpendiculaires àPsont toutes parallèles entre elles. Soit#»nun vecteur directeur d"une droite perpendiculaire àP.#»nest un vecteur normal àP. Tous les vecteurs normaux àPsont colinéaires deux à deux.

SoitAun point deP.

Pest le plan passant parAet orthogonal à#»n. C"est l"ensemble des pointsMde l"espace tel que# »AM.#»n=0.

M?P??# »AM.#»n=0

P -→n ?A

5.2 Équationcartésienne d"un plan

Théorème 6.

Un plan de vecteur normal#»n((ab

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