[PDF] Mécanique quantique II 1.8.1 Définition

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Mecanique quantique II

PHQ-430Alexandre Blais

Departement de Physique

Universite de Sherbrooke

Fevrier 2014

2

Table des matieres

Table des matieres 1

1 Notation de Dirac 7

1.1 Rappel sur les fonctions d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2 Espace des etats : notation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1 Introduction des kets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2 Produit scalaire et introduction de l'espace dual . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3 Operateurs dans l'espace de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3.1 Operateur adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2 Operateur hermitique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.3 Algebre des commutateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.4 Fonction d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3.5 Derivation d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3.6 Operateurs inverses et operateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4 Representations dans l'espace des etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4.1 Relations caracteristiques d'une base orthonormee : cas discret . . . . . . . .

19

1.4.2 Relations caracteristiques d'une base orthonormee : cas continu . . . . . . . .

20

1.4.3 Representation des kets et des bras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.4.4 Representation des operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.4.5 Changement de representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.4.6 Trace d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.5 Information quantique I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
1.6 Equations aux valeurs propres et observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

1.6.1 Valeurs et etats propres d'un operateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.6.2 Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

1.6.3 Ensembles d'observables qui commutent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.7 Representations et operateurs R et P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

1.7.1 Representation de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

1.7.2 Representation d'impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1.7.3 Relation entre les representations de position et d'impulsion . . . . . . . . . .

40

4 TABLE DES MATI

ERES1.7.4 Operateurs R et P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

1.8 Produit tensoriel d'espaces d'etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

1.8.1 Denition et proprietes du produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43
1.8.2 Etats deE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

1.8.3 Produit tensoriel d'operateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

1.8.4 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

1.9 Information quantique II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

1.9.1 Impossibilite de copier l'information quantique . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

1.9.2 Registre de qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

1.9.3 Operations logiques quantiques et circuits quantiques . . . . . . . . . . . . .

48

1.10 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2 Postulats de la mecanique quantique 53

2.1 Enonce des postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

2.1.1 Description de l'etat d'un systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.1.2 Description des grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.1.3 Mesure des grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.1.4 Resultat de mesure des grandeurs physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.1.5 Reduction du paquet d'ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55
2.1.6 Evolution dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

2.1.7 Regles de quantication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

2.2 Mesures en mecanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.2.1 Valeur moyenne d'un ensemble de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57
2.2.2 Ecarts types et relations d'incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

2.2.3 Compatibilite des observables et preparation d'un etat . . . . . . . . . . . . .

60

2.2.4 Mesure d'un sous-espace et enchev^etrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.2.5 Application aux cas continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64
2.3 Evolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

2.3.1 Conservation de la norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.3.2 Theoreme d'Ehrenfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67
2.3.3 Evolution d'un systeme conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

2.3.4 Frequences de Bohr et regles de selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2.3.5 Relation d'incertitude temps-energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

2.4 Niveaux instables et temps de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

2.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

3 Systemes a deux niveaux 79

3.1 Espace de Hilbert a deux dimensions et sphere de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.2 Exemples de systemes a deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

TABLE DES MATI

ERES 53.2.1 Polarisation d'un photon (?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

3.2.2 Experience de Stern et Gerlach et Spin 1=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

3.2.3 Restriction a un systeme a deux niveaux et spin 1/2 eectif . . . . . . . . . .

86

3.3 Spin 1/2 et precession de Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

3.4 Spin 1/2 dans un champ transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

3.4.1 Champ transverse faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

3.4.2 Champ transverse intense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

3.5 Oscillations de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

3.6 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

4 Oscillateur harmonique 97

4.1 Importance de l'oscillateur harmonique en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.1.1 Loi de Hooke et approximation harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.1.2 Champ electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

4.2 Oscillateur harmonique quantique a une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100

4.2.1 Operateurs de creation et d'annihilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101
4.2.2 Energies propres et action des operateurs d'echelle . . . . . . . . . . . . . . .102

4.2.3 Representation matricielle des operateurs d'echelle . . . . . . . . . . . . . . .

105

4.2.4 Representation des etats propres dans l'espace des positions . . . . . . . . . .

106

4.2.5 Valeurs moyennes et ecarts quadratiques moyens . . . . . . . . . . . . . . . .

108

4.3 Oscillateurs harmoniques isotropes a trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . .

109

4.4 Interaction lumiere-matiere : modele Jaynes-Cummings . . . . . . . . . . . . . . . .

110
4.4.1 Etats et energies propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

4.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116

5 Moment cinetique en mecanique quantique 119

5.1 Passage au cas quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

5.1.1 Moments cinetiques orbitaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

5.1.2 Relations de commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

5.2 Moments cinetiques et rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

5.2.1 Denition de l'operateur rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

120

5.2.2 Rotations innitesimales et moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

5.2.3 Invariance sous rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

5.2.4 Generalisation au spin intrinseque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123

5.3 Theorie generale du moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

124

5.3.1 Les operateursJ+etJ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

5.3.2 Valeurs propres deJ2etJz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

5.3.3 Action deJsur les etatsjj;mi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

5.3.4 Mesures deJxetJy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

6 TABLE DES MATI

ERES5.3.5 Representations standardsjk;j;mi(?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

5.3.6 Representation matricielle du moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

5.4 Application au moment cinetique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

5.4.1 Valeurs et fonctions propres deL2etLz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

5.4.2 Base standard de l'espace des fonctions d'onde (?) . . . . . . . . . . . . . . .138

5.4.3 Mesures et previsions physiques concernantL2etLz(?) . . . . . . . . . . . .139

5.5 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

6 L'atome d'hydrogene 143

6.1 Systemes a deux corps : mouvement relatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

143

6.2 Mouvement dans un potentiel central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

145

6.3 Atome d'hydrogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146
6.3.1 Equation radiale reduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147

6.3.2 Solution asymptotique et quantication des energies . . . . . . . . . . . . . .

151
6.3.3 Etats propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

6.4 Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

A Theorie quantique de la mesure 157

Chapitre 1

Notation de Dirac

1.1 Rappel sur les fonctions d'ondesEn mecanique quantique, la fonction d'onde (r;t) represente notre connaissance de l'etat du

systeme. La mecanique quantique a une interpretation probabiliste : j (r;t)j2d3r(1.1) est donc la probabilite que la particule soit trouvee dans le volumed3rautour du pointrau temps t. Il s'agit de la regle de Born. On en deduit que la fonction d'onde est normee : Z j (r;t)j2d3r= 1:(1.2) En mecanique quantique, on s'interesse donc a l'espaceL2des fonctions de carres sommables

(i.e. celles pour lesquelles l'integrale ci-haut converge). Cet espace est toutefois trop general. On

ne s'interesse en fait qu'aux fonctions physiquement acceptables : partout denies, continues, indeniment derivables et bornees dans l'espace. On nommeFce sous-espace deL2.

Exemple 1.1.1

(Corail quantique).La gure 1.1 presente une structure connue sous le nom decorail quantique. Cette structure est realisee en manipulant, un a un a l'aide de la pointe d'un microscope a eet tunnel, des atomes de fer sur une surface de cuivre. L'image est prise a l'aide du m^eme microscope. L'intensite est donc fonction de la densite electronique, c'est a dire dej (r;t)j2d3r. On voit dans l'image au bas a droite, lorsque le cercle est complet, des ondes

electroniques stationnaires a l'interieur du cercle. Il est donc possible de \voir" le module carre de

la fonction d'onde directement avec cette technique experimentale. Le sous-espaceFdeL2forme un espace vectoriel. Par exemple, soit (r) et(r) dansF, on a evidemment que

8Notation de DiracFigure1.1: Creation d'un corail quantique. Atomes de fer sur une surface de cuivre. Image tiree de la page

web de IBM-Almaden :http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/corral.html. |1 (r) +2(r) =2(r) +1 (r)2 Faveciun nombre complexe. |[ (r) +(r)] = (r) +(r)

Il existe un (r) tel que(r) + (r) = (r);(r) = 0.

Ces expressions font partie des proprietes qui doivent ^etre respectees par les elements d'un espace

vectoriel. On verie facilement que les autres proprietes devant ^etre respectees par un espace vectoriel

le sont aussi. De plus,Fest muni d'un produit scalaire (; ) =Z d

3r(r) (r)2C(1.3)

qui est tel que (; ) = ( ;):(1.4) Les fonctions d'onde (r;t) peuvent donc ^etre vues comme des vecteurs deF. L'algebre lineaire est donc le langage mathematique pertinent a la description de a la mecanique quantique.

Remarque 1.1.1.

Il est interessant de mentionner que Born a initialement suggere que la norme j j, et non la norme carree,j j2ait une interpretation de probabilite. Ce n'est que dans une note de bas de page dans son article sur le sujet qu'il mentionne que, apres m^ure re exion, il en arrive a la conclusion que l'on doit plut^ot considerer la norme au carre. Un prix Nobel pour une note de bas de page...

Remarque 1.1.2.

Lecture suggeree :x1.A du livre de Cohen-Tannoudji et al. [1]. Ceci ne sera pas presente en classe.

1.2 Espace des etats : notation de Dirac 9

1.2 Espace des etats : notation de Dirac

1.2.1 Introduction des ketsLa description de l'etat d'une particule par sa fonction d'onde (r;t) n'est pas unique. En eet, sa

transformee de Fourier (p;t) =1p2~Z 1 1 d3r (r;t)eipr=~;(1.5) est une description equivalente. Il existe en fait une innite d'autres descriptions equivalentes. La

situation est similaire a la geometrie ou une innite de systemes de coordonnees peuvent ^etre utilises

pour representer un m^eme point. Ici, on a une innite de base sur lesquelles on peut representer la fonction d'onde, et la des ondes planes exp(ipr=~) n'en est qu'un exemple. On aimerait s'aranchir de cette dependance et avoir une description independante de toutes coordonnees. De plus, on aimerait avoir un formalisme pouvant decrire l'etat de systemes quantiques n'ayant aucun equivalent classique. Le spin de l'electron est un exemple. On ne peut en eet decrire l'etat du spin d'un electron en utilisant une fonction d'onde (r;t) dependant seulement de la positionret du tempst.

La notion de vecteur en algebre lineaire est utile car elle permet de decrire un systeme sans reference

particuliere a un systeme de coordonnees. On peut en eet faire de l'algebre lineaire de facon completement symbolique sans specier immediatement de base pour les vecteurs et les operateurs agissants sur ceux-ci.

C'est l'idee de Dirac que d'utiliser un espace vectoriel pour representer l'etat d'un systeme quantique.

On dira donc que l'etat d'un systeme quantique est un vecteur d'etat j (t)i(1.6)

qui est element de l'espace de HilbertE, aussi appeleespace des etats. On appellera ce vecteur d'etat

unket. Pour tout ket on utilisera la notation : j i:(1.7) A toute fonction d'onde (r;t)on associe donc un vecteur d'etatj (t)i. La dependance spatialer n'appara^t plus dans le ket. Nous verrons en eet plus loin que (r;t) correspond aux composantes du ketj (t)idans la baser. De m^eme, (p;t) n'est qu'une composante dej (t)idans la basep. Donc, contrairement a la representation du cours precedent de mecanique quantique ou une innite de fonctions d'ondes dierentes peuvent representer un m^eme systeme, on aura ici un ket unique representant ce m^eme etat physique. Un espace d'HilbertEest un espace vectoriel muni d'un produit scalaire hermitien deni positif. On demande aussi queEsoitcomplet: c'est-a-dire que la sequence de Cauchy de tout element deE converge vers un element deE. Cette derniere consideration plus mathematique ne sera pas bien importante pour ce cours.

10Notation de Dirac1.2.2 Produit scalaire et introduction de l'espace dual

Le produit scalaire de deux ketsj ietjiest

(j i;ji)2C:(1.8) Dirac a propose d'introduire la notation suivante pour le produit scalaire :

(j i;ji) =h ji:(1.9)En anglais, on nomme le symboleh j iunbracket. Suivant toujours la notation suggeree par Dirac,

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