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Faculté des Sciences Économiques et Sociales - Université de Lille

Licence 3 SIAD

Algèbre linéaire

Matrice inversible et déterminants

M. Pelini, V. Ledda

2 février 2018

Table des matières1 Matrices carrées inversibles et endomorphismes bijectifs1 Matrices carrées inversibles et endomorphismes bijectifs2

1.1 Définitions et premières propriétés1.1 Définitions et premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.2 Caractérisation des matrices inversibles1.2 Caractérisation des matrices inversibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2 Matrices semblables2 Matrices semblables3

2.1 Changement de bases2.1 Changement de bases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2.2 Matrices semblables2.2 Matrices semblables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3 Déterminants3 Déterminants5

3.1 Forme multilinéaire, forme alternée3.1 Forme multilinéaire, forme alternée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

3.2 Déterminant de n vecteurs deRn3.2 Déterminant de n vecteurs deRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

3.3 Déterminant d"une matrice3.3 Déterminant d"une matrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3.4 Calcul pratique du déterminant3.4 Calcul pratique du déterminant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3.5 Petits exercices3.5 Petits exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

3.6 Déterminant d"un endomorphisme3.6 Déterminant d"un endomorphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

3.7 Condition nécéssaire et suffisante d"inversibilité3.7 Condition nécéssaire et suffisante d"inversibilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

3.8 Calcul pratique de l"inverse3.8 Calcul pratique de l"inverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Matrice inversible et déterminantsChapitre 51 Matrices carrées inversibles et endomorphismes bijectifs

E désigne un espace vectoriel surR, de dimensionn(n2N).

1.1 Définitions et premières propriétésDéfinition 1.SoitM2 Mn

-Mest inversible si il existeN2 Mntelle queMN = NM = In.

On no teGLn(R), (ou, plus simplement,GLn) l"ensemble des matrices inversibles.Proposition 1.La matriceN, quand elle existe, est alors unique.

On l"appelle matrice inverse deM, on la noteM1.Preuve.Supposons qu"il existe N et N0dansMntelles que MN = NM = Inet MN0= N0M = In.

On a, en particulier, MN = I

n.

Donc, en multipliant à gauche par N

0, N0MN = N0Insoit N = N0(car N0M = In).

cqfd

Remarque 1.Soit M2 Mn, on peut montrer que :

M est inversible()M est inversible à droite()M est inversible à gauche ()il existe N2 Mntelle que MN = In()il existe N02 Mntelle que N0M = In

On a alors N = N

0= M1.

Exemple 1.Soit A = 0 1

1 0! . On A

2= I2donc A est inversible et A1= A.Proposition 2.SoitM2 Mn,Bune base deEetu2 L(E)tel queMat(u;B) = M.

Mest inversible si et seulement siuest bijectif

On a alorsM1= Mat(u1;B).Preuve.uest bijectif si et seulement si il existev2 L(E) tel queuv=vu= IdE si et seulement si il existe N2 Mntel que MN = NM = In, où N = Mat(v;B) si et seulement si M est inversible De plus, on av=u1et N = M1donc M1= Mat(u1;B).cqfdProposition 3.SoientMetNdansGLn i)M1est inversible et(M1)1= M ii)MNest inversible et(MN)1= N1M1

iii)8p2N;Mpest inversible et(Mp)1= (M1)pPreuve.La démonstration de ces résultats n"est pas trés difficile (il suffit de l"écrire...).

Nous allons, par exemple démontrer ii).

M et N sont inversibles donc M

1et N1existent. On a alors :

MNN

1M1= MInM1= MM1= Indonc MN est inversible d"inverse N1M1.cqfd2 M. Pelini, V. Ledda

Matrice inversible et déterminantsChapitre 51.2 Caractérisation des matrices inversibles

Rappel :

Soitu2 L(E), les affirmations suivantes sont équivalentes : i)uest bijectif ii)uest injectif iii)uest surjectif iv) ker( u) =f0g v) rg( u) =n Ces équivalences sont transposables dans le cas des matricesProposition 4.SoitM2 Mn

M2GLn,ker(M) =f0g ,rg(M) =nExemple 2.

Soit A = 0

BBBBBBB@1 01

2 4 6 31 31
CCCCCCCA. On peut montrer que rg(A) = 3 et donc A est inversible.

Soit B =

0

BBBBBBB@0 11

3 0 1

1 2 01

CCCCCCCA. On peut montrer que ker(B) =f0get donc B est inversible.

2 Matrices semblables

E désigne un espace vectoriel surRde dimensionnavecnentier naturel non nul.

2.1 Changement de basesDéfinition 2.SoientB= (e1;:::;en)une base deEetB0= (f1;:::;fn)une famille denvecteurs deE.

On appelle matrice de passage deBàB0, on notePBB0la matrice suivante : P

BB0= MatB(B0)

(Lajèmecolonne de cette matrice représente donc les coordonnées du vecteurfjdans la baseB)Proposition 5.PBB0est inversible si et seulement siB0est une base deE.Preuve.rg(PBB0) = rg(B0).

Pest inversible si et seulement sirg(PBB0) =nsi et seulement sirg(B0) =nsi et seulement siB0est une base

de E.cqfd

Remarque 2.On a en fait PBB0= Mat(IdE;B0;B)

Exemple 3.On noteB= (e1;e2;e3) une base deR3etB0= (f1;f2;f3) la famille définie par : f

1=e1; f2=e1+e2etf3=e1+e2+e3

On a alors P = P

BB0=0

BBBBBBB@1 1 1

0 1 1

0 0 11

CCCCCCCA3 M. Pelini, V. Ledda

Matrice inversible et déterminantsChapitre 5Exemple 4.La matricePci-dessus est inversible(en effet det(P) = 1)doncB0= (f1;f2;f3)est une base deE

et on peut démontrer que P 1=0

BBBBBBB@11 0

0 11

0 0 11

CCCCCCCA.

Exprimons d"autre part la matrice de passage deB0àB:8>>><>>>:f 1=e1 f

2=e1+e2

f

3=e1+e2+e3,8

>>><>>>:e 1=f1 e

2=f2f1

e

3=f3f2

Donc P

B0B=0

BBBBBBB@11 0

0 11

0 0 11

CCCCCCCA.

On constate que P

1= (PBB0)1= PB0BProposition 6.SoientBetB0deux bases deE, alorsPest inversible et(PBB0)1= PB0B.Preuve.Soit Q = PB0B, on a alàrs PQ = Mat(IdE;B0;B)Mat(IdE;B;B0) = Mat(IdEIdE;B;B) = In.

On en déduit donc que Q = P

1, soit (PBB0)1= PB0B.cqfdThéorème 1.SoientBetB0deux bases deE,P = PBB0etxun vecteur deE.

On noteXetX0les coordonnées dexrespectivement dans les basesBetB0.

On a alorsX = PX0.O

Preuve.

En effetP=Mat(IdE;B0;B)donc en faisant le produitPX0, on obtient les coordonnées dexdans la baseBd"où X = PX0.cqfd

Exemple 5.Reprenons l"exemple précédent :

Soitxle vecteur de coordonnées X0=0

BBBBBBB@1

2 11

CCCCCCCAdans la baseB0.

On obtient ses coordonnées X dans la baseBen faisant le produit PX0.

Donc X =0

BBBBBBB@1 1 1

0 1 1

0 0 11

CCCCCCCA0

BBBBBBB@1

2 11

CCCCCCCA=0

BBBBBBB@4

3 11

CCCCCCCA.

Soityle vecteur de coordonnées Y =0

BBBBBBB@0

1 11

CCCCCCCAdans la baseB.

On obtient ses coordonnées Y

0dans la baseB0en faisant le produit P1Y.

Donc Y

0=0

BBBBBBB@11 0

0 11

0 0 11

CCCCCCCA0

BBBBBBB@0

1 11

CCCCCCCA=0

BBBBBBB@1

2 11 CCCCCCCA.Théorème 2.SoientBetB0deux bases deE,P = PBB0etu2 L(E).

On noteA = Mat(u;B)etA0= Mat(u;B0).

On a alorsA0= P1AP.O

Preuve.Soitxun vecteur de E ety=u(x).

Si X et X

0représentent les coordonnées dexrespectivement dans les basesBetB0,4 M. Pelini, V. Ledda

Matrice inversible et déterminantsChapitre 5si Y et Y

0représentent les coordonnées deyrespectivement dans les basesBetB0,

on a alors Y = AX et Y

0= A0X0,

d"autre part on sait que Y = PY

0et X = PX0,X0= P1X

donc AX = PA

0X0,AX = PA0P1X.

Cette égalité matricielle étant vraie8X2Rn, on en déduit que A = PA0P1,A0= P1APcqfd

2.2 Matrices semblablesDéfinition 3.SoientAetBdansMn.

On dit queAetBsont semblables si9P2GLntelle queB= P1APProposition 7.Deux matrices sont semblables si et seulement sielles représentent le même endomorphisme

dans des bases différentes.Preuve.C"est une application directe du théorème ci-dessus.cqfdProposition 8.SoientAetBdansMnsemblables etP2GLntelle queB= P1AP.

Alors8k2N,AketBksont semblables et on aBk= P1AkPPreuve.Démontrons ce résultat par récurrence surk.

Pourk= 0, on a B0= Inet P1A0P = P1InP = In. Donc B0= P1A0P.

Soitk2N, on suppose que Bk= P1AkP, on a alors

B k+1= BBk= (P1AkP)(P1AP) = P1(AkA)P = P1Ak+1P Conclusion :8k2N, Aket Bksont semblables et on a Bk= P1AkP.cqfd

3 Déterminants

E désigne un espace vectoriel surRetnun entier naturel non nul.

3.1 Forme multilinéaire, forme alternéeDéfinition 4.SoitL: En7!R.

On dit que Lest multi-linéaire surEsiLest linéaire par rapport à chaque vecteur, c"est à dire :

L

(v1+0v01;v2;:::;vn) =L(v1;v2;:::;vn)+0L(v01;v2;:::;vn), pour la linéarité par rapport au premier

vecteur, par exemple.

On dit queLest alternée siLest changée en son opposé quand on permute 2 vecteurs, c"est à dire :

L(v1;v2;:::;vn) =L(v2;v1;:::;vn), par exemple.Proposition 9.SoitLune forme alternée.

Si dans le n-uplet(v1;:::;vn)deux vecteurs sont égaux alorsL(v1;:::;vn) = 0.Preuve.Soient (v1;:::;vn)nvecteurs de E.

On suppose que deux des vecteurs sont égaux, par exemplev1=v2(pour simplifier les notations). On a alors : L(v2;v1;:::;vn) = L(v1;v2;:::;vn) carv1=v2. Mais aussi : L(v2;v1;:::;vn) =L(v1;v2;:::;vn) car L est alternée. Donc L(v1;v2;:::;vn) =L(v1;v2;:::;vn))L(v1;v2;:::;vn) = 0.cqfd5 M. Pelini, V. Ledda

Matrice inversible et déterminantsChapitre 5Proposition 10.SoitLune forme multilinéaire alternée.

Si les vecteursv1;:::;vnforment une famille liée alorsL(v1;:::;vn) = 0.Preuve.Soient (v1;:::;vn)nvecteurs de E formant une famille liée.

Alors l"un des vecteurs (par exemplev1) peut s"écrire comme combinaison linéaire des autres.

9(2;:::;n)2Rn1tel quev1=2v2+:::+nvn, donc par multi-linéarité, on obtient :

L(v1;v2;:::;vn) =L(2v2+:::+nvn;v2;:::;vn) =2L(v2;v2;:::;vn)+:::+nL(vn;v2;:::;vn) = 0d"aprés la pro-

position précédente.cqfd

3.2 Déterminant de n vecteurs deRn

Théorème et définition 1.SoitBune base deRn. Il existe une unique forme multi-linéaire alternée surRntelle queL(B) = 1. Cette forme est appelée déterminant dans la baseB. Preuve.Nous allons faire la démonstration dans le cas particuliern= 2.

NotonsB= (e1;e2) une base deR2etv1= x1

y 1! B ,v2= x2 y 2! B des vecteurs deR2.

Unicité deL :

Soit L multi-linéaire alternée telle que L(e1;e2) = 1. On a alors :

L(v1;v2) = L(x1e1+y1e2;x2e1+y2e2)

=x1L(e1;x2e1+y2e2)+y1L(e2;x2e1+y2e2) car L linéaire/1ervecteur =x1x2L(e1;e1)+x1y2L(e1;e2)+y1x2L(e2;e1)+y1y2L(e2;e2) car L linéaire/2èmevecteur =x1y2L(e1;e2)+y1x2L(e2;e1) car L(e1;e1) = L(e2;e2) = 0 =x1y2y1x2car L(e2;e1) =L(e1;e2) =1 Donc on obtient que L est unique et définie par L(v1;v2) =x1y2y1x2.

Existence deL :

Il suffit de concidérerLdéfinie ci-dessus. On vérifie aisément que c"est bien une forme multilinéaire alternée

surR2et que L(e1;e2) = 1.cqfd Remarque 3.SiBest la base canonique deRn, on parlera du déterminant, sans préciser la base.

NOTATION :

Soientv1;:::;vnn vecteurs deRn, on noteradetB(v1;:::;vn)(ou plus simplementdet(v1;:::;vn)) le détermi-

nant des vecteursv1;:::;vndans la baseB. Une autre notation, souvent utilisée (surtout lors des calculs) est la suivante det

B(v1;:::;vn) =

x

11x12 x1n

x

21x22 x2n:::::::::

x n1xn2 xnn où les colonnes représentent les coordonnées des vecteursv1;:::;vndans la baseB.

En particulier det

B(v1;v2) =x

1x2 y 1y2 =x1y2y1x2(Régle du gamma). Remarque 4.D"aprés la définition, detB(B) = 1.

Exemple 6.6 M. Pelini, V. Ledda

Matrice inversible et déterminantsChapitre 5Soitv1,v2etv3les vecteurs deR3dont les coordonnées dans la base canonique sont :0BBBBBBB@1

2 31

CCCCCCCA,0

BBBBBBB@6

8 41

CCCCCCCAet0

BBBBBBB@3

3 61

CCCCCCCA.On a alorsdet(v1;v2;v3) =

1 6 3 2 8 3 3 4 6 = 2 1 3 3 2 4 3 3 2 6 = 23 1 3 1 2 4 1 3 2 2 , (car le déterminant est une application multilinéaire).

3.3 Déterminant d"une matriceDéfinition 5.SoitA2 Mn,A =aij.

On appelle déterminant de la matriceA, on notedet(A)le déterminant de ces vecteurs colonnes, c"est à dire le déterminant des vecteursv1;:::;vntels quevja pour coordonnées

0BBBBBBBBBBBBB@a

1j a 2j::: a nj1

CCCCCCCCCCCCCA

dans la base canonique deRn. det(A) = det(v1;:::;vn) = a

11a12 a1n

a

21a22 a2n:::::::::

a n1an2 ann Remarque 5.D"aprés la définition, det(In) = 1.Proposition 11.SiA2 M2,A = a b c d! alorsdet(A) =adbc.Preuve.

Ce résultat découle de la démonstration faite précédemment pour l"existence du déterminant

quandn= 2.cqfdProposition 12.SoitA2 Mn Si les colonnes deAsont linéairement dépendantes, alorsdet(A) = 0.Proposition 13.(admise) SoientAetBdansMnalorsdet(AB) = det(A)det(B).ATTENTION : Si A2 Mnet2Ralors det(A) =ndet(A). (Car det est une application multilinéaire)

3.4 Calcul pratique du déterminant7 M. Pelini, V. Ledda

Matrice inversible et déterminantsChapitre 5Proposition 14.Développement par rapport à une colonne

SoitA2 Mnetj2 f1;:::;ng.

On peut développer le déterminant deAselon lajèmecolonne avec la formule suivante det(A) = a

11a12 a1n

a

21a22 a2n:::::::::

a n1an2 ann | {z } déterminant d"ordre n= n X i=1(1)i+jaijdet(Aij) | {z } dét. d"ordre n-1

oùAijest la matrice carrée d"ordren1obtenue en barrant laièmeligne et lajèmecolonne deA.On notera l"alternance des signes devant chaque coefficient :

0BBBBBBBBBBBBBBBBBBBB@+++

+++1

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCA

Exemple 7.

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