[PDF] Première S - Décomposition de vecteurs et coordonnées

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Décomposition de vecteurs et coordonnées

I) Décomposition de vecteurs :

1) Théorème 1:

A, B et C sont trois points non alignés, alors pour tout M, il existe un

unique couple de nombre (࢞ ; ࢟) tels que : ࡭ࡹሬሬሬሬሬሬሬԦ = ࢞ ࡭࡮ሬሬሬሬሬሬԦ൅࢟ ࡭࡯ሬሬሬሬሬԦ.

Dans le repère (A ; ࡭࡮ሬሬሬሬሬሬԦ ; ࡭࡯ሬሬሬሬሬԦ) , M a pour coordonnées (࢞ ; ࢟).

2) Démonstration

‡ ([LVPHQŃH GH OM GpŃRPSRVLPLRQ :

A est un point du plan du plan. La parallèle à (AB) passant par le point M coupe (AC) en M1. La parallèle à (AC) passant par M coupe (AB) en M2.

AM1MM2 est donc un parallélogramme.

On a donc ࡭ࡹ,,,,,,,& = ࡭y૚ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ൅my૛ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ

ܣ/ଵሬሬሬሬሬሬሬሬԦ et ܥܣ ܣ/ଶሬሬሬሬሬሬሬሬԦ et ܤܣ

Finalement on obtient :

࡭ࡹ,,,,,,,& = ࢞mo,,,,,& + ࢟mn,,,,,,&

‡ 8QLŃLPp GH OM GpŃRPSRVLPLRQ :

Ainsi : (ݔFT") #%,,,,,& = ሺUᇱെU;#$,,,,,&.

Les vecteurs ܤܣ,,,,,& et ܥܣ

ݔFTᇱൌr donc ݔLTᇱ

ݕFUᇱൌr donc ݕLUᇱ

FH TXL SURXYH O XQLŃLPp GH OM GpŃRPSRVLPLRQB

3) Exemple:

A, B , C étant trois points non alignés. Les points P et R sont tels que : ࡭ࡼ,,,,,,&L Dans le repère (A ; ࡭࡮,,,,,,& ; ࡭࡯,,,,,&) :

Dans le repère (A ; ࡭࡮,,,,,,& ; ࡭࡯,,,,,&) , P a donc pour coordonnées : (3 ; 0).

Mais si on prend comme repère : (B ; ࡮࡯,,,,,,& ; ࡮࡭,,,,,,&) ,alors : Chasles : ܣn,,,,,,&En2,,,,,&Lu#$,,,,,& ܲܤ,,,,,&Lu#$,,,,,& െ ܤܣ

Dans le repère (B ; ࡮࡯,,,,,,& ; ࡮࡭,,,,,,&) P a donc pour coordonnées : (0 ; -2).

De même, dans le repère (A ; ܤܣ,,,,,& ; ܥܣ ‡ ܴܥ,,,,,&Lt%$,,,,,& , on applique la relation de Chasles : ܥ

ܣܥ,,,,,&E#4,,,,,&Lt%#,,,,,&Et#$,,,,,& ܴܣ,,,,,&Lt%#,,,,,&F%#,,,,,& + -#$,,,,,& ܴܣ,,,,,&L -#$,,,,,& + ܣܥ

࡭ࡾ,,,,,,&L ૛mn,,,,,,&Fmo,,,,,&.

Dans le repère (A ; ࡭࡮,,,,,,& ; ࡭࡯,,,,,&) R a donc pour coordonnées : (2 ; -1).

Mais si on prend comme repère : (B ; ࡮࡯,,,,,,& ; ࡮࡭,,,,,,&) ,alors : ‡ ܴܥ,,,,,&Lt%$,,,,,& , on applique la relation de Chasles : ܥ ܴܤ,,,,,&Lt%$,,,,,&F%$,,,,,& donc ܴܤ,,,,,&L ܤܥ,,,,,& ܴܤ

Dans le repère (B ; ࡮࡯,,,,,,& ; ࡮࡭,,,,,,&), R a donc pour coordonnées : (-1 ; 0).

II) Repères :

1) Définition

Il existe différents types de repères (les deux premiers ont été vus dans les classes précédentes) : Repère orthonormé : Repère orthogonal : Repère quelconque :

‡ 2H ٣ (OJ) ‡ 2H ٣

‡ 2H 2- = 1 F est un repère dont ࡻࡵሬሬሬሬሬԦൌ ଙԦ et ࡻࡶሬሬሬሬሬԦൌ ଚԦ

F est un repère dont les axes sont Les vecteurs ଙԦ et ଚԦ les axes sont perpendiculaires. ne sont pas colinéaires. perpendiculaires Pour définir un repère

HP VRQP PXQLV G XQH quelconque il nous faut :

même unité de ‡ 8Q SRLQP MSSHOp longueur. origine du repère (ici le point O)

‡ 8Q ŃRXSOH GH YHŃPHXUV

non colinéaires ici : ଙԦ et ଚԦ

‡ 2Q QRPHUM ŃH UHSqUH :

(O ; ଙԦ ; ଚԦ) ou (O ; ࡻࡵሬሬሬሬሬԦ ; ࡻࡶሬሬሬሬሬԦ)

Dans le repère (O ; ଓ& ; ଔ&) dans le repère (O ; ଓ& ; ଔ&) les coordonnées du point M sont : les coordonnées du vecteur ݑ,& sont :

M(ݔ ; ݕ) ݑ,& (ݔ ; ݕ)

2) Exemples :

Sur la figure ci-contre, ܯܱ

Les coordonnées du point M sont donc :

M (3 ; 2)

Sur la figure ci-contre, ܯܱ

Les coordonnées du point M sont donc :

M (-2 ; -1)

Sur la figure ci-contre, ܯܱ

Les coordonnées du point M sont donc :

M (-2 ; 1)

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