[PDF] Exercices corrigés sur probl`emes NP-complets

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Exercices corrig´es sur probl`emes NP-complets

Johanne Cohen

12 septembre 2018

Table des mati`eres

1 Rappel succinct de cours 1

2 Enonc

´es des exercices 5

I) Probl`eme de d´ecisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 a) Graphe eul´erien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 b) Formulation des probl`emes de d´ecisions . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 c) Probl`emes dans NP ou dans P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II) R´eduction polynomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 b) R´eduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 III) Probl`emes de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 a) Le probl`eme2-SATest dansP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 b) Variante du probl`eme 3-SAT : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 c) Le probl`emeMax2SATest NP-complet. . . . . . . . . . . . . . . . .9 d) Le probl`emek-SAT NAEest NP-complet . . . . . . . . . . . . . . . .10 IV) Diff´erentes Variantes du probl`emecycle hamiltonien. . . . . . . . . . . .11 a) Le probl`emeChaine Hamiltonienest NP-complet . . . . . . . . . .11 b) Le probl`emeChaineest NP-complet . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 c) Chevaliers de la table ronde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 d) Le probl`emeVoyageur de Commerceest NP-complet . . . . . . .11 V) Probl`emes de graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 a) Les probl`emescoloration de graphe. . . . . . . . . . . . . . . . .13 b) Le probl`eme de la clique maximum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 c) Probl`eme duSet Cover. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 d) Le probl`emeStableest NP-complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 VI) Le probl`eme duk-centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 a) Le probl`emeEnsemble dominantest NP-complet . . . . . . . . . .17 b) Le probl`emek-centreest NP-Complet . . . . . . . . . . . . . . . . .18 c) Le probl`emek-centreest in-approximable . . . . . . . . . . . . . . .18 VII) Probl`emes encodant les entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 a) Le probl`emeSOMME DE SOUS-ENSEMBLEest NP-complet . . . .19 b) Le probl`emeSOMME-DES-CARRESest NP-complet . . . . . . . . .19 2

TABLE DES MATI

`ERES3

3 Corrections des exercices 21

I) Probl`eme de d´ecisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
a) Graphe eul´erien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
b) Formulation des probl`emes de d´ecisions . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
c) Probl`emes dans NP ou dans P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II) R´eduction polynomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
b) R´eduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
III) Probl`emes de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
a) Le probl`eme2-SATest dansP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 b) Variante du probl`eme 3-SAT : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
c) Le probl`emeMax2SATest NP-complet. . . . . . . . . . . . . . . . .31 d) Le probl`emek-SAT NAEest NP-complet . . . . . . . . . . . . . . . .33 IV) Diff´erentes Variantes du probl`emecycle hamiltonien. . . . . . . . . . . .34 a) Le probl`emeChaine Hamiltonienest NP-complet . . . . . . . . . .34 b) Le probl`emeChaineest NP-complet . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 c) Chevaliers de la table ronde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
d) Le probl`emeVoyageur de Commerceest NP-complet . . . . . . .36 V) Probl`emes de graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
a) Les probl`emescoloration de graphe. . . . . . . . . . . . . . . . .38 b) Le probl`eme de la clique maximum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
c) Probl`eme duSet Cover. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 d) Le probl`emeStableest NP-complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 VI) Le probl`eme duk-centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 a) Le probl`emeEnsemble dominantest NP-complet . . . . . . . . . .47 b) Le probl`emek-centreest NP-Complet . . . . . . . . . . . . . . . . .48 c) Le probl`emek-centreest in-approximable . . . . . . . . . . . . . . .49 VII) Probl`emes encodant les entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
a) Le probl`emeSOMME DE SOUS-ENSEMBLEest NP-complet . . . .51 b) Le probl`emeSOMME-DES-CARRESest NP-complet . . . . . . . . .52

4TABLE DES MATI`ERES

Partie 1: Rappel succinct de cours

Probl`eme de d´ecision.

Unprobl`eme de d´ecisionΠ = (DΠ,OUIΠ) correspond `a un ensemble d"instancesDΠ et `a un sous-ensembleOUIΠ?DΠd"instances positives.Instance du probl`eme Π. OUI

Π.NON

Π.Les classes de complexit´e.

La classePest la classe des probl`emes de d´ecision qui admettent un algorithme de complexit´e polynomiale. La classeNPest form´ee des probl`emes de d´ecision Π qui poss`edent unv´erificateur polynomial.

P ard ´efinitionP?NP.

Un v´erificateurVest un algorithme qui prend une information en plus (certificat) pour v´erifier qu"une instance est positive.

Exemple :Graphe Hamiltonien

Probl `emede d ´ecision: Donn´ees: un graphe non-orient´eG= (V,E).

Question:Ga-il un cycle hamiltonien?

Le certificat corresp ond` aune suite Sde sommets. Le v´erificateurVv´erifie queS est un cycle et qu"il transverse chaque sommet une unique fois.Vfonctionne bien en temps polynomial. -Graphe Hamiltonienest dans NP.

Comment comparer les probl`emes

SoientAetBdeux probl`emes de d´ecision.

1

2CHAPITRE 1. RAPPEL SUCCINCT DE COURS

Uner´eduction deAversBest une fonctionf:IA→IBcalculableen temps polynomial telle quew?Oui(A) si et seulement sif(w)?Oui(B). Pour cela, il suffit de concevoir un algorithme polynomial qui permet de d´ecider si l"ins-

tance deAest positive ou non en temps polynomial :Algorithme 1 :D´ecider si l"instanceIde probl`emeAest positive ou nonOutput :un bool´eenb

d ´ebutTransformer l"instanceIen une instanceI?deBen utilisantf: I ?←f(I) ; siI?est une instance positive deIalorsalorsretournez vrai fin retournez fauxfinInstance du probl`emeAfInstance du probl`emeBAlgorithmeoui non 3

Probl`eme NP-difficile

Intuitivement : il est plus difficile que tous les probl`emes dans la classe. Un probl`emeAest ditNP-completsi en plus on aA?NP. Autrement dit :Aest

Th´eor`eme de Cook-Levin

Les probl`emes SAT et 3-SAT sontNP-complet.

Fonctions bool

´eennes

Nous allons consid´erer des fonctionsbool´eennes, c"est-`a-dire de fonctions deφde{1,0}n→

{1,0}. Les v ariablesne p euventprendre que deux v aleurs,vrai (co d´epar 1) ou faux (co d´e par 0). -φest compos´ee de variables et d"op´erateurs comme n´egation (¬) la conjonction (?) la disjonction (?), l"implication→u v¬u(u?v)u?vu→v0 01001

0 11011

1 00010

1 10111

On dira que la fonctiont:U→ {0,1}satisfaitla fonctionφsi la fonctionφretourne 1 avec les valeurs deten entr´ee. Probl `eme 3- SAT Une clauseest une fonction deφde{1,0}n→ {1,0}compos´ee de variables et d"op´erateurs comme n´egation (¬) et la disjonction (?). Par exempleC(u1,u2,u3) = (u1?u2? ¬u3) est une clause. Le probl`eme3-SATest d´efini de la fa¸con suivante Donn

´ees:

un ensembleUde variables{u1,u2,...,un} et une formule logiqueφ=C1? ··· ?C?des clauses de 3 variables Question: Existe-t-il une fonctiont:U→ {0,1}telle quetsatisfaitφ? Exemple d"instance pour le 3-SATSoitIune instance du probl`eme 3-SAT -U={u1,u2,u3,u4}de variables -φ(U) = (u1? ¬u2?u3)?(¬u1? ¬u3?u4)?(u2? ¬u3? ¬u4),

4CHAPITRE 1. RAPPEL SUCCINCT DE COURS

Remarque :3-SATest dans NP car

Certificat t:

-t=x1x2···xn? {0,1}ndonne la liste de valeurs de chaque variable.

V ´erification:

V ´erifierque trend la formuleFvraie se fait bien en un temps polynomial en la taille deF.

Comment prouver qu"un probl`eme est NP-complet

Pour prouver laNP-compl´etude d"un probl`emeA, il suffit de prouver : 1. qu"il admet un v ´erificateurp olynomial; 2.

Pourquoi?

Si Aadmet un v´erificateur polynomial, cela permet de garantir queA?NP, tout probl`emeC?NP

Une liste de probl`emes NP-complets connusSAT3-SATVC4-SAT NAECycle HamiltonienChaine Hamiltonienne3-SAT NAECliqueDominant2-partitionStableSomme de sous-ensemble

Partie 2: Enonc´es des exercices

5

6CHAPITRE 2. ENONC´ES DES EXERCICES

I)

Probl `emede d ´ecisions

a)

Graphe eul ´erien

Le grapheGesteul´eriensi il existe un cycle en empruntant exactement une fois chaque arˆete du grapheG. On rappelle qu"un graphe connexe est eul´erien si et seulement si chacun de ses sommets a un degr´e pair.

Question 1.1. Ecrire le probl`eme de d´ecision qui lui est associ´e et donner la taille de l"instance

Question 1.2. Trouver un algorithme polynomial qui d´etermine si le graphe est eul´erien. b)

F ormulationdes probl `emesde d ´ecisions

Mettre sous forme de probl`eme de d´ecision et ´evaluer la taille de leurs instances. Question 2.1. Probl`eme de savoir s"il existe un chemin entre deux sommets disjoints dans un graphe; Question 2.2. Probl`eme de connaitre la distance entre deux sommets disjoints dans un graphe; Question 2.3. Probl`eme de connaitre la longueur de la chaˆıne maximum dans un graphe pond´er´e. c)

Probl `emesdans NP ou dans P

Les probl`emes suivants sont-ils dans NP, dans P? Justifier votre r´eponse. Probl `emeP1 Donn

´ees: Un grapheG= (V,E)

Question: Existe-t-il cycle de longueur ´egale `a?|V|2 Probl `emeP2 Donn

´ees: Un grapheG= (V,E)

Question: Existe-t-il cycle de longueur ´egale `a 4? Probl `emeP3 Donn ´ees: Un grapheG= (V,E), deux sommetsuetvdistincts deGet un entierk. Question: Existe-t-il un simple chemin entreuetvde longueur inf´erieure ou ´egale `ak? Probl `emeP4 Donn

´ees: Un grapheG= (V,E), et un entierk.

Question: Existe-t-il un arbre couvrant tous les sommets deGayant moins dekfeuilles?

II). R

´EDUCTION POLYNOMIALE.7

II)

R ´eductionp olynomiale.

a)

SoientAetBdeux probl`emes de d´ecision.

Uner´eduction deAversBest une fonctionf:IA→IBcalculableen temps polynomial telle quew?Oui(A) si et seulement sif(w)?Oui(B). Question 4.3. Montrer queP=NPsi et seulement si 3-SAT?P. b)

R ´eduction

SoientA, BetQdes probl`emes de d´ecision. Supposons queAest dansP, et queBest NP-dur. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses : 1. Si Ase r´eduit polynˆomialement `aQ, alorsQest dansP. 2. Si Qse r´eduit polynˆomialement `aA, alorsQest dansP. 3. Si Qse r´eduit polynˆomialement `aB, alorsQestNP-dur. 4. Si Bse r´eduit polynˆomialement `aQ, alorsQestNP-dur.

8CHAPITRE 2. ENONC´ES DES EXERCICES

III)

Probl `emesde logique

a)

Le probl `eme2-SA Test dans P

Nous allons consid´erer de cet exercice des fonctionsbool´eennes, c"est-`a-dire de fonctions defde{1,0}n→ {1,0}. Les v ariablesne p euventprendre qu edeux v aleurs,vrai (co d´epar 1) ou faux (co d´e par 0). La f onctionb ool´eennefest compos´ee de variables et d"op´erateurs comme n´egation (¬) la conjonction (?) la disjonction (?), l"implication→.

Voici la table de v´erit´e pour les op´erateurs bool´eens cit´es ci-dessus :u v¬u(u?v)u?vu→v0 01001

0 11011

1 00010

1 10111

Consid´erons une fonctiont:U→ {0,1}. On dira que la fonctiontsatisfait la fonctionf si la fonctionfretourne 1 avec les valeurs deten entr´ee. Question 6.1. Nous allons consid´erer la fonctionφ1: telle que{1,0}3→ {1,0}.

1(x,y,z) = (y? ¬z)?(¬y?z)?(y? ¬x).

Donner une fonctiont:U→ {0,1}telle quetsatisfaitφ1

Question 6.2. Que se passe-t-il pourφ2

2(x,y,z) = (y?z)?(¬y?z)?(¬z?x)?(¬z? ¬x)?

Une clause est une fonction defde{1,0}n→ {1,0}compos´ee de variables et d"op´erateurs comme n´egation (¬) et la disjonction (?). Par exempleC(u2,u3) = (u2?¬u3) est une clause.

Donnons la d´efinition du probl`eme 2-SAT

Donn´ees: un ensembleUde variables{u1,u2,...,un}et une formule logiqueφ=C1?···?C? des clauses de 2 litt´eraux Question: Existe-t-il une fonctiont:U→ {0,1}telle quetsatisfaitφ? Question 6.3. Montrer queu?v= (¬u?v)?(¬v?u). A partir d"une instance (U,φ) de 2-SAT, nous construisons un graphe orient´eGφ= (V,E) tel que un s ommetpar un litt ´eralde U un arc par implication (en transforman tc haqueclause par deux implications)

Question 6.4. Dessiner les graphesGφ1etGφ2

Question 6.5. Montrer que siGφposs`ede un chemin entreuetv, alors il poss`ede aussi un chemin entre¬vet¬u Question 6.6. Montrer qu"il existe une variableudeUtel queGφcontient un cycle entreu vers¬usi et seulement siφn"est pas satisfiable.

III). PROBL

`EMES DE LOGIQUE9 Question 6.7. Montrer que un algorithme en temps polynomial peut r´esoudre le probl`eme

2-SAT.

Rappellons la d´efinition du probl`eme : 3-SAT

Donn´ees: Un ensembleUde variables, et une formuleFsous la forme d"une conjonction de disjonction de 3 litt´eraux (variables ou leur n´egation). Formellement : une formule

F=C1?C2··· ?C?

avec C i=yi,1?yi,2?yi,3, o`u pour touti,j,yi,jest soitxk, soit¬xkpour l"un desxk, pour des variables{x1,···,xn}

Question:D´ecider siFest satisfiable : c"est-`a-dire d´ecider s"il existex1,···,xn? {0,1}tel

queFs"´evalue `a vrai pour cette valeur de ses variablesx1,···,xn. b)

V ariantedu probl `eme3-SA T:

Donn ´ee:Une form uleF?sous la forme d"une conjonction de clauses mˆeme si chaque variable apparaisseau plus soit trois foisdansFsous sa forme n´egative ou positive. R

´eponse:D ´ecidersi F?est satisfiable.

Question 7.1. Soitx1,x2...xk, Consid´erons une formuleφpar l"ensemble dekclauses (xi? ¬xi+1) pouri= 1,...k-1, et de la clause (xk? ¬x1). Montrer que une assignationφ est satisfaite si et seulement si pouri= 1,...k-1xk=x1 Question 7.2. Prouver que ce probl`eme est dans NP. Question 7.3. Prouver que ce probl`eme est NP-complet `a partir d"une r´eduction du probl`eme

3-SAT.

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