Recherche opérationnelle
On admettra que ces résultats se généralisent `a un programme linéaire `a n variables. 1.3.6 Exercices. §. ¦. ¤. ¥. Exercice 1.
Examen de recherche opérationnelle – Corrigé
Examen de recherche opérationnelle – Corrigé. Marc Roelens. Décembre 2006. 1 Ordonnancement de tâches. 1.1. On dresse le tableau des contraintes de
GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilation réalisée à partir
Le but de cet exercice est de rechercher la limite de la suite (an) en utilisant deux méthodes différentes. Première méthode : graphe probabiliste. Pour tout
Recherche Opérationnelle:
Programmation dynamique chaînes de Markov
Précis de recherche opérationnelle
opérationnelle. Méthodes et exercices d'application édi tion du Pré cis de recherche opé ra tion nelle. ... inTroducTion À la recherche oPeraTionnelle .
Exercices corrigés sur la recherche operationnelle pdf
Exercices corrigés sur la recherche operationnelle pdf. You're Reading a Free Preview Pages 4 to 5 are not shown in this preview.
Exercice corrigé de recherche opérationnelle pdf
Exercice corrigé de recherche opérationnelle pdf. Plan de coursObjet1. La RO : problèmes méthodes
Recherche Opérationnelle-exercices-ordonnancement
21 avr. 2015 Corrigés de quelques exercices du chapitre d'ordonnancement. Du livre « Gestion des Opérations ». Prof. Mohamed El Merouani.
Introduction à loptimisation et la recherche opérationnelle (2017
Algorithme du simplexe – corrigé (20 octobre 2017) exercice il n'est pas possible d'utiliser la solution de départ usuelle qui.
Examens avec Solutions Recherche opérationnelle
Corrigé de l'examen de la session normale. Recherche opérationnelle. Semestre 6 Filière Economie et Gestion Ensembles : 2 et 3 M .ATMANI. Exercice 1.
Examen de recherche op
´erationnelle - Corrig´e
Marc Roelens
D´ecembre 2006
1 Ordonnancement de t
ˆaches
1.1On dresse le tableau des contraintes de pr
´ec´edence :T
ˆacheABCDEFGHIJ
Pr´ec.JHA, HA, BC, IDD, F
On d´etermine successivement :
- les tˆaches de niveau 0 (celles qui n"ont pas d"ant´ec´edent) : ce sont C, D et F (que l"on peut num´eroter
dans cet ordre); - les tˆaches de niveau 1 (celles qui n"ont que des ant´ec´edents de niveau 0) : ce sont I et J (que l"on
num´erote dans cet ordre);
- les tˆaches de niveau 2 (celles qui n"ont que des ant´ec´edents de niveau 0 ou 1) : ce sont A et H (que
l"on num´erote dans cet ordre);
- les tˆaches de niveau 3 (celles qui n"ont que des ant´ec´edents de niveau 0, 1 ou 2) : ce sont B et E (que
l"on num´erote dans cet ordre);
- les tˆaches de niveau 4 (celles qui n"ont que des ant´ec´edents de niveau 0, 1, 2 ou 3) : il ne reste plus
que G!Voici donc le tableau des t
ˆaches avec niveau et num´ero d"ordre :T
ˆacheABCDEFGHIJ
Pr´ec.JHA, HA, BC, IDD, F
Niv.2300304211
N o68129310745Comme on a r
´eussi`a num´eroter tous les sommets, c"est que le graphe de pr´ec´edence est sans circuit, et la
num´erotation des sommets constitue un tri topologique (si la tˆache X est avant la tˆache Y, alors le num´ero
de X est inf´erieur au num´ero de Y).
Une repr
´esentation par niveau possible pour ce graphe est la suivante (on a ajout´e des tˆaches fictives
correspondant au d´ebut et`a la fin des travaux) :niveau 4
CDF IJ AH E GDéb
Fin niveau 0 niveau 2 niveau 3 niveau 1 B1 1.2On porte sur chaque arc du graphe de pr
´ec´edence la dur´ee de la tˆache dont cet arc est issu, et on sait que l"on calcule la date de d ´ebut au plus tˆot en d´eterminant le chemin le plus long depuis le d´ebut des travaux; ceci permet de trouver la dur ´ee minimale d"ex´ecution qui est la date de d´ebut au plus tˆot de la tˆache fictive repr´esentant la fin des travaux.
Ensuite, on d
´etermine la date de d´ebut au plus tard en calculant le chemin le plus long depuis chaque sommet jusqu" `a cette tˆache fictive de fin des travaux.Comme le graphe est ordonn
´e par niveaux, ces calculs se font par niveaux croissants pour les dates de d´ebut au plus tˆot, par niveaux d´ecroissants pour les dates de d´ebut au plus tard. Le r´esultat est r´esum´e sur
le graphe suivant :32,32C D F I JA HEGDébFin
101084 5 5 1 2105
5 3
70,00,5
0,38,9
5,65,5 12,1213,1422,31 22,22
BLes dates de d
´ebut au plus tˆot et au plus tard sont indiqu´ees (s´epar´ees par des virgules) au dessus des tˆaches.
On obtient ainsi les r
´eponses :
- la dur ´ee minimale d"ex´ecution est de 32 unit´es; - le chemin critique est D 1.3Le graphe PERT est d
´ecrit ci-apr`es : il comprend 8´etapes et deux tˆaches fictives (en pointill´es), de dur ´ees nulles, servant`a repr´esenter les contraintes de pr´ec´edence. [32,32]H (5) B (8)
G (10)
A (10) E (1)J (7)C (4)
D (5)F (2)I (3)
[12,12][8,9] [5,5] [0,0][13,14] [22,22][22,22]Pour chaque´etape, on a indiqu´e la date au plus tˆot et la date au plus tard (entre crochets). Le chemin critique
est (heureusement!) le m ˆeme que celui calcul´e par le graphe de pr´ec´edence. On peut alors calculer les marges libres, totales et certaines, dont on rappelle la d´efinition. Pour toute
etapeei, on notetila date au plus tˆot de cette´etape, ett?ila date au plus tard. Alors, pour une tˆacheXjde
dur ´eedj, comprise entre l"´etapek(avant) et l"´etapel(apr`es), on d´efinit : -MT(Xj) =t?l-tk-dj(marge totale deXj); -ML(Xj) =tl-tk-dj(marge libre deXj); -MC(Xj) =tl-t?k-dj(marge certaine deXj).On obtient les r
´esultats suivants :T
ˆacheABCDEFGHIJ
MT0150930110
ML0140930000
MC0040930000
2 1.4On voit sur le tableau pr
´ec´edent que la marge totale de H est de 1 unit´e : donc, l"augmentation de 1 unit´e de la dur´ee de H va r´esorber cette marge (sans pour autant d´ecaler la fin du projet). Si H augmente`a
nouveau de 1 unit ´e, alors on obtient un nouveau chemin critique D et la dur ´ee minimale d"ex´ecution du projet passe`a 33 unit´es de temps.2 Allocation de ressources
2.1On note doncxjla quantit´e de cageots plac´ee dans le magasinj. Ces variablesxjsont enti`eres, posi-
tives, inf ´erieures`a la valeurn. Le b´en´efice global (que l"on cherche`a maximiser) est donc :F(x1,···,xm) =m?
j=1b(xj,j) en respectant bien s ˆur la contrainte que le nombre total de cageots estn, c"est-`a-dire : m j=1x j=nC"est donc un probl
`eme de programmation dynamique. 2.2 dans lesjpremiers magasins. On a bien´evidemment : (?i? {0..n})(P(i,1) =b(i,1))Ensuite, pourj≥2, pour placer optimalementicageots dans lesjpremiers magasins, on peut dire l"on
choisit bien s ˆur la valeur dexjqui maximise la somme des b´en´efices obtenus. En clair : 2.3 D"apr dynamique.En regardant plus attentivement la formule de r
´ecurrence, on constate que pour calculerP(i,j), on a besoin de conna seul tableau pour calculer les valeurs deP: pour i allant de 0 `a nP(i) = b(i,1)
pour j allant de 2 `a m pour i allant de n `a 0 kmin = 0; vkmin = P(i)+b(0,j) pour k allant de 0 `a i 3 vk = P(i-k)+b(k,j) si vk est sup´erieur`a vkmin
kmin = k; vk = vkmin finsi finpour(k)P(i,j) = vkmin
finpour(i) finpour(j) afficher P(n,m)Cet algorithme permet de d
´eterminerP(n,m)(d"ailleurs, dans la derni`ere boucle, il n"est pas n´ecessairede calculerP(i,m)pouri < n!) : on souhaite´egalement conserver la r´epartition correspondante! Il suffit
pour cela de m ´emoriser les valeurs de vkmin en cours d"algorithme. En termes de complexit´e, on a ainsi : - une complexit´e en espace proportionnelle`an×m(on conserve pour toutile b´en´efice et la r´epartition
optimale, de taillem); - une complexit ´e proportionnelle`an2×m(voir les trois boucles imbriqu´ees de l"algorithme). 2.4Voici l"algorithme d
´etaill´e sur l"exemple :
- calcul de P(6,2) : on d´etermine les r´epartitions possibles
- 0 cageots sur le magasin 2, 6 sur le premier magasin : 0 + 4 = 4 - 1 cageots sur le magasin 2, 5 sur le premier magasin : 4 + 4 = 8 - 2 cageots sur le magasin 2, 4 sur le premier magasin : 6 + 4 = 10 - 3 cageots sur le magasin 2, 3 sur le premier magasin : 7 + 4 = 11 - 4 cageots sur le magasin 2, 2 sur le premier magasin : 8 + 4 = 12 - 5 cageots sur le magasin 2, 1 sur le premier magasin : 8 + 3 = 11 - 6 cageots sur le magasin 2, 0 sur le premier magasin : 8 + 0 = 8P(6,2) = 12, r
´epartition optimale 2+4
- calcul de P(5,2) : on d´etermine les r´epartitions possibles
- 0 cageots sur le magasin 2, 5 sur le premier magasin : 0 + 4 = 4 - 1 cageots sur le magasin 2, 4 sur le premier magasin : 4 + 4 = 8 - 2 cageots sur le magasin 2, 3 sur le premier magasin : 6 + 4 = 10 - 3 cageots sur le magasin 2, 2 sur le premier magasin : 7 + 4 = 11 - 4 cageots sur le magasin 2, 1 sur le premier magasin : 8 + 3 = 11 - 5 cageots sur le magasin 2, 0 sur le premier magasin : 8 + 0 = 8P(5,2) = 11, r
´epartition optimale 2+3
- calcul de P(4,2) : on d´etermine les r´epartitions possibles
- 0 cageots sur le magasin 2, 4 sur le premier magasin : 0 + 4 = 4 - 1 cageots sur le magasin 2, 3 sur le premier magasin : 4 + 4 = 8 - 2 cageots sur le magasin 2, 2 sur le premier magasin : 6 + 4 = 10 - 3 cageots sur le magasin 2, 1 sur le premier magasin : 7 + 3 = 10 - 4 cageots sur le magasin 2, 0 sur le premier magasin : 8 + 0 = 8P(4,2) = 10, r
´epartition optimale 2+2
- calcul de P(3,2) : on d´etermine les r´epartitions possibles
- 0 cageots sur le magasin 2, 3 sur le premier magasin : 0 + 4 = 4 - 1 cageots sur le magasin 2, 2 sur le premier magasin : 4 + 4 = 8 - 2 cageots sur le magasin 2, 1 sur le premier magasin : 6 + 3 = 9 - 3 cageots sur le magasin 2, 0 sur le premier magasin : 7 + 0 = 7P(3,2) = 9, r
´epartition optimale 1+2
- calcul de P(2,2) : on d´etermine les r´epartitions possibles
- 0 cageots sur le magasin 2, 2 sur le premier magasin : 0 + 4 = 4 - 1 cageots sur le magasin 2, 1 sur le premier magasin : 4 + 3 = 7 - 2 cageots sur le magasin 2, 2 sur le premier magasin : 6 + 0 = 6 4P(2,2) = 7, r
´epartition optimale 1+1
- calcul de P(1,2) : on d´etermine les r´epartitions possibles
- 0 cageots sur le magasin 2, 1 sur le premier magasin : 0 + 3 = 3 - 1 cageots sur le magasin 2, 0 sur le premier magasin : 4 + 0 = 4P(1,2) = 4, r
´epartition optimale 0+1
- calcul de P(0,2) : on d´etermine les r´epartitions possibles
- 0 cageots sur le magasin 2, 0 sur le premier magasin : 0 + 0 = 0P(0,2) = 0, r
´epartition optimale 0+0
- calcul de P(6,3) : on d´etermine les r´epartitions possibles
- 0 cageots sur le magasin 3, 6 sur les deux premiers magasins : 0 + 12 = 12 - 1 cageots sur le magasin 3, 5 sur les deux premiers magasins : 2 + 11 = 13 - 2 cageots sur le magasin 3, 4 sur les deux premiers magasins : 4 + 10 = 14 - 3 cageots sur le magasin 3, 3 sur les deux premiers magasins : 6 + 9 = 15 - 4 cageots sur le magasin 3, 2 sur les deux premiers magasins : 7 + 7 = 14 - 5 cageots sur le magasin 3, 1 sur les deux premiers magasins : 8 + 4 = 12 - 6 cageots sur le magasin 3, 0 sur les deux premiers magasins : 9 + 0 = 9P(6,3) = 15, r
´epartition optimale 1+2+3
Ainsi, le grossiste doit placer 1 cageot dans le premier magasin, 2 dans le second magasin, 3 dans le
troisi `eme magasin : son b´en´efice (maximal) est de 15.3 Production
`a optimiser 3.1 On notex1etx2les quantit´es de produitsP1etP2. Ainsi, on cherche`a maximiser le produit de la vente, c"est- `a-dire la quantit´e :F(x1,x2) = 40x1+ 50x2
sachant que l"on doit bien s ˆur respecter les contraintes de stock des ingr´edients A, B et C : xOn a affaire
`a un (classique) probl`eme de programmation lin´eaire. 3.2Comme on n"a que deux variables, une r
´esolution graphique (planaire) est donc possible. La figure 1 reprend cette r´esolution graphique.
Surcegraphique,onatrac
(solutions v´erifiant les contraintes, en hachur´e), et une droite d"isob´en´efice (en pointill´es). La solution
optimale est le point du polytope par lequel passe une parall `ele`a la droite d"isob´en´efice qui est la plus eloign´ee possible de l"origine : ce point est le point X de la figure.Pour d
´eterminer pr´ecis´ement ce point, on remarque qu"il est l"intersection des droites de contraintes
relatives `a B et C : c"est donc la solution du syst`eme lin´eaire : ?x1+ 2x2= 243x1+ 2x2= 36
qui donne comme solution optimale : x 1= 6 x 2= 9F= 6×40 + 9×50 = 690
5 x1x2 10 20 1020D(B) droite d'isobénéfice OX X2 X1
X'D(A)
D(C)FIG. 1 - R´esolution graphique
3.3On va maintenant r
´esoudre le probl`eme par la m´ethode du simplexe. On sait que par cette m´ethode, on se d´eplace sur les sommets du polytope des solutions admissibles : ainsi,`a partir du sommet O, on veut
aboutir au sommet X. Que l"on passe par X1 ou par X2, il suffit dans les deux cas de deux´etapes, ce qui
explique pourquoi on aura trois tableaux. Voici les tableaux successifs en prenant comme crit `ere de choix de colonne celui du coefficient maximal pour la fonction´economique.
On introduit donc 3 variables d"
´ecartyA,yBetyC(qui repr´esentent les quantit´es non utilis´ees des ingr ´edients A, B et C), et le tableau initial du simplexe s"´ecrit alors :x1x2yAyByCy
A5 4 1 0 080
yB120 1 024
yC3 2 0 0 136
40 50 0 0 0F
Ce tableau correspond
`a la solution initiale (x1= 0,x2= 0,yA= 80,yB= 24,yC= 36), qui est g ´eom´etriquement repr´esent´ee par le sommet O.Le choix du pivot se fait alors :
- en d´eterminant la colonne o`u le coefficient est maximal dans la fonction´economique : c"est la co-
lonne dex2; - pour cette colonne, et pour chaque ligne, on calcule le quotient entre la valeur du second membre (s"il est positif) et le coefficient de la ligne (s"il est non nul) : - pour la ligneyA, on obtient le quotient804 = 20; - pour la ligneyB, on obtient le quotient242 = 12; - pour la ligneyA, on obtient le quotient362 = 18; - on retient comme pivot la valeur r´ealisant le minimum, soit ici la ligneyB
On dit queyBsort de la baseet quex2entre dans la base. Cela signifie que l"on passe de la solution initiale`a une nouvelle solution en se d´eplac¸ant sur l"arˆete [O;X2] : on cherche le point le plus´eloign´e sur
6 cette ar ˆete qui est donc X2. On obtient le nouveau tableau :x1x2yAyByCy
A3 0 1-2 032
x 212 1 012 012 y
C20 0-1 112
15 0 0-25 0F-600
correspondant `a la nouvelle solution (x1= 0,x2= 12,yA= 32,yB= 0,yC= 12) de b´en´efice 600. Comme il reste un coefficient positif dans la fonction´economique, ce n"est pas encore l"optimum. On
choisit`a nouveau le pivot selon les mˆemes r`egles : c"est la colonne dex1(qui va donc entrer dans la base),
et la ligne deyC(qui va donc sortir de la base). On obtient le tableau final :x1x2yAyByCy
A0 0 1-12
-3214 x20 1 0
34-149 x
11 0 0-12
1260 0 0-352
-152F-690 correspondant `a la nouvelle solution (x1= 6,x2= 9,yA= 14,yB= 0,yC= 0) de b´en´efice 690. Comme les coefficients de la fonction ´economique sont maintenant n´egatifs, on est bien`a l"optimum (on retrouve le point X du graphique). 3.4On peut r
´e´ecrire les´equations du probl`eme au voisinage de l"optimum trouv´e (c"est le tableau final du
simplexe!) :???? ??yA= 14 +12
yB+32 yC x2= 9-34
yB+14 yC x1= 6 +12
yB-12 yCF= 690-352
yB-152 yCComme on utilise toute la quantit
´e de l"ingr´edient C disponible, on peut se demander comment l"optimum va(ε), les pivots vont rester les mˆemes, et on peut donc d´eduire la solution optimale du nouveau probl`eme`a
partir de la solution optimale de l"ancien probl `eme en affectant la valeur-ε`a la variableyC. Onlitsur le tableau final du simplexe comment vont varier les diff´erentes variables : -yAdiminue de-32 -x2diminue de-14 -x1augmente de12 -Faugmente de152Ceci permet de calculer la valeur maximale duε: c"est celle qui provoquera l"annulation de la premi`ere
variable. Dans notre cas : -x1augmente donc ne peut s"annuler; -yAs"annule pour une valeur deεde143 2 =283 -x2s"annule pour une valeur deεde91 4 = 36.On en d
´eduit que la valeur maximale est283
, valeur limite pour laquelle il y a alors annulation deyA. Ceci explique pourquoi l"´enonc´e indiquait :
quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] exercices corrigés repère dans le plan
[PDF] exercices corrigés repère dans le plan 3ème
[PDF] exercices corrigés repère dans le plan pdf
[PDF] exercices corrigés représentation de newman
[PDF] exercices corrigés sciences physiques premiere s
[PDF] exercices corrigés semi conducteurs pdf
[PDF] exercices corrigés statique des fluides pdf
[PDF] exercices corrigés statique pfs
[PDF] exercices corrigés statistique
[PDF] exercices corrigés statistique descriptive
[PDF] exercices corrigés statistique terminale pdf
[PDF] exercices corrigés sur acide faible/ base faible pdf
[PDF] exercices corrigés sur amplificateur d'instrumentation
[PDF] exercices corrigés sur architecture des ordinateurs