Calcul des structures hyperstatiques Cours et exercices corrigés
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UAA3 : LA STATIQUE – FORCES ET EQUILIBRES
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TD22 23 - PFS - Corrigé_2021
Console portante de bateau - Corrigé On applique le PFS sur l'ensemble E au point A : ... théorème du moment statique au point B projeté sur l'axe z.
CB 5,288 CA 3390
CB 3234
$9(&67$7,48( Déterminer les tensions des câbles dans les figures suivantes : 400N
40° 20°B
C A A10°
70°
B C 60Kg20°
40°
o CB T o CA T o P40°
20°
B C A x yAu point C nous avons :
oooo 0PTT CB CALa projection sur les axes donne :
020cos40cos qq
CBCA TT020sin40sin qqPTT
CBCA d'où : T . T N NAu point C nous avons :
o CB T A10°
70°
B C P o CA T x y oooo 0PTT CB CALa projection sur les axes donne :
010cos70sin qq
CBCA TT010sin70cos qqPTT
CBCA d'où : T ; T N NExercice 02 :
Une barre homogène pesant 80 N est liée par une articulation cylindrique en son extrémité A
à un mur. Elle est rete
nue sous un angle de60°
avec la verticale par un câble inextensible de masse négligeable à l'autre extrémité BLe câble fait un angle de
30°
avec la barre.Déterminer la tension dans le
câble et la réaction au point A o o D B A30°
60°
C x y o B A30°
60°
CSolution :
Le système est en équilibre statique dans le plan , nous avons alors : oo0 (1) oe
oooo 0 oo 0 (2) oe ooooošš0
30sin30cos
30sin)2/(30cos)2/(
o 060sin60cos
L'équation (1) projetée sur les axes donne : 060cos q (3)060sin q
(4)L'équation (2) s'écrira :
030cos230sin60cos60sin30cos qqqqq (5)
(5) Ÿ 64,3430cos2 q (3) Ÿ32,1760cos q
(4) Ÿ3060sin q
d'où 64.3422
et l'angle que fait la réaction avec l'axe ox est donné par :
5,0cos
T Ÿq 60T
Exercice 03 :
On maintient une poutre en équilibre statique à l'aide d'une charge P suspendue à un câble
inextensible de masse négligeable, passant pa r une poulie comme indiqué sur la figure. La poutre a une longueur de 8m et une masse de 50 Kget fait un angle de
45°
avec l'horizontale et30°
avec le câble. Déterminer la tension dans le câble ainsi que la grandeur de la réaction en A ainsi que sa direction par rapport à l'horizontale. y x o o o G 50KgA B
30°
45°
50KgA B
30°
45°
Solution :
Toutes les forces agissant sur la poutre sont dans le plan . Le système est en équilibre statique d'où oo0 (1) oe
oooo 0 oo 0 (2) oe ooooošš0
Nous avons T = P , et
o2424AB
o2222AG
; ; T ; o PP015sin15cosTT
o AyAx A RRR L'équation projetée sur les axes donne : 015cos qTR Ax015sin qPTR
AyL'équation s'écrira :
02215cos2415sin24 qqPTT
)15sin15(cos2422qq PTŸ TN55,353
et Ÿ ŸNR Ax50,341 NR
Ay50,591
d'où NRRR AYAxA 68322
et l'angle que fait la réaction avec l'axe est donné par :
577,0cos
AAx RRT Ÿq 76,54T
Exercice 04 :
La barre est liée en par une articulation cylindrique et à son extrémité , elle repose
sur un appui rouleau. Une force de agit en son milieu sous un angle de dans le plan vertical. La barre a un poids de Déterminer les réactions aux extrémités et . G45°
o F A B o A R o B R x x o P A BSolution :
Toutes les forces agissant sur la poutre sont situées dans le plan (xoy) . Le système est enéquilibre statique,
nous avons alors : oo iiF0 oe
ooooo 0PFRRB A
oo i Ai M0 oe oooooooššš0PAGFAGRAB
B La projection de l'équation sur les axes donne :045cos qFR
Ax045sin qPFRR
BAy En développant l'équation on aboutit à :©§PLFFLRL
B0245cos2 qPLFLLR
B oe0242 PFR BŸN R
B 71,95ŸN R
Ax42,141
; d'où ŸN R Ay71,95 NRRR
AyAxA76,170
22Exercice 05 :
Une échelle de longueur pesant est appuyée contre un mur parfaitement lisse en un point situé à du sol. Son centre de gravité est situé à de sa longueur à partir du bas. Un homme pesant grimpe jusqu'au milieu de l'éc helle et s'arrête. On suppose que le sol est rugueux et que le système reste en équilibre statique.
Déterminer les réactions aux points de contact de l'échelle avec le mur et le sol. o B R o P o Q o A RSolution :
AB=L =20 m , OB=16 m, Q =700 N , P =400 N, 8,02016sin ABOB 13,53L'échelle est en équilibre statique. La résultante des forces est nulle. Le moment résultant par
rapport au point A est aussi nul. ii F0 (1) 0PQRR BA iAi M0 (2)0PACQAGRAB
BNous avons aussi :
sincosLLAB ; ; ; ; Q ; sin)2/(cos)2/(LLAG sin)3/(cos)3/(LLAG 0 B B RR Q 0 PP 0 La projection de l'équation (1) sur les axes donne les équations scalaires : 0 BAxRR (3)
0PQR Ay (4) En développant l'équation (2), on aboutit à :000sin)3/(cos)3/(0sin)2/(cos)2/(0sincos
PLLQLLRLL
B0cos3cos2sin
LPLQLR
B (5) (5)32sincosPQR
B d'où NR B 5,362 (3) NRR BAx 5,362 (4) ; on déduit : NR Ay1100NR
A34,1158
Exercice 06 :
On applique trois forces sur une poutre de masse négligeable et encastrée au point A.Déterminer la réaction à l'encastrement.
A400N800N200N
1,5m2,5m2m
Exercice 07 :
Un plaque carrée de coté a, de poids P est fixée à un mur à l'aide d'une articulation sphérique
au point A et d'une articulation cylindrique au point BUn câble CD inextensible et de masse
négligeable maintient la plaque en position horizontale. Une chargeQ = 2P
est suspendue au point E de la plaque. Les données sont : ; 3 q 30D Déterminer les réactions des articulations en A et B ainsi que la tension dans le câble en fonction de a et P E B30°
A C o b G o D o B30°
A C E Q b DSolution :
La plaque est en équilibre statique dans le plan horizontale, nous pouvons écrire : oo0 (1) Ÿ
oooooo 0 oo 0 (2) Ÿ ooooooooošššš0
Articulation sphérique en A :
Articulation cylindrique en B et d'axe y:
,0, Le triangle ACD est rectangle en A , et l'angle (DA,DC) = 30° alors l'angle (CA,CD)=60°La tension aura pour composantes :
o2/)3(4/)2(4/)2(60sin45sin60cos45cos60cos
o PQ200 o PP00 o03/20aAB
o 0aaAC o03/2aaAB
o02/2/aaAB
Projetons l'équation sur les axes du repère :04/)2( TRR
BxAx04/)2( TR
Ay022/)3( PPTRR
BzAzL'équation se traduira par :
PaaPaaTTTaaRRa
BzBx Le développement de ce produit vectoriel donnera trois équations :02342332 aPaPaTRa
Bz02223 aPaPaT
032Bx Ra La résolution de ce système d'équations donne : ; Ÿ Ÿ0 Bx
RPT335 ; ŸPR
BzŸPR
Az 23; Ÿ PR Ay 1265
; ŸPR Ax 1265
PR A
39,17 et PR
BExercice 08 :
Une enseigne lumineuse rectangulaire de densité uniforme de dimension x pèseElle est liée au mûr par une articulation s
phérique et deux câbles qui la maintienne en position d'équilibre statique, comme indiqué sur la figure. Déterminer les tensions dans chaque câble et la réaction au point 9On donne :
Exercice 09 :
Une porte métallique rectangulaire de densité uniforme de dimensions xde poids , estquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9[PDF] exercices corrigés statistique descriptive
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