[PDF] MACHINES À ÉCOULEMENT PERMANENT

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MACHINES À ÉCOULEMENT PERMANENT

MINES 2015 - PHYSIQUE II - PSI

I. - Dimensionnement d"une installation de liquéfaction I.A. - Dimensionnement des étages de compression q1 -P ourungazparfaitdiatomique,onacinqdegrésdeliberté,troisdetranslationetdeux de rotation (la rotation autour de l"axe N-N a un moment d"inertie négligeable). On a donc c vAE5£R2 et,d"aprèslarelationdeMayer,cpAEcv

ÅRAE7£R2

,soit°AE75

AE1,4.Pourunecom-

pression adiabatique réversible donc isentropique, on a la relation de LaplaceP1¡°T°AECte,

ce qui donne entre l"entrée et la sortie d"un compresseurµpsortiep

1¡°

µTsortieT

AE1, soit

T sortieAETEr°¡1°

ÇTmaxetrmaxAEµTmaxT

°°¡1AEµpAp

1/Nmin

. En prenant le logarithme, N minAE°¡1° ln(pA/pE)ln(Tmax/TE) A.N.NminAE4,57. On prendra donc cinq étages etrAE1001/5AE2,51 etT sortieAE390K. q2 -P ardéfin itiond er, sirne change pas ,Nne change pas? Par contre, pour une même contrainte en température, il faut diminuerret donc augmenterN. Le termeTdSÈ0 de dHAETdSÅVdPva en effet conduire à une augmentation plus importante de l"enthalpie et donc de la température. q3 - S ion supp osele réf rigérantglobale mentad iabatique(il n "ya pa sd et ravail),on a d"après le premier principeDeauce¡T0 sortie¡Te¢ÅD7R2M(TE¡Tsortie)AE0, soit D eauD

¯¯¯minAE

7R2MT sortie¡TEc e¡T0max¡Te¢ A.N. DeauD

¯¯¯minAE0,32

I.B. - Diagramme enthalpique du diazote

q4 -C1est une isotherme. À basse pression, l"hypothèse gaz parfait se justifie eth n"est une asymptote verticale à basse pression. q5 -C2est une isentrope. On a alors, dans la zone vapeur, dhAEvdp, la pente de la courbe 1p dpdhAE1pv q6 -La c ourbeC3se décompose en courbe de rosée à droite (vapeur à droite et mélange

liquide-vapeur à gauche) et courbe d"ébullition à gauche (liquide à gauche et mélange à

droite). Le point O est le point critique. q7 -C4est la courbe isotitre. Le diazote en M est de titre 0,1 i.e. un mélange avec 10% de liquide et 90% de vapeur.

I.C. - Dimensionnement de l"échangeur (E)

q8 -D "aprèsl ar ègledes m omentshCAE(1¡x)hvapÅxhliq. q9 -E nD ,on réc upèrel af ractionv apeurdu débit D soit D0AE(1¡x)DetDmAExD. q10 -U nbi land "énergiesu rl "échangeuradiabat iqueet s anspar tiemobil ec onduit àD0(hE¡hvap)ÅD(hB¡hA)AE0. Dans la vanne de détente, la transformation est isenthalpique (système ouvert, régime permanent, adiabatique, sans partie mobile) et donc h BAEhCAE(1¡x)hvapÅxhliq. Soit (1¡x)hE¡hAÅxhliqAE0 ou xAEhE¡hAh

E¡hliq

q11 -O nlit su rl ediagr ammeent halpiquehEAE525kJ/kg (isotherme 27±C, isobare 1bar), h AAE500kJ/kg (isotherme 27±C, isobare 100bar);hvapAE280kJ/kg;hliqAE85kJ/kg,xAE0,057. Pour un gaz parfaithne dépend que de la températurehAAEhEet doncxAE0, on n"a pas de liquide! q12 -B est à l "intersectionde l "isobarep assantpar A et de l "isenthalpep assantpar C. A u point B, l"azote est sous forme de gaz à la température de¡115±C.hln(p) ?B A? Cq13 -P ouru ncomp resseuradiabat iquewiAE¢hAEcp¢T. La puissance correspondante est doncPAENDcp(Tsortie¡TE), aveccpAE7R2M, capacité thermique massique etDAEDmx

A.N.PAE248kW

Le débit de 1Lh

¡1correspond à0,813600

AE0,23g/s qui, par une règle de trois, donne 1,9kW. L"ordre de grandeur est tout à fait respecté.

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II. - Roue-vanne de Sagebien

II.A. - Etude dynamique du mouvement de la roue-vanne q14 -DmAE½DvAE½vSAE½dh0v. Lorsqu"une pale tourne de d¯, elle entraine un volume±VAE12 d¯¢d¡R02¡R2¢. La conservation du débit massique½±Vdtconduit donc à h

0vAE12

!¡R02¡R2¢. q15 -L av itessem oyenneest vAERÅR02 !soitR0¡RAEh0.

A.N.h0AEDmvd½AE4,3m;R0AE15,3m

q16 -L al oide l "hydrostatiquepour un fl uideincomp ressibledonn e p q17 -L adiff érencede p ressionent rele sdeux f acesv aut¢pAEpC¡pDAE½gH; la force

¢P¢(R0¡R)dest répartie de manière uniforme, elle s"applique au milieu, on néglige l"in-

fluence de®, petit, pour lequel on n"a aucun renseignement

MAERÅR02

½gHd(R0¡R)

q18 -P ouru nepa leo na u nefor ce¡piÅ1¡pi¢P¢(R0¡R)det un moment

RÅR02

¡piÅ1¡pi¢P¢(R0¡R)d. La somme des moments redonne la formule précédente. q19 -¡AE2,29MNm q20 -O np rendune v oiturede lar geur2 met de h auteur1 ,5m,s oitun m aitre-couplede SAE3m2qui se déplace àvAE90km/hAE25m/s. On considère unCxAE0,35. Cela conduit

à une force de trainéeTAE12

Cx½airSv2et une puissanceT¢v¼10kW. Le moteur tourne

alors à 2000tr/min et la puissance vaut¡!. Soit¡AE47Nm. Un peu sous évalué, on n"a pas

pris en compte le frottement de roulement, le couple maxi pour une Clio est de 200Nm à

5400tr/min. Les ordres de grandeur des couples pour un moteur de voiture et la roue ne

sont pas du tout les mêmes, mais voir la question suivante. II.B. - Bilans énergétiques de fonctionnement q21 -PAE¡!avec!AE0,046rads¡1AE0,44tr/min, la vitesse est bien inférieure à celle d"un moteur.PAE105kW. En puissance, on a par contre des ordres de grandeur comparables. q22 -P endantd t, l"énergie cinétique entrante est égale à celle sortante, l"énergie potentielle de pesanteur entrante est nulle en prenant la référence àh0/2, la sortante vaut ¡Dmdt¢gH. Le travail des forces de pression aval compense celui des forces amont. Les forces de pression au fond et en surface ne travaillent pas. Il reste le travail de la rouePdt.

Le travail des forces internes (viscosité) est négligé. Le théorème de l"énergie cinétique

conduit à : d¡EpÅEc¢AE¡Dmdt¢gHAE±WAEPdt. SoitPAE¡Dm½gH. q23 -O ncon sidèrequ "auvu de la con figurationdes can auxd "entréeet sor tie,on n epeu t récupérer que l"énergie potentielle de pesanteur qui vaut, en puissance,Dm½gH. Le rende- ment est donc unitaire :´AE1. le gradient de vitesse va causer des pertes par viscosité. D"autre part, en dehors des pertes

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hydrauliques, la faible vitesse de rotation de la roue va imposer des engrenages qui vont dis- siper de l"énergie.

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