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© Ministère de l'enseignement supérieur, de la recherche et de l'innovation, 2021 Mathématiques - PCSI

Classes préparatoires aux grandes écoles

Filière scientifique

Voie Physique, chimie et sciences de

l'ingénieur (PCSI)

Annexe 1

Programme de mathématiques

Classepr ŽparatoirePCSI

ProgrammedemathŽmatiques

PrŽambule2

Objectifsdeformation.... ... ...... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ..2 Descriptionetpriseencomptedes compŽtences ........ ... ...... ... ........ ... ... ..2 UnitŽdelafor mation scientiÞque... ............... ........ ... ... ... ... ... .. ..3 Architectureetcontenuduprogramme.. ... ...... .. ............... ... ... ... .. ... 4 Organisationdutexte........ ... ...... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .4

Premiersemestre6

Raisonnementetvocabulaireensembliste..... ... ................. ... ... ... ... .. .6 ComplŽmentsdecalculalgŽbriqueet detrigonomŽtr ie....... ........ ... ... ...........8 Nombrescomplexes..... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ..9 TechniquesfondamentalesdecalculdiffŽrentiel etintŽgral.......... ... ... .............. 10 A-F onctions dÕunevariablerŽelleˆval eursrŽellesoucomplexes.. ........ ......... ... .10 B-P rimitives etŽquationsdiffŽrentielles linŽaires. ........ ....................... .11 NombresrŽelsetsu itesnumŽriqu es.. ......... ................. ... ... ... ... .. ..12

FonctionsdÕunevariablerŽelle:limiteset continuitŽ,dŽriv abilitŽ...... ...... ... ... .. ......14

A- Limiteset continuitŽ.. ... ........... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... 14 B- DŽri vabilitŽ................. .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..15 Polyn™mes....... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... 17 Analyseasymptotique.. ......... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .19 Espacesvectorielsetapplicat ionslinŽai res. .............. ..................... ... .20 A-E spacesv ectoriels..... .............. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..20 B-E spacesd edimensionÞnie ...... .............. ...... ... ... ... ... ... ... 21 C- Applicati onslinŽaires......... ........... ... ... ... ... ... ... .. ... ... .22 MatricesetdŽterminants... ...... .............. ... ... ... ... .. ... ... ... ... .23 A-M atrices etapplicationslinŽaires..... ... ........... ...... ... ... ... .. ... ..23 B-DŽ termin ants................ .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ..24 IntŽgration........ ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..25 DŽnombrement.... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... 26 ProbabilitŽs......... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... 27 A-P robabi litŽssurununiversÞni,variables alŽatoir esetlois... .............. ...... ...27 B- EspŽr anceetvariance.......... ... ........... ... ... ... ... ... .. ... ... 28 EspacesprŽhilbertiensrŽels.. ..... ...... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... .. ..29 SŽriesnumŽriques... ......... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ..30 Fonctionsdedeuxvariables..... ... ...... ........ ... ... ... ... ... ... .. ... ... .31

MathŽmatiquesPCSI

1/32

PrŽambule

Lesprogramm esdemathŽmatiquesdesclassesprŽparatoiresscientiÞquesM PSI,PCSI, PTSI,MP2I,MP,PC,PS I,PT,

MPIsontconuscomme unsoclec ohŽrentetambit ieuxdeco nnai ssancesetdecapacitŽs ,aveclÕobjectif dep rŽparerles

delÕing Žnierie,delÕenseignement,delarecher che.

Objectifsdeformation

EnclasseprŽpara toires cientiÞque,lesmathŽmatiquesconstituentcon jointementunedisciplinescientiÞqueˆpar ten-

desco nnaissancesetdesmŽthodesnŽcessairesauxautresdisciplinesscientiÞques . Lafor mationestconueenfonction dequatre objectifsessentiels: Ðfournirunsolidebagage deconnais sances,dec onceptsetdemŽth odes;

solutionrigoureuse ,contr™lerlesrŽsultatsobtenusetŽvaluerlapertin encedesconcepts etdesrŽsu ltatsauregard

ÐdŽvelopperlÕintuition,lÕimagi nation,leraisonnemen tetlarigueur; contre-exemples;dŽvelopperainsiuneattitudedeq uestionnementetderecherche.

Encontinu itŽaveclesprogrammesdemathŽmatiquesduly cŽe,lespr ogrammesdes classesprŽparatoiresscientiÞques

dŽÞnissentuncorpusdeconnaissances etdecapacitŽsete xplic itent sixgrandescompŽtences mathŽmati ques:

ˆla rŽalitŽ, levalider,lecritiqu er;

oureprŽsent erunobjetmathŽmat ique,passe rdÕunmodedereprŽsentationˆ unautre,changerderegistre;

ouinÞr meruneconjectur e;

Ðcalculer,ut iliserlelangagesymbolique:man ipulerdes expressionscontenantdessy mboles,organiserles

diffŽrentesŽtapesdÕuncalculcomplexe ,effectuerun calculautomatisableˆlam aino ˆlÕaidedÕuninstrument

(calculatrice,logiciel...),contr™lerles rŽsultats;

ÐcommuniquerˆlՎcr itetˆlÕoral:compr endre lesŽn oncŽsmathŽmatiques Žcritspar dÕautres,rŽdigerune

solutionrigoureuse,prŽsenter etdŽfendreuntravailmathŽmatique.

Chercher

CettecompŽtencev iseˆdŽvelopperlesattitudesdequestionnementet derecher che,au traversderŽellesactivitŽs

mathŽmatiques,prenantplaceausein ouendehorsdelaclasse.LesdiffŽr entstemp sdÕe nseignement(c ours,trav aux

dirigŽs,heuresdÕin terrogat ion)doiventprivilŽgierladŽcouverteetlÕexploitationdeproblŽmatiques,larŽßexionsur

enseignementˆuncoursdogmatique :aÞn dedŽvelopperl escapacitŽsdÕau tonomiedesŽtudiants,il doitles amener

ˆsep ose reux-mmesdesquestions,ˆprendreen compteun epr oblŽmatiquemathŽmatique,ˆu tiliser desoutils

logiciels,etˆsÕappuyersurlar echerc heetl Õexploitation,individuelleou enŽquipe,d edocum ents.

Lestrava uxproposŽsauxŽtudiantsendehor sdestempsdÕenseignementdoi vent combinerlarŽsolutiondÕexercices

dÕentra"nementrelevantdetechniq uesbienrŽpertoriŽesetl Վtudedeq uestionspluscomplexes.PosŽessousformede

largeŽventai ldeconnaissancesetdecapacitŽs.

ModŽliser

Lepr ogrammeprŽsentedesnotions ,mŽthodesetoutils mathŽmat iquespermettantdemodŽliserlՎtate tlՎvolution

quienaŽtŽ faitparla mŽcanique ,laphysique, lac himie,les sciencesde lÕingŽnieur.Cesinterp rŽtation sviennent

LamodŽlisa tioncontribueain sidefaonessentielleˆlÕunitŽdela formationscientiÞqueetvalide lesappr oches

MathŽmatiquesPCSI

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entrelesdiffŽren tschamps deconnaissancescientiÞque(mathŽmatiqu esetphysique ,math Žmatiquesetchimie,

mathŽmatiquesetsciencesindu striel les,mathŽmatiquesetinfor matique).

ReprŽsenter

UnobjetmathŽmat ique seprteengŽnŽralˆdesreprŽsentationsissuesdediff Žren tscadresou regi stres:algŽbriq ue,

gŽomŽtrique,graphique,numŽrique .ƒlaborerunereprŽsentation,changer decadre,traduiredesinformationsdans

plusieursregistr essontdescomposantesdecet tecompŽtence .Ainsi,enanalyse, leconceptdefonctionsÕapprŽhende

arbre,untableau,desen sembles.Lerec oursrŽgulie rˆ desÞguresouˆdes croq uispermetdedŽvelopperun evision

gŽomŽtriquedesobjetsabstrai tset favorisedefructueu xtransfertsdÕintuition .

Raisonner,argumenter

auxŽtu diantsdesuivreetdՎva luerl Õencha"nementdesargumentsqu ilacomp osent;lapratiquedeladŽmonstration

leurapprendˆ crŽeretˆexprimer eux-mmesdet els arguments.LÕi ntŽ rtdelaconstructiondÕunobjetmathŽma tique

rŽinvestirdesconceptsetdesrŽsultatst hŽoriques . Calculer,manipulerdessymboles,ma"tri serleformalismemathŽmatique

Lecalculet laman ipu lationdessym bolessontomniprŽsentsdanslespratiquesmathŽ matiques .Ilsensontdes

composantesessentielles,insŽpar ablesdesraisonnementsq uilesguidentouquÕ ensensi nverseilsoutillent.

MenerefÞcacementun calculsimplefaitpar tie descomp ŽtencesattenduesdesŽtudi ants.Enrevanch e,lessituations

Lama" trisedesmŽthodesdecalculÞgurant auprog rammenŽcessit eaussila connaissancedeleurcadredÕapplication ,

lÕanticipationetlecontr™le desrŽsultat squÕellespermet tentdÕobtenir.

CommuniquerˆlՎc rite tˆlÕoral

Laphase demiseaupoin tdÕu nraison nementet derŽdactiondÕunesol utionpermetdedŽvelopperl escapacitŽs

dÕexpression.LaqualitŽdelarŽdactionetdelaprŽsentation,l acl artŽetlap rŽc isiond esraisonnements, constitu entdes

etchac undesesŽtudiants,en trelesŽtudiant seu x-mmes,doitŽgalementcontribuerˆdŽv elopperdescapacitŽs

decommu nication(Žcouteetexpressionorale)ˆtraversl aformulationdÕuneq uestion,dÕu nerŽponse ,dÕuneidŽe,

groupesproposŽsauxŽtudiants endehorsdutem psdÕenseign ement,auly cŽeou ˆlamaison,(interrogation sorales,

devoirslibres,compt esrendusdetr avauxdiri gŽsoudÕinterrogationsorales) contr ibuentfortementˆdŽv eloppercette

compŽtence.Lacommunic ationutilisedesmoy ensdiversiގs:lesŽtudiantsdoivent trecapablesdep rŽse nterun

travailclairetsoignŽ,ˆlՎcritou ˆlÕor al,au tableauouˆl Õaid edÕundispositifde proj ection.

LÕintŽgrationdescompŽtencesˆlafor mationdesŽtudiantspermet ˆchacundÕeuxdegŽrer sespr opresa pprentissages

serecouv rentlargementetilimportedelescon sidŽrerglobaleme nt: leuracquisitiondo itsefaire dansl ec adrede

situationssufÞsammentrichespou rnŽcessiterlamobilisationdeplu sieursdÕentr eelles.

UnitŽdelafor mation scientiÞque

Ilestimportant de mettreenvaleurlÕint eractionent relesdiffŽrentes partiesdu programme,tantaun iveauducours

danscedomained uprogramme; lespr obabilitŽsutilisentle vocabulaireensemblisteetillust rentcerta insrŽsultats

dÕanalyse.

LacoopŽration desenseignantsd Õune mmeclasseoudÕunemmedisciplineet,p luslargement,celle delÕensemb le

desensei gnantsdÕuncursusdonnŽ,doitcont ribuerdefaonefÞcaceet cohŽrenteˆlaqual itŽdecesi nteractions.

Ilimportea ussiquelecontenucu lturelethistoriq uedesmathŽmatiqu esnesoit passacriގaupr oÞtdelaseule

technicitŽ.Enparticulier,ilpeutsÕavŽrerpertinentd ÕanalyserlÕinter actionentreuncontextehistor iquee tsoci aldonnŽ,

uneproblŽma tiquespŽciÞqueetlaconstruction,pourlarŽsoudre, dÕoutilsmathŽmatiq ues.

MathŽmatiquesPCSI

3/32

Architectureetcontenuduprogramm e

probabilitŽssontintroduitesausecondsemestr e.Sila gŽomŽtrienÕappara"tpascommeunchampautonome,son

importancedanslareprŽsen tationdesobjet sduprogramme nesauraittresous-estimŽe.Ains i,le programme

euclidiens,lesfonctionsdÕunevar iablerŽelle .Lesnotionsde gŽomŽtrieafÞneeteuclidienneŽt udiŽesaulycŽeson t

reprisesdansuncadreplus gŽnŽral.

LՎtudedechaquedomainepe rmetde dŽvelopperdesaptitudesaur aisonnementet ˆlamodŽlisationetdՎtablir des

liensaveclesautres disciplines.

linŽaire,pourlaquelleunŽquilibre est rŽalisŽentrelespoint sdevuegŽomŽtri queetnumŽrique.Ilimpor tedesouligner

Lepr ogrammedÕanalyseestcentrŽautourd esconceptsfondamentauxdefonctionet desui te.Lesin teractionsen tre

etquan titatifs,ildŽveloppeconjointement lՎt udeducomportementglobalde suiteoudefonctionaveccellede

leurcomporte mentlocalouasymptotique.Ëcetitre,lesmŽthodesd elÕanalyseasymptotiquef ontlÕob jetdÕune

sectionspŽciÞque,qui estexploitŽultŽrieurement danslՎtudedes sŽries .PourlՎtudedessolutions desŽquations,le

LÕenseignementdesprobabilitŽsseplacedansle cadre desuniversÞnis.Ilav ocationˆ inter agiravecle restedu

programme.LanotiondevariablealŽatoirepe rmetd Õaborderdessit uat ionsrŽellesnŽcessitant unemodŽlisation

probabiliste.LÕaccentmissurcettenotion permetdetra vailler rapidementavecdes ŽvŽnemen tsconstr uitsentermes

devar iablesalŽatoires.

desfonctions ,calculdeprimitives ,rŽsolution dec ertainstypesdՎquationsdiffŽrentielles).Les thŽoriessou s-jacen tes

sontŽtudiŽes ultŽrieurement, cequidoitenfaciliterlÕassimilation.

exemplessimples, uncertainn ombrede mŽthodesdecalcul,maisaussiconna"tre leurcadredÕapplic ationetla forme

desrŽsult atsquÕellespermettentd Õobtenir.

EncohŽren ceaveclÕintroductiondÕun enseignementd ÕalgorithmiqueaulycŽe,leprogrammeencour ageladŽmarche

algorithmiqueetlerecours ˆlÕ outilinfo rmatique(calculatrices,logiciels).IlidentiÞeun cert ainnombredÕalgorithmes

quidoivent treconnusetpratiq uŽsparlesŽtudi ants.Ceux-cidoiventŽgalementsav oirutilis erlesfonctionnalitŽs

graphiquesdescalculatri ceset deslogiciels.

Levol umeglobalduprogrammeaŽtŽ conupou rlibŽrer destempsdŽdiŽsˆunemi se enac tivitŽeffective desŽtudiant s,

quelquesoi tlecontextepr oposŽ(cours,tr avaux dirigŽs).

Organisationdutexte

Leprogr ammedŽÞnitlesobjectifsdelÕenseign ementetdŽcritl esconnaissan cesetlescapacitŽsexigibles des Žtudiants;

ilprŽciseaussi cert ainspoin tsdeterminologieetcer tainesnotations .Il Þxeclairementleslimitesˆ respecter tantau

niveaudelÕenseignement quedes ŽpreuvesdՎvaluation,ycomprisparlesop Žrateursdec oncours .

ËlÕ intŽrieurdechaquesemestre,leprogr ammee stdŽclinŽen sections.Chaquesectioncomporteunbande audŽÞ -

nissantlesobjectifsessentiel setdŽli mitantlecadredՎtudedes notionsquiluisontrela tiveset untexteprŽsentŽen

deuxcol onnes:ˆgaucheÞgurent lescontenus dupr ogramme(connaissancesetmŽth odes);ˆdroiteuncommentaire

indiquelescapa citŽsexigi blesdesŽtudiants,prŽcisequelqu esnotationsainsiqueles ensoules limitesˆdonnerˆ

certainesquestions.Ël ÕintŽrieurdechaquesemestr e,le professeurconduitentoutelibertŽ,dansle respect dela

cohŽrencedelaformationglobale, lÕorg anisationdeso nenseignementetlechoixdesesmŽthodes. Enparti culier,

lachr onologieretenuedanslaprŽsentationdesdiff Žrentessectionsdechaquesemestrenedoitpastr einterprŽtŽe

objectifsdelÕenseignemen tdi spensŽaucoursdecettepŽriode.Cesobjectifssont dŽtaillŽsdanslebandeauquis uitle

titreÇPremiersemestreÈ.

Parmilesconnaissances(dŽÞn itions,notation s,ŽnoncŽs,dŽmonstrat ions,mŽthodes, algorithmes...)etlescapacitŽsde

mobilisationdecesconnaissan ces,le textedu programmedŽlimitetroiscatŽgories:

Ðcellesquisont exigiblesdes Žtudiants :ilsÕagitdelÕensembledes po intsÞgurantdanslacolonnedegauched es

diffŽrentessections;

MathŽmatiquesPCSI

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Ðcellesquisont indiquŽesdanslesban deauxoud anslacolonne dedroitecomm eŽtant Çhorspro gramme È.Elles

nedoiven tpastretraitŽesetnepeuvent fairelÕ objetdÕaucuneŽpreuv edՎvaluatio n;

particulierdesactivitŽspro posŽes pourillustrerlesdiffŽrentesnotions duprogramme.

droiteparlalocutionÇdŽmonstration nonexigibleÈ,leprofesseur estlib re dÕapprŽcie r,selonlecas,sÕ ilestsouhaita ble

dedŽmontr erendŽtaillerŽsultatconsidŽrŽ,d Õindiq uerse ulementl ÕidŽedesadŽmonstr ation,oud elÕadmettre.

AÞnde faciliterl Õorganisationdutravailde sŽtudiantsetdemontrerlÕintŽrtdesnotionsŽtudiŽes ,ilcon vientdÕen

aborderlÕenseignementen coordinationavecles autr esdisciplinesscientiÞques.

MathŽmatiquesPCSI

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Premiersemestre

Lepr emiersemestrevisedeuxobject ifsmajeurs.

¥AmŽnagerunpassag eprogressi fdelaclassedetermina leˆlÕenseignementsupŽrieur,encommen antpar

renforceretapprofondirlesconn aissancesdes bacheliers.Ëcetitre ,troissection sjouentunr™lepar ticuli er.

ÐLasecti onÇRaisonnementetvoc abulaire ensemblisteÈregroup edesn otionsdontlaplupartontŽtŽ misesen

placeaulycŽ e.I lsÕagitdelesconsolideretdele sstructureraÞn quÕellessoien tma"trisŽes parles Žtudiantsˆla

Þndup remier semestre.CettesectionnÕ apasvocationˆt reenseignŽedÕun seultenantnientoutdŽbutde

semestre.

ÐLessections ÇComplŽmentsdecalculalgŽbriqueet detr igonomŽtrieÈetÇ Techniquesfo ndame ntalesdecalcu l

ˆce stade,mais dŽmontrŽsplusloind ansleprogramme. CetteprŽsentationendeux temps, destinŽeˆf aciliter

lesappr entissages,peuttremodulŽeparleprofesseur.

¥Susciterlacuriosit Žet lÕintŽrtdesŽtudiantsenleurprŽsent antunspect resufÞsammentlargedeproblŽma tiques

etde champsnouv eaux.

ÐLasec tionÇNombr escomplexesÈ permetlՎtudealgŽbriqueetgŽomŽtrique dec esnombr es.Elleab ordedes

ÐLessection sÇNombresrŽelsetsuitesnumŽriques ÈetÇ Limites,continuit Ž,dŽrivabilit ŽÈf ondentl Õanalyse

rŽellesurdesb asessolides.

ÐParlespossibilitŽs quÕelleoffre decombinerbeau coupdÕidŽesetdet echniquesŽtudiŽesaucours dupremier

semestre,lasectionÇPolyn™ mes Èconst itu eunobjetdՎtudepertinentpourlaÞndusemestre.

ma"triserapide destechniquesdecalculestunimpŽr atif,notammenten vuedelÕenseignementdeph ysique-ch imie.

Lesensemblesde nombresusuelsN,Z,Q,RsontsupposŽsconn us. Touteconstructionesthors programme.

Raisonnementetvocabulairee nsembliste

Cettesectionregroupe lesdiffŽrents pointsdevocabulaire,notations ,outilsetr aisonnementsnŽcessairesauxŽtudi ants

pourlaconcept ionetlarŽdaction efÞcacedÕunedŽ monstration math Žmatique.Cesnotionsdoiv enttreintroduitesde

Leprogr ammeselimitestrictement auxnoti onsdebaseÞguran tci-dessous.TouteŽtudesystŽmati quedelalogiqu e,dela

thŽoriedesensembles oudelÕari thmŽtiqueesthorspr ogramme.

CONTENUSCAPACITƒS&COMMENTAIRES

a)Rudiment sdelogique QuantiÞcateurs.LÕemploidequantiÞcateurseng uised ÕabrŽviationest exclu.

Implication,contraposition,Žquivalence .LesŽtudiants doiventsavoirformulerlanŽgationd Õune

proposition.

Modesderaisonnement :pardisj onctiondescas,par

prŽciserles notionsdecondition nŽcessaireetcondi tion sufÞsante. RaisonnementparrŽcurrence(simple ,double,f orte).Touteconstructionettou teaxiomatiquedeNsonthors programme. b)Ensem bles

Ensemble,appartenance.Ensem blevide.

Inclusion.Partie(ousous-en semble).

OpŽrationssurlespartie sdÕ unensembl e:rŽunion,inter- section,diffŽrence,compl Žmentaire.

NotationA\Bpourladi ffŽr enceetE\A,AetA

c pourle complŽmentaire. ProduitcartŽsiendÕun nombreÞnidÕensembles .

EnsembledespartiesdÕ unensemble .NotationP(E).

Recouvrementdisjoint,partition.

MathŽmatiquesPCSI

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CONTENUSCAPACITƒS&COMMENTAIRES

c)Ensem blesdenombresusuels Entiersnaturels,entiersr elatifs,divisibi litŽdansZ,divi- seurs,multiples. PGCDdedeuxen tiersrelat ifsdontlÕu naumoinsestnon nul. LePGCDdeaetbestdŽÞnic ommeŽtant leplus grand ŽlŽment(pourlÕordrenatu reldansZ)del Õensemble des diviseurscommunsˆaetb. PPCM.

AlgorithmedÕEuclide.

Nombrepremier.

LÕensembledesno mbres premiersestinÞni.

Existenceetunici tŽde ladŽcompositiondÕunentierna- turelnonnulenprodu itde nombre spremiers .

LadŽmonstrationest horsprogramme.

ApplicationaucalculduPGCDetduPPCM.

NombresdŽcimaux,rationnels,r Žels,i rrationnels.Laconstruc tiondesensemblesdenombresusuels,en particuliercelledeR,est hors programme. d)A pplications

ApplicationdÕunensembledansu nensemble.

GraphedÕuneapplication.

Lepointdevue estintu itif:u neapplication deEdansF associeˆtoutŽlŽmen tdeEununiq ueŽlŽmentdeF.

Leprogramm enedistinguepaslesnotionsdefonction

etdÕap plication.

NotationsF(E,F)et F

E

FamilledՎlŽmentsdÕun ensemble.

FonctionindicatricedÕunepar tiedÕunensemble.Notation1 A

Restrictionetprolongement.N otationf|

A

Imagedirecte .Notationf(A).

ImagerŽciproque. Notationf

1 (B).Cet tenotationpouvantpr terˆconfu- sion,onp eutpr ovisoirementenutiliser uneautre.

Composition.

Injection,surjection.ComposŽededeuxinjecti ons,de deuxsurjections . Bijection,rŽciproque.C omposŽededeuxbijections,rŽci- proquedelacomposŽe.

Notationf

1 .Comp atibilitŽdecettenotationavecc elle delÕimag erŽciproque .

MathŽmatiquesPCSI

7/32 ComplŽmentsdecalculalgŽbriqueetd etr igonomŽtrie Ðcalculsdesommesetdeprodui ts,dont laformul edubin ™me; ÐmanipulationdÕinŽgalitŽsetrŽsolut iondÕinŽquations; ÐutilisationducercletrigonomŽt rique,mani pulationdeslignesetfonctionstri gonomŽtriques.

CONTENUSCAPACITƒS&COMMENTAIRES

a)Sommese tproduits SommeetproduitdÕune famille ÞniedenombresrŽels. Notations i"I a i n i=1 a i i"I a i n i=1 a i .C asoIestvide . Sommesetproduits tŽlescopiques ,exemplesdechange- mentsdÕindicesetde regroupement sdeter mes. Danslapratiqu e,ones tlibredeprŽsenterlescalculsavec despo intsdesuspension.

Expressionssimpliގesde

n k=1 k, n k=1 k 2 n k=0 x k

Factorisationdea

n b n para b. Sommesdoubles.Produitde deuxsommesÞnies.Exemp lesdesommestriangul air es. Rappelssurlafact orielle ,lescoefÞcient sbinomiaux.

Formuledubin™medansR.

Convention

n k =0pour k<0etk>n. tionsˆdeuxoutrois inconnu es. InterprŽtationgŽomŽtrique:intersectiondedr oites dansR 2 ,deplan sdans R 3 Algorithmedupiv otetmiseen ŽvidencedesopŽrations

ŽlŽmentaires.

NotationsL

i #L j ,L i $ L i ( %=0),Lquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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