[PDF] Inverse dune matrice carrée - Exercices Terminale Option maths

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Inverse d'une matrice carree - Exercices

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jaicomp ris.com1.Mon trerque les matrices A et B son tin versesl'une de l'autre. A =0 B @1 2 341
C

AB =12

0 B @42 3 11 C A 2. Quelle sv aleursfaut-il donner aux r eelscetdde facon a ce que C et D soient inverses? C =0 B

BBB@c2 3

0 1 4

5 6 01

C

CCCAD =0

B

BBB@24 18 5

20154
d4 11 C

CCCAMontrer que la matrice A =

0 B @2 4 3 61 C

An'est pas inversible (sans utiliser le determinant).On considere deux matrices carrees A et B de m^eme ordre et inversibles.

Montrer que le produit AB est inversible et donner son inverse en fonction de A

1et B1.Soit A une matrice carree telle que A

2= 0. 1. A l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer que A n'est pas inversible. 2.

Mon trer,en rev anche,que I + A est in versible(I d esignantla matrice iden titede m ^emeordre que A). Demontrer que si une matrice est inversible alors son inverse est unique.

Soit A une matrice carree dierente de la matrice unite, montrer en utilisant un raisonnement par l'absurde

que si A verie A

2= A alors A n'est pas inversible.On considere la matrice A =

0 B @12 3 41 C A. 1.

Calcul erA2, puis A23A + 2A2.

2. En d eduireque la matrice A est in versibleet donner son in verse.1

On considere les matrices A =

0 B @a b c d1 C

Aet B =0

B @db c a1 C

Aoua,b,cetdsont des reels.

1.

Justier que A B = (adbc)I2.

2. (a) Mon trerque si adbc6= 0, la matriceAest inversible et preciser l'inverse de A. (b) R eciproquement,mon trerque si Aest inversible alorsadbc6= 0. 3.

On consid erela matrice C =

0 B @4 3 6 51 C

Aet la matrice D =0

B @32 961
C A.

C est-elle inversible? Si oui, donner C

1. M^eme question pour D.On souhaite resoudre le systeme (S) :8

>>>>>:x2y2z= 3

2x+y+ 2z=2

2x+z= 1oux,yetzsont des reels.

On pose : X =

0 B BBB@x y z1 C

CCCAet B =0

B BBB@3 2 11 C CCCA. 1. D eterminerle mat riceA telle q uele syst eme( S) soit equivalent a l'equation AX = B d'inconnue X. 2.

V erierque A a p ourin versela matrice

0 B

BBB@1 22

2 56 24 51
C CCCA. 3.

R esoudrele syst eme( S).2

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