[PDF] Math-IV-algèbre Formes (bi)linéaires

Comment calculer la forme bilinéaire symétrique ?

Exemples Si f est une forme bilinéaire symétrique sur E, alors l’application q : E ! K dé?nie par : 8x 2E; q(x)= f(x;x) est une forme quadratique sur E, appelée forme quadratique associée à la forme bilinéaire symétrique f.

Comment calculer la forme bilinéaire ?

On dit queq: E?kest uneforme quadratiques’il existebune forme bilinéairetel queq(x) =b(x, x)pour toutx?E. Noter qu’en remplaçantbparb+b0avecb0antisymétrique on ne change pasq. Comme (en caractéristique6= 2) toute matrice estsomme d’une matrice symétrique et d’une matrice antisymétrique, on peut toujours seramener àbsymétrique.

Comment calculer la matrice d’une forme bilinéaire ?

kerb=E?={x?E|x?ypour touty?E}Matrice d’une forme bilinéaire : Sibest une forme bilinéaire, et(ei)une base deE,on appelle matrice debdans la base(ei)la matriceM= (b(ei, ej)). ). NB : pour éviter d’avoir à dire “la transposée” il aurait fallu dé?nir?commehy, ?(x)i=b(x, y), pas terrible.

Quelle est la base orthonormale d'une forme bilinéaire Symé trique non dégénérée sur un espace vectoriel ?

Soit E un C-espace vectoriel de dimension ?nie = n. Alors toute forme bilinéaire symé- trique non dégénérée sur E, possède au moins une base orthonormale. Proposition 2.24. Preuve On sait que toute forme bilinéaire symétrique sur un K-espace vectoriel de dimension ?nie , possède au moins une base orthogonale. Page 40 sur135Pr.Mohamed HOUIMDI