[PDF] Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques

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Chapitre 2

Formes bilin´eaires sym´etriques,

formes quadratiques

2.1 Formes bilin´eaires sym´etriques

Dans ce qui suit,Eest un espace vectoriel sur un corpsK.

2.1.1 D´efinition

D´efinition 2.1

Une application

b:E×E-→K est appel´ee uneforme bilin´eairequand ?x1,x2,y?E?λ?Kb(x1+λx2,y) =b(x1,y) +λb(x2,y) ?x,y1,y2?E?λ?Kb(x,y1+λy2) =b(x,y1) +λb(x,y2) (bilin´earit´e = lin´earit´e `a gauche + lin´earit´e `a droite).

On dit quebestsym´etriquequand

?x,y?E b(x,y) =b(y,x). Remarquer que la sym´etrie permet de ne v´erifier la lin´earit´e que d"un seul cˆot´e.

Exemples:

1. E=K. La multiplication (x,y)?→xyest une forme bilin´eaire sym´etrique surK×K. 5

6CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES

2.

E=R2. Le produit scalaire usuel

µµx1

x ,µy1 y ?→x1y1+x2y2 est une forme bilin´eaire sym´etrique surR2×R2. 3.

E=C([-1,1],R). L"application

C

0([-1,1],R)× C0([-1,1],R)-→R

(f,g)?-→Z 1 -1f(t)g(t)dt est une forme bilin´eaire sym´etrique. 4.

E=Mn(K). L"application

M n(K)×Mn(K)-→K (A,B)?-→trace(AB) est une forme bilin´eaire sym´etrique (v´erifier la sym´etrie).

2.1.2 Matrice d"une forme bilin´eaire sym´etrique

On suppose

Ede dimension finien. SoitE= (e1,...,en) une base deE. Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique surE×E.

D´efinition 2.2

La matriceME(b)debdans la baseEest la matrice sym´etrique n×nqui a pour coefficientsb(ei,ej)(i num´ero de ligne entre 1 etn,jnum´ero de colonne entre 1 etn). Sixetysont des ´el´ements deEdont les vecteurs colonnes de coordonn´ees dans la baseEsontXetYrespectivement, on a b(x,y) =tX ME(b)Y . Dans l"autre sens, siMest une matrice sym´etrique dansMn(K), alors (x,y)?→tX M Y(o`uXetYsont les vecteurs colonnes des coordonn´ees de xetydans la baseE) est bien une forme bilin´eaire sym´etrique.

Exemple:µ3 1

est la matrice (dans la base canonique) de la forme bilin´eaire sym´etrique

µµx1

x ,µy1 y ?-→3x1y1-2x2y2+x1y2+x2y1. SoitE?une autre base deEetPla matrice de changement de base deE `aE?.

2.1. FORMES BILIN

´EAIRES SYM´ETRIQUES7

Rappel : Changement de base.

D´efinition 2.3

La matrice de changement de base deE`aE?= (e?1,...,e?n)est la matrice inversibleP dont laj-`eme colonne est form´ee des coordonn´ees dee?jdans la baseE.

Proposition 2.4

Soitxun ´el´ement deE,X(respX?) le vecteur colonne de ses coodonn´ees dansE (resp.E?). AlorsX=P X?. Soituun endomorphisme deE,M(resp.M?) sa matrice dans la baseE (resp.E?). AlorsM?=P-1AP. Proposition 2.5 (Changement de base pour les f.b.s.)

La matrice de

la forme bilin´eaire sym´etrique dans la nouvelle baseE?est M

E?(b) =tP ME(b)P .

2.1.3 Forme bilin´eaire et dualit´e

Soitb:E×E→Kune forme bilin´eaire sym´etrique. Pour toutx?E, l"application b(·,x) :E-→K y?-→b(y,x) est une forme lin´eaire surK, c"est `a dire un ´el´ement du dualE?.

Proposition 2.6

L"application

b:E-→E? x?-→b(·,x) est lin´eaire. On appelle?bl"application lin´eaire deEdans son dual associ´ee `a la forme bilin´eaire sym´etriqueb. SiEest de dimension finie etEest une base deE, alors la matrice debdansEest ´egale `a la matrice de?b:E→E?o`uEest muni de la baseEetE?de la base dualeE?.

D´efinition 2.7

Lenoyaude la forme bilin´eaire sym´etriqueb, not´eker(b) est le noyau de?b, c.-`a-d. : ker(b) ={x?E| ?y?E b(y,x) = 0}. La forme bilin´eaire sym´etriquebest ditenon d´eg´en´er´eequand son noyau est r´eduit `a{0}. SiEest de dimension finie, lerangdebest le rang de l"application?b, c.-`a-d. aussi le rang de la matrice debdans une base deE.

8CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES

On peut v´erifier que toutes les formes bilin´eaires sym´etriques donn´ees en exemple apr`es la d´efinition 2.1 sont non d´eg´en´er´ees. En dimension finie, une forme bilin´eaire sym´etriquebsurE×Eest donc non d´eg´en´er´ee si et seulement si sa matrice dans une base deEest inversible.

Proposition 2.8

Soitbune forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee sur E×E, o`uEest de dimension finie. Alors, pour toute forme lin´eaire??E?, il existe un uniquex?Etel que ?y?E ?(y) =b(y,x).

2.1.4 Orthogonalit´e

Dans ce paragraphe,best une forme bilinaire sym´etrique surE×E.

D´efinition 2.9

SoitFun sous-espace vectoriel deE. L"orthogonal deF pourbest le sous-espace deEd´efini par F ?={x?E| ?y?F b(y,x) = 0} Par exemple, pour le produit scalaire dansR3, l"orthogonal d"une droite vectorielleDest bien le plan vectoriel orthogonal (au sens usuel) `aD. Le lien avec l"orthogonal pour la dualit´e se fait grˆace `a l"application lin´eaire?b:E→E?associ´ee `ab.

Proposition 2.10

F ?= (?b(F))◦.

Th´eor`eme 2.11

On supposeEde dimension finien.

Sibest non d´eg´en´er´ee, alorsdim(F?) =n-dim(F). En g´en´eraldim(F?) =n-dim(F) + dim(F∩ker(b)).

Proposition 2.12

On a toujoursF?(F?)?. SiEest de dimension finie

etbnon d´eg´en´er´ee, on aF= (F?)?.

2.2 Formes quadratiques

A partir de maintenant et pour tout le reste du chapitre, le corpsKest suppos´e de caract´eristique diff´erente de 2, ce qui veut dire que 2?= 0 dansK (par exemple,Z/2Zest exclu). On d´esigne toujours parEun espace vectoriel surK.

2.2. FORMES QUADRATIQUES9

2.2.1 D´efinitions

D´efinition 2.13

Une applicationq:E→Kest appel´ee forme quadratique surEs"il existe une forme bilin´eaire sym´etriquebsurE×Etelle que ?x?E q(x) =b(x,x). La forme quadratiqueqest diteassoci´ee `a la forme bilin´eaire sym´etrique b. Les formes quadratiques associ´ees aux formes bilin´eaires sym´etriques donn´ees en exemple apr`es la d´efinition 2.1 sont respectivement 1. x?→x2(surK), 2. x1 x ?→x21+x22(surR2), 3. f?→R1 -1f(t)2dt(surC0([-1,1],R)), 4.

A?→trace(A2) (surMn(K)).

Proposition 2.14

Siqest une forme quadratique surE, alors il existe une unique forme bilin´eaire sym´etriquebsurE×Etelle queqsoit associ´ee `ab. On l"appelle laforme polaire deq, et elle est d´efinie par b(x,y) =1 2 (q(x+y)-q(x)-q(y)). SiEest de dimension finie etEune base deE, lamatriceMde la forme quadratiqueqdans la baseEest la matrice de sa forme polaire. La forme quadratique s"exprime alors matriciellement commeq(x) =tX M X, o`uXest le vecteur colonne des coordonn´ees dexdansE. Une forme quadratiqueqs"exprime comme un polynˆome homog`ene du second degr´e en fonction des coordonn´ees (x1,...,xn) : c"est une somme de monˆomes enx2iouxixj. Par exemple, la forme quadratique q(x1,x2,x3) =x21+ 7x22+ 6x1x2-2x1x3+ 8x2x3 a pour matrice 0 @1 3-1 3 7 4 -1 4 01 A Une forme quadratiqueqest ditenon d´eg´en´er´eequand sa forme polaire l"est. On d´efinit lenoyauet lerangd"une forme quadratique comme ceux de sa forme polaire. De mˆeme, l"orthogonal d"un sous-espacepour une forme quadratique est son orthogonal pour la forme polaire.

10CHAPITRE 2. FORMES QUADRATIQUES

D´efinition 2.15

Un ´el´ementxdeEest ditisotropepour la forme qua- dratiqueqquandq(x) = 0. Exemple: La forme quadratiqueqsurR2d´efinie parq(x1,x2) =x21-x22 a pour matriceµ1 0 . Elle est non d´eg´en´er´ee, son noyau est r´eduit `a {0}. Mais l"ensemble de ses vecteurs isotropes est la r´eunion des deux droites vectorielles d"´equationsx2=x1etx2=-x1.

Proposition 2.16

Soitqune forme quadratique surE. Sixest un ´el´ement non isotrope deE, alorsVect(x)?est un hyperplan deEsuppl´ementaire de

Vect(x).

2.2.2 Base orthogonale, d´ecomposition en carr´es

D´efinition 2.17

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