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Chapitre3:statiquedesfluides

Mecanique des

uides

Christophe Ancey

Chapitre3:statiquedesfluides

Origine physique de la pression

Loi de Pascal

Principe d'Archimede

Calcul de la pression

my headerMecanique des uides 2 o

Unpetitquizpours'échauffer

Trois facettes sont plongees a la m^eme

profondeur, mais avec des orientations dierentes. Sur quelle facette la pression est maximale? my headerMecanique des uides 3 o

Unpetitquizpours'échauffer

On place un corps solide de massemsur un

plan horizontal. On tire le solide a vitesse constante en exercant une forceF. Le solide est soumis a une force de frottement (Coulomb). On realise tout d'abord l'experience dans l'air. On reitere ensuite l'experience dans l'eau. Dans quel milieu (eau ou air) la force de traction est la plus faible? my headerMecanique des uides 4 o

Originephysiquedelapression

Pour un gaz dilue, la pression est denie comme un

ux de quantite de mouvement a travers une surface :p=13 nmv2, avecnle nombre de molecules par unite de volume,vla vitesse d'agitation thermique, etmla masse d'une molecule. my headerMecanique des uides 5 o

Originephysiquedelapression

A l'echelle macroscopique, il en resulte une force diteforce de pression:

F=pSn;

avecnla normale a la surface orientee vers l'interieur du volume uide etSla surface de la paroi. L'unite depest le pascal [Pa], celle deFle newton [N]. my headerMecanique des uides 6 o

Différentssensdumotpression

Attention, le motpressiona plusieurs sens :

sens commun en mecanique ou en physique : synonyme decontrainte(force par unite de surface); pour un gaz ou un uide compressible,pest denie thermodynamiquement a partir de l'energie interneU(dU=TdSpdV) : p=@U@V S pour un uide incompressible : la pression est indenie et sert a assurer l'incompressibilite du uide dans les equations du mouvement; en mecanique des milieux continus : la pression designe une contrainte moyenne isotrope. my headerMecanique des uides 7 o

Compressibilité

On introduit la compressibilite isotherme d'un

uide et la compressibilite adiabatique (ou isentropique) T=1V @V@P T etS=1V @V@P S =1% @%@P S

Pour un gaz parfaitT= 1=PetT=S=

=Cp=Cv1;5indice adiabatique ou rapport des constantes thermiques). Relation avec la vitesse du son : on denit la celerite comme c

2=@p@%

S ce qui fournit egalement la relation c 2=1% S: my headerMecanique des uides 8 o

On trouve que :

pour un gaz : le milieu est compressible avecS/1=P= 105Pa1; pour un liquide : le milieu est tres faiblement compressible avecS=O(1010) Pa

1(p. ex. eau a20C,S= 4;581010Pa1). En pratique, on suppose qu'il

est incompressible.

Nombre de Mach pour un ecoulement d'un

uide compressible a la vitesseu: M=uc aveccla celerite du son. PourM1, un ecoulement de gaz ne subit pas de variation signicative de volume : l'ecoulement est ditisochore. my headerMecanique des uides 9 o

LoidePascal(1648)

Considerons un

uide au repos et isolons un volume elementaire. my headerMecanique des uides 10 o

LoidePascal

Faisons le bilan des forces.

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LoidePascal

Sur la facette 1, la force de pression vautdF1=p(x+ dx;z)dz my headerMecanique des uides 12 o

LoidePascal

Sur la facette 2, la force de pression vautdF2=p(x;z+ dz)dx my headerMecanique des uides 13 o

LoidePascal

Bilan des forces projetees sur l'axex

dF1+ dF3= 0 =p(x;z)dzp(x+ dx;z)dz)pest independant dex:

Bilan des forces projetees sur l'axez

dF2+F4+ dP= 0 =p(x;z+ dz)dx+p(x;z)dxgdxdz my headerMecanique des uides 14 o

LoidePascal

En regroupant les termes, on a :

p(x;z+ dz)p(x;z)dz=g; ce qui donne dans la limitedz!0 dpdz=g:

C'est laloi de Pascalou loi de l'hydrostatique.

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LoidePascal

Quelques consequences :

La loi se generalise dans des reperes quelconques (roperateur gradient) rp+g= 0:

Pour des

uides incompressibles (ou des ecoulements isochores), on a (p: dierence de pression) p=gh: my headerMecanique des uides 16 o

Loidunivellementbarométrique

Pour des

uides compressibles, il faut tenir compte des variations de. Pour un gaz parfait :p=R0T(ouR0=R=MavecR= 8;31JK1mol1) la constante des gaz parfaits etM= 0;029kgmol1la masse molaire de l'air), donc dpdz=g=pR 0Tg:

Par integration et en prenantp(0) =pa, on a :

p=paexp gzR 0T

C'est l'equation dunivellement barometrique.

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Principed'Archimède

Le principe d'Archimede (287{212 avant Jesus-Christ) :

Tout corps immerge dans un

uide au repos est soumis de la part du uide a une poussee verticale, opposee a la force de gravite, egale au poids du volume de uide deplace et appliquee au centre de masse de ce uide (centre appelecentre de carene pour les bateaux). my headerMecanique des uides 18 o

Principed'Archimède

Ce principe se deduit assez aisement de l'equation de Pascal. Considerons le volume Voccupe par le corps immerge et integrons l'equation de Pascal Z V rpdV+Z V %gdV= 0; d'ou l'on deduit par utilisation du theoreme de Green-Ostrogradski Z S pndS |{z} resultante des forces de pression+Z V %gdV |{z} poids propre= 0: my headerMecanique des uides 19 o

Calculdesforcesenpratique

La force de pression exercee sur une paroi de surfaceSest : F=Z S (pn)dS avecnnormale a la surface elementairedS, orientee de l'interieur vers l'exterieur. Le calcul de la force se fait en plusieurs etapes : 1. calculerla p ression; 2. identierles surfaces o ula p ressionpest constante; 3. determinerla surfac einnit esimaledScompte tenu de la geometrie de la surface S; 4. calculerles comp osantesde n; 5. onint egreF=R

S(pn)dS.

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Exempledubarrage

Considerons un barrage rempli d'eau, avec une hauteurhet une largeur`. On veut calculer la force totale de pression qui s'exerce sur le mur du barrage. my headerMecanique des uides 21 o

Exempledubarrage

Loi de Pascal :p0(z) =g)p(z) =pa+g(hz).

La distribution est lineaire avec la profondeur : on parle dedistribution hydrostatique. Pour simplier on posepa= 0. my headerMecanique des uides 22 o

Exempledubarrage

La surface innitesimale estdS=`dz. La normale a cette surface estn= (1;0). La force de pression est donc : F=Z S (pn)dS=`nZ h 0 g(hz)dz=g`h22 n my headerMecanique des uides 23 o

Exempledubarrage

Le moment de force en O est

M=Z S (prn)dS=`eyZ h 0 gz(hz)dz=g`h36 ey avecr=zez my headerMecanique des uides 24 o

Exempledubarrage

Synthese : distribution lineaire (hydrostatique) de pression. CommeM=Fh=3, le point d'application de la force est situe au tiers de la hauteur du barrage (depuis O). my headerMecanique des uides 25 o

Réponseauquiz

Trois facettes sont plongees a la m^eme

profondeur, mais avec des orientations dierentes. Sur quelle facette la pression est maximale?

Si la surface est innitesimale, la pression

est identique sur toutes les facettes car elle ne depend que de la profondeur d'eau. my headerMecanique des uides 26 o

Réponseauquiz

On place un corps solide de massemsur un

plan horizontal. On tire le solide a vitesse constante en exercant une forceF. Le solide est soumis a une force de frottement (Coulomb). On realise tout d'abord l'experience dans l'air. On reitere ensuite l'experience dans l'eau. Dans quel milieu (eau ou air) la force de traction est la plus faible? my headerMecanique des uides 27 o

Réponseauquiz

La force de frottement est proportionnelle au

poids dejauge(poids propre force de pression) : pour un objet entoure d'eau, la force d'Archimede contrebalance le poids; mais si l'objet est contact avec le fond, ce n'est plus le cas... my headerMecanique des uides 28 oquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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