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et on a vu dans l'exercice précédent que les topologies faible et forte ne coïncident jamais en dimension infinie. ⋆. Solution 5. L'application J (suite). 1

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TD n o4 : Topologies Faibles SoitXun espace de Banach, soitX0son dual (l'ensemble des formes lineaires continues surX) etX00son bidual. On introduit la topologie faible(X;X0) comme la topologie deXengendree par les demi-espacesf1(];+1[) ouf2X0est une forme lineaire continue et2R. Une suite (xn)Xconverge faiblement versx2Xsi pour toute forme lineairef2X0, f(xn)!f(x) et on note alorsxn* x. On introduit la topologie faible-(X0;X) comme la topologie deX0engendree par les demi-espacesff2X0;f(x)> goux2Xet2R. Une suite (fn)X0 converge faiblement-versf2X0si pour toutx2X,fn(x)!f(x) et on note alors f n* f. On note donc queX0est muni de trois topologies : la topologie forte de la norme triple, la topologie faible(X0;X00) et la topologie faible-(X0;X). On note aussi que siXest re exif, alors les topologies faibles(X;X0) et faible-(X;X0) =(X00;X0) sont les m^emes.

Pour les exercices suivants, on pourra utiliser :

Banach-Steinhaus :SiEetFsont deux espaces de Banach et siUest une famille d'applications continues deEdansF, alors soit l'ensemble desx2E tels quefu(x); u2 Ugest borne est d'interieur vide, soit c'estEtout entier. Dans ce dernier cas, la familleUest uniformement bornee pour la norme triple. Tychono :Tout produit d'espaces compacts (muni de la topologie produit) est compact. Exercice 1 : A propos de la convergence faibles des suites Verier que la convergence faible de (xn)Xest bien la convergence simple comme rappele ci-dessus. Idem pour la convergence faible-. Exercice 2 : Proprietes de base de la topologie faible

1) Montrer que la topologie faible est separee, c'est-a-dire que pour toutx16=x2, il

existe deux ouverts disjointsO1etO2contenant respectivementx1etx2. En deduire l'unicite de la limite faible.

2) Montrer que la convergence forte implique la convergence faible vers la m^eme limite.

3) Montrer que si (xn) converge faiblement versxalorskxnkest uniformement bornee

etkxk liminfkxnk.

4) Montrer que si (xn)Xconverge faiblement versxet (fn)X0converge

fortement versf, alorsfn(xn) converge versf(x). Exercice 3 : Proprietes de base de la topologie faible- Refaire l'exercice precedentmutatis mutandispour la topologie faible-(X0;X).

Exercice 4 : En dimension nie

Montrer que surRn, la topologie faible est identique a la topologie forte.

Exercice 5 : Cas des espaces de Hilbert

On suppose dans cet exercice queXest un espace de Hilbert. Montrer que si (xn) converge faiblement versxet sikxnktend verskxk, alors (xn) converge fortement versx. Donner un exemple de suite (en)`2(N) qui converge faiblement mais pas fortement.

Exercice 6 : Test sur un sous-ensemble dense

1) Montrer que si (xn) est une suite bornee deXtelle quef(xn) converge versf(x)

pour toutfdans un ensembleDdense deX0, alors (xn) converge versxfaiblement.

2) Montrer que si (fn) est une suite bornee deX0telle quefn(x) converge versf(x)

pour toutxdans un ensembleDdense deX, alors (fn) converge versffaiblement-.

3) Donner un exemple de suite (xn)Xtelle quef(xn) converge versf(x) pour tout

fdans un ensembleDdense deX0mais telle que (xn) ne converge pas faiblement.

Exercice 7 : Exemples dansLp

On considereX=Lp(R) avecp2]1;+1[. On introduit une fonctionf2 C10(R) telle quekfkp= 1. Montrer que les suites suivantes convergent faiblement vers 0 dansX, bien qu'elles soient de norme 1.

1) Oscillations :en:x7!e2inxf(x).

2) Concentration :un:x7!n1=pf(nx).

3) Fuite a l'innivn:x7!f(xn).

4) Etalementwn:x7!n1=pf(x=n).

En deduire un exemple surX=L2(R) de suites (xn) convergeant faiblement dans Xet (fn) convergeant faiblement-dansX0telles quefn(xn) ne converge pas.

Exercice 8 : Convexes et fermes

SoitKun convexe ferme deX. Montrer queKest l'intersection des demi-espaces fermes le contenant. En deduire queKest ferme pour la topologie faible. Donner un exemple de ferme pour la topologie faible qui n'est pas convexe. Exercice 9 : Compacite sequentielle de la boule unite faible-

1) Montrer que la boule unite fermee deX0pour la topologie forte est compacte pour

la topologie faible-.

2) On suppose queXest separable. Soit (fn) une suite bornee deX0, montrer qu'il

existe une sous-suite convergente pour la topologie faible-(X0;X).

3) Montrer par un exemple que la sphere unite deX0pour la topologie forte n'est pas

compacte pour la topologie faible-.

4) En deduire que siXest re

exif et separable, alors la boule unite fermee deX(pour la topologie forte) est faiblement compacte pour les suites.

5) Montrer par un contre-exemple que la compacite de la question precedente est

fausse siXn'est pas re exif ou n'est pas separable.quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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