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Mathématiques appliquées pour le Master / SMAI. ANALYSE NUMÉRIQUE. MATRICIELLE. Cours. Exercices. Corrigés détaillés. Luca Amodei. Jean-Pierre Dedieu.
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Qu'est-ce que l'analyse matricielle ?
Une structure matricielle repose sur le principe de dualité au niveau du contrôle et de la gestion. La structure de l'entreprise se fait selon deux niveaux – opérationnel et fonctionnel – et le découpage de l'activité se fait selon deux critères – la fonction et le projet.Pourquoi l'analyse numérique ?
L'analyse numérique a pour propos la recherche et l'optimisation de méthodes qui permettent d'approcher la solution d'un problème mathématique pour lequel la solution exacte est inaccessible.Comment conditionner une matrice ?
De façon précise, si A est une matrice inversible, son conditionnement est K(A)=?A?×?A?1? K ( A ) = ? A ? × ? A ? 1 ? . Dans l'exemple précédent, on trouve K(A)=4488 K ( A ) = 4488 , où la norme choisie est la norme matricielle associée à la norme infinie sur R4 .- Comment calculer le rayon spectral d'une matrice ? Pour déterminer le rayon spectral d'une matrice, calculer ses valeurs propres, puis leurs valeurs absolues, puis sélectionner celle qui a la valeur maximale.
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Université Aix Marseille
Licence de mathématiques
Cours d"Analyse numérique
Raphaèle Herbin
8 octobre 2014
Table des matières1 Systèmes linéaires5
1.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 5
1.2 Pourquoi et comment? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 5
1.2.1 Quelques rappels d"algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Discrétisation de l"équation de la chaleur . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 15
1.2.4 Suggestions pour les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 19
1.2.5 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 19
1.3 Les méthodes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 22
1.3.2 Méthode de Gauss, méthodeLU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 Méthode de Choleski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 30
1.3.4 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 36
1.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 38
1.3.6 Suggestions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 42
1.3.7 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 42
1.4 Normes et conditionnement d"une matrice . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.4.1 Normes, rayon spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 51
1.4.2 Le problème des erreurs d"arrondis . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 56
1.4.3 Conditionnement et majoration de l"erreur d"arrondi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.4.4 Discrétisation d"équations différentielles, conditionnement efficace" . . . . . . . . . . . 60
1.4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 61
1.4.6 Suggestions pour les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 66
1.4.7 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 67
1.5 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 76
1.5.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 76
1.5.2 Quelques exemples de méthodes itératives . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.5.3 Les méthodes par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 84
1.5.4 Exercices, énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 87
1.5.5 Exercices, suggestions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 94
1.5.6 Exercices, corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 96
1.6 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.6.1 Méthode de la puissance et de la puissance inverse . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.6.2 Méthode QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 112
1.6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 113
1.6.4 Suggestions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 117
1.6.5 Corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 117
1TABLE DES MATIÈRESTABLE DES MATIÈRES
2 Systèmes non linéaires122
2.1 Les méthodes de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 122
2.1.1 Point fixe de contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 122
2.1.2 Point fixe de monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 126
2.1.3 Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 128
2.1.4 Méthode de Newton dansIR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 131
Analyse numérique I, télé-enseignement, L32Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 8 octobre 2014
IntroductionL"objet de l"analyse numérique est de concevoir et d"étudier des méthodes de résolution de certains problèmes
mathématiques, en général issus de la modélisation de problèmes réels", et dont on cherche à calculer la solution
à l"aide d"un ordinateur.
Le cours est structuré en quatre grands chapitres : Systèmes linéaires
Systèmes non linéaires
Optimisation
Equations différentielles.
On pourra consulter les ouvrages suivants pour ces différentes parties (ceci est une liste non exhaustive!) :
A. Quarteroni, R. Sacco et F. Saleri, Méthodes Numériques :Algorithmes, Analyse et Applications, Sprin-
ger 2006. P.G. Ciarlet, Introduction à l"analyse numérique et à l"optimisation, Masson, 1982, (pour les chapitre 1 à 3
de ce polycopié). M. Crouzeix, A.L. Mignot, Analyse numérique des équationsdifférentielles, Collection mathématiques
appliquées pour la maitrise, Masson, (pour le chapitre 4 de ce polycopié). J.P. Demailly, Analyse numériqueet équations différentiellesCollection Grenoble sciences Presses Univer-
sitaires de Grenoble L. Dumas, Modélisation à l"oral de l"agrégation, calcul scientifique, Collection CAPES/Agrégation, El-
lipses, 1999. E. Hairer, polycopié du cours "Analyse Numérique", http ://www.unige.ch/ hairer/polycop.html
J. Hubbard, B. West, Equations différentielles et systèmes dynamiques, Cassini. J. Hubbard et F. Hubert, Calcul Scientifique, Vuibert. P. Lascaux et R. Théodor, Analyse numérique matricielle appliquée à l"art de l"ingénieur, tomes 1 et 2,
Masson, 1987
L.Sainsaulieu,Calculscientifiquecoursetexercicescorrigéspourle2èmecycleet leséécolesd"ingénieurs,
Enseignement des mathématiques, Masson, 1996.
M. Schatzman, Analyse numérique, cours et exercices, (chapitres 1,2 et 4). D. Serre, Les matrices, Masson, (2000). (chapitres 1,2 et 4). P. Lascaux et R. Theodor, Analyse numérique sappliquée auxsciences de l"ingénieur, Paris, (1994)
R. Temam, Analyse numérique, Collection SUP le mathématicien, Presses Universitaires de France, 1970.
Et pour les anglophiles...
M. Braun, Differential Equations and their applications,Springer, New York, 1984 (chapitre 4).Englewood Cliffs, NJ.
R. Fletcher, Practical methods of optimization, J. Wiley,New York, 1980 (chapitre 3). G. Golub and C. Van Loan, Matrix computations, The John Hopkins University Press, Baltimore (chapitre
1). R.S. Varga, Matrix iterative analysis, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ 1962.Pour des rappels d"algègre linéaire :
Poly d"algèbre linéaire de première année, P. Bousquet, R.Herbin et F. Hubert, http ://www.cmi.univ-
mrs.fr/ herbin/PUBLI/L1alg.pdf 3TABLE DES MATIÈRESTABLE DES MATIÈRES
Introduction to linear algebra, Gilbert Strang, Wellesley Cambridge Press, 2008Ce cours a été rédigé pour la licence de mathématiques à distance (téléenseignement) du CTES de l"université
d"Aix-Marseille. Chaque chapitre est suivi d"un certain nombre d"exercices. On donne ensuite des suggestions
pour effectuer les exercices, puis des corrigés détaillés.Il est fortement conseillé d"essayer de faire les exercices
questions n"ont pas pu être effectuées), ceci pour se préparer aux conditions d"examen.Analyse numérique I, télé-enseignement, L34Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 8 octobre 2014
Chapitre 1Systèmes linéaires1.1 ObjectifsOn noteMn(IR)l"ensemble des matrices carrées d"ordren. SoitA? Mn(IR)une matrice inversible, etb?IRn,
on a comme objectif de résoudre le système linéaireAx=b, c"est-à- dire de trouverxsolution de :
?x?IRnAx=b(1.1)
CommeAest inversible, il existe un unique vecteurx?IRnsolution de (1.1). Nous allons étudier dans les deux
chapitres suivants des méthodes de calcul de ce vecteurx: la première partie de ce chapitre sera consacrée aux
méthodes directes" et la deuxième aux méthodes itératives". Nous aborderons ensuite en troisième partie les
méthodes de résolution de problèmes aux valeurs propres.Un des points essentiels dans l"efficacité des méthodes envisagées concerne la taille des systèmes à résoudre. La
taille de la mémoire des ordinateurs a augmenté de façon drastique de 1980 à nos jours.Le développement des méthodes de résolution de systèmes linéaires est liée à l"évolution des machines infor-
matiques. C"est un domaine de recherche très actif que de concevoir des méthodes qui permettent de profiter au
mieuxdel"architecturedesmachines(méthodesdedécompositionensous domainespourprofiterdesarchitectures
parallèles, par exemple).Dans la suite de ce chapitre, nous verrons deux types de méthodes pour résoudre les systèmes linéaires : les
méthodes directes et les méthodes itératives. Pour faciliter la compréhension de leur étude, nous commençons par
quelques rappels d"algèbre linéaire.1.2 Pourquoi et comment?
Nous donnons dans ce paragraphe un exemple de problème dont la résolution numérique recquiert la résolution
d"un système linéaire, et qui nous permet d"introduire des matrices que nous allons beaucoup étudier par la suite.
Nous commençons par donner ci-après après quelques rappelssuccincts d"algèbre linéaire, outil fondamentalpour
la résolution de ces systèmes linéaires.1.2.1 Quelques rappels d"algèbre linéaire
Quelques notions de base
Ce paragraphe rappelle des notions fondamentales que vous devriez connaître à l"issue du cours d"algèbre linéaire
de première année. On va commencer par revisiter leproduit matriciel, dont la vision combinaison linéaire de
lignes est fondamentale pour bien comprendre la forme matricielle de la procédure d"élimination de Gauss.
51.2. POURQUOI ET COMMENT? CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES
SoientAetBdeux matrices carrées d"ordren, etM=AB. Prenons comme exemple d"illustrationA=?1 20 1?
,B=?-1 0 3 2? etM=?5 43 2? On noteai,jbi,jetmi,j,i,j= 1,...nles coefficients respectifs deA,BetM. Vous savez bien sûr que m i,j=n? k=1a i,kbk,j.(1.2) Si on écrit les matricesAetBsous forme de lignes (notées?i) et colonnes (notéescj) : A=??? 1(A) n(A)?? etB=?c1(B)...?n(B)?Dans nos exemples, on a donc
1(A) =?1 2?,?2(A) =?0 1?,c1(B) =?-1
3? c2(B) =?02?
L"expression (1.2) s"écrit encore
m i,j=?i(A)cj(B),qui est le produit d"une matrice1×npar une matricen×1, qu"on peut aussi écrire sous forme d"un produit
scalaire : m i,j= (?i(A))t·cj(B)où(?i(A))tdésigne la matrice transposée, qui est donc maintenant une matricen×1qu"on peut identifier à un
vecteur deIRn. C"est la technique habituelle" de calcul du produit de deux matrices. On a dans notre exemple :
m1,2=?1(A)c2(B) =?1 2??02?
= (?i(A))t·cj(B) =?12?·?02?
= 4.Mais de l"expression (1.2), on peut aussi avoir l"expression des lignes et des colonnes deM=ABen fonction
des lignes deBou des colonnes deA: i(AB) =n? k=1a i,k?k(B)(1.3) c j(AB) =n?k=1b k,jck(A)(1.4)Dans notre exemple, on a donc :
1(AB) =?-1 0?+ 2?3 2?=?5 4?
ce qui montre que la ligne 1 deABest combinaison linéaire des lignes deB. Le colonnes deAB, par contre, sont
des combinaisons linéaires de colonnes deA. Par exemple : c2(AB) = 0?10?
+ 2?21? =?42? Il faut donc retenir que dans un produit matricielAB,Analyse numérique I, télé-enseignement, L36Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 8 octobre 2014
1.2. POURQUOI ET COMMENT? CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES
les colonnes deABsont des combinaisons linéaires des colonnes deA les lignes deABsont des combinaisons linéaires des lignes deB.Cette remarque est très importante pour la représentation matricielle de l"élimination de Gauss : lorqu"on calcule
des systèmes équivalents, on effectue des combinaisons linéaires de lignes, et donc on multiplie à gauche par une
matrice d"élimination.Le tableau ci-dessous est la traduction littérale de Linear algebra in a nutshell", par Gilbert Strang1Pour une
matrice carréeA, on donne les caractérisations du fait qu"elle est inversible ou non.AinversibleAnon inversible
Les vecteurs colonne sont indépendants Les vecteurs colonne sont liés Les vecteurs ligne sont indépendants Les vecteurs ligne sont liés Le déterminant est non nul Le déterminant est nul Ax= 0a une unique solutionx=0Ax=0a une infinité de solutions. Le noyau deAest réduit à{0}Le noyau deAcontient au moins un vecteur non nul. Ax=ba une solution uniquex=A-1bAx=ba soit aucune solution, soit une infinité.Aan(nonzero) pivotsAar < npivots
Aest de rang maximal : rg(A) =n. rg(A) =r < n
La forme totatement échelonnéeRdeAest la matrice identitéRa au moins une ligne de zéros. L"image deAest toutIRn. L"image deAest strictement incluse dansIRn. L"espaceL(A)engendré par les lignes deAest toutIRn.L(A)est de dimensionr < n Toutes les valeurs propres deAsont non nulles Zero est valeur propre deA. A tAis symétrique définie positive2AtAn"est que semi- définie . TABLE1.1: Extrait de Linear algebra in a nutshell", G. Strang On rappelle pour une bonne lecture de ce tableau les quelquesdéfinitions suivantes :Définition 1.1(Pivot).SoitA? Mn(IR)une matrice carrée d"ordren. On appelle pivot deAle premier élément
non nul de chaque ligne dans la forme échelonnée deAobtenue par élimination de Gauss. Si la matrice est
inversible, elle a doncnpivots (non nuls).Définition 1.2(Valeurs propres).SoitA? Mn(IR)une matrice carrée d"ordren. On appelle valeur propre deA
toutλ?Cltel qu"il existex?Cln,x?= 0tel queAx=λx. L"élémentxest appelé vecteur propre deAassocié à
Définition 1.3(Déterminant).Il existe une unique application, notéedetdeMn(IR)dansIRqui vérifie les
propriétés suivantes (D1) Le déterminant de la matrice identité est égal à 1. (D2) Si la matrice ˜Aest obtenue à partir deApar échange de deux lignes, alorsdet˜A=-detA.1. Voir la page web de Strangwww.mit.edu/~gspour une foule d"informations et de cours sur l"algèbre linéaire.
Analyse numérique I, télé-enseignement, L37Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 8 octobre 2014
1.2. POURQUOI ET COMMENT? CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES
(D3) Le déterminant est une fonction linéaire de chacune deslignes de la matriceA. (D3a) (multiplication par un scalaire) si ˜Aest obtenue à partir deAen multipliant tous les coefficients d"une ligne parλ?IR, alorsdet(˜A) =λdet(A). 1(A) k(A) 1(A)˜?k(A)
1(A) k(A) +˜?k(A) , alors det(B) = det(A) + det(˜A).On peut déduire de ces trois propriétés fondamentales un grand nombre de propriétés importantes, en particulier
le fait quedet(AB) = detAdetBet que le déterminant d"une matrice inversible est le produit des pivots : c"est
de cette manière qu"on le calcule sur les ordinateurs. En particulier on n"utilise jamais la formule de Cramer,
beaucoup trop coûteuse en termes de nombre d"opérations.On rappelle que siA? Mn(IR)une matrice carrée d"ordren, les valeurs propres sont les racines dupolynôme
caractéristiquePAde degrén, qui s"écrit : PA(λ)) = det(A-λI).
Matrices diagonalisables
Un point important de l"algèbre linéaire, appelé réduction des endomorphismes" dans les programmes français,
consiste à se demander s"il existe une base de l"espace dans laquelle la matrice de l"application linéaire est diago-
nale ou tout au moins triangulaire (on dit aussi trigonale).Définition 1.4(Matrice diagonalisable dansIR).SoitAune matrice réelle carrée d"ordren. On dit queAest
diagonalisable dansIRs"il existe une base(u1,...,un)deIRnet des réelsλ1,...,λn(pas forcément distincts)
tels queAui=λiuipouri= 1,...,n. Les réelsλ1,...,λnsont les valeurs propres deA, et les vecteurs
u1,...,unsont les vecteurs propres associés.
Vous connaissez sûrement aussi la diagonalisation dansCl: une matrice réelle carrée d"ordrenadmet toujoursn
valeurs propres dansCl, qui ne sont pas forcément identiques.Une matrice est diagonalisabledansCls"il existe une
base(u1,...,un)deClnet des nombres complexesλ1,...,λn(pas forcément distincts) tels queAui=λiui
pouri= 1,...,n. Ceci est vérifié si la dimension de chaque sous espace propreEi= Ker(A-λId)(appelée
multiplicité géométrique) est égale a la multiplicité algébrique deλi, c.à.d. son ordre de multiplicité en tant que
racine du polynôme caractéristique.Par exemple la matriceA=?0 01 0?
n"est pas diagonalisable dansCl(ni évidemment, dansIR). Le polynômecaractéristique deAestPA(λ) =λ2, l"unique valeur propre est donc 0, qui est de multiplicité algébrique 2, et de
multiplicité géométrique 1, car le sous espace propre associé à la valeur propre nulle estF={x?IR2;Ax=
0}={x= (0,t),t?IR}, qui est de dimension 1.
Ici et dans toute la suite, comme on résout des systèmes linéaires réels, on préfère travailler avec la diagonalisation
dansIR; cependant il y a des cas où la diagonalisation dansClest utile et même nécessaire (étude de stabilité des
Analyse numérique I, télé-enseignement, L38Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 8 octobre 2014
1.2. POURQUOI ET COMMENT? CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES
systèmes diférentiels, par exemple). Par souci de clarté, nous préciserons toujours si la diagonalisation considérée
est dansIRou dansCl. Lemme 1.5.SoitAune matrice réelle carrée d"ordren, diagonalisable dansIR. AlorsA=Pdiag(λ1,...,λn)P-1,'
oùPest la matrice dont les vecteurs colonnes sont égaux aux vecteurs propresu1,...,unassociées au valeurs
propresλ1,...,λnDÉMONSTRATION- Par définition d"un vecteur propre, on aAui=λiuipouri= 1,...N, et donc, en notantPla
matrice dont les colonnes sont les vecteurs propresui,?Au1... Aun?=A?u1...un?=AP
et doncAP=?λ
1u1... λnun?=?u
1...un???????λ
10...0
0λ2......
0...0λn??????
=Pdiag(λ1,...,λn).Notons que dans ce calcul, on a fortement utilisé la multiplication des matrices par colonnes, c.à.d.
c i(AB) =? j=1,na i,jcj(B).Remarquons quePlest aussi la matrice définie (de manière unique) parPei=ui, où(ei)i=1,...,nest la base canonique
deIRn, c"est-à-dire que(ei)j=δi,j. La matricePest appelée matrice de passage de la base(ei)i=1,...,nà la base
(ui)i=1,...,n; (il est bien clair que lai-ème colonne dePest constituée des composantes deuidans la base canonique
(e1,...,en).La matricePest inversible car les vecteurs propres forment une base, eton peut donc aussi écrire :
P -1AP= diag(λ1,...,λn)ouA=Pdiag(λ1,...,λn)P-1.La diagonalisation des matrices réelles symétriques est unoutil qu"on utilisera souvent dans la suite, en particulier
dans les exercices. Il s"agit d"un résultat extrêmement important.Lemme 1.6(Une matrice symétrique est diagonalisable dansIR).SoitEun espace vectoriel surIRde dimension
finie :dimE=n,n?IN?, muni d"un produit scalaire i.e. d"une applicationE×E→IR,
(x,y)→(x|y)E, qui vérifie : ?x?E,(x|x)E≥0et(x|x)E= 0?x= 0, ?(x,y)?E2,(x|y)E= (y|x)E, ?y?E,l"application deEdansIR,définie parx→(x|y)Eest linéaire.Ce produit scalaire induit une norme surE,?x?=?
(x|x)E.SoitTune application linéaire deEdansE. On suppose queTest symétrique, c.à.d. que(T(x)|y)E= (x|
T(y))E,?(x,y)?E2. Alors il existe une base orthonormée(f1,...,fn)deE(c.à.d. telle que(fi,fj)E=δi,j)
et(λ1...λn)?IRntels queT(fi) =λifipour touti? {1...n}.Analyse numérique I, télé-enseignement, L39Université d"Aix-Marseille, R. Herbin, 8 octobre 2014
1.2. POURQUOI ET COMMENT? CHAPITRE 1. SYSTÈMES LINÉAIRES
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