[PDF] Chapitre 9 : Angles et parallélisme

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Chapitre 9 : Angles et parallélisme

A Vocabulaire

Définition :Deux anglesopposés par le sommetont le même sommet et des côtés dans le prolongement l"un de

l"autre.

Exemple :

Sur la figure ci-dessous, les angles?xOyet?zOtsont opposés par le sommet. Ils ont donc la même mesure.

x O yz t

46°

46°

Définition :Sur la figure ci-dessous, les droites (d) et (d?) sont coupées par la sécante (Δ).

(d) (d?) Les angles codés en vert sont des anglesalternes-internes.

Définition :

Sur la figure ci-dessous, les droites (d) et (d?) sont coupées par la sécante (Δ). (d) (d?) Les angles codés en vert sont des anglescorrespondants.

B Propriétés

Propriété:Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes (ou correspon-

dants) qu"elles forment ont la même mesure.

Démonstration:

Les angles?xAvet?yBusont alternes-internes.

SoitIle milieu du segment [AB]. Le symétrique de l"angle?xAvpar rapport au pointIest l"angle?yBu. Or la symétrie centrale conserve la mesure des angles. Donc xAv=?yBu. xA By z t u vI

Exemple :Sur la figure ci-dessous, la droite (CH) coupe les droites parallèles (BD) et (FG) respectivement enAetE.

Calculer la mesure de l"angle

?FEA.

Les angles

?FEAet?EADsont alternes-internes.

Comme les droites (BD) et (FG) sont paral-

lèles alors ces deux angles ont la même mesure.

Donc :

?FEA=?EAD=152° A BC D E FG

H152°

Propriété :Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) de

même mesure, alors ces droites sont parallèles.

Exemple :

Sur la figure ci-dessous, la droite (PK) coupe la droite (IL) enJet la droite (MO) enN. Prouver que les

droites (IL) et (MO) sont parallèles.

Les angles

?K JLet?JNOsont correspondants. Or ils ont la même mesure.

Donc les droites (IL) et (MO) sont parallèles.

IJK L M N O

P40°

40°

Collège Willy Ronis page 2Moisan

Remarque:Si deux droites (d) et (d?) sont perpendiculaires à une même droite (Δ), alors (d) et (d?) sont parallèles.

On retrouve le cas étudié en 6

ème...

(d) (d?)(t)

C Exercices

Exercice1 :Les droites (xy), (tz), (uv) sont concourantes enI. Donner la mesure de chacun des angles :

1.?vIt

2. ?xIz 3. ?zIu 4. ?uIy

Exercice2 :

Tracer cette figure à main levée et coder :

1. deux angles alternes-internes, en rouge ;

2. deux angles opposés par leur sommet communA, en bleu ;

3. deux angles dont la somme des mesures est 180°, en vert.

Exercice3 :

Les diagonales du quadrilatèreACBDse coupent enF.

Collège Willy Ronis page 3Moisan

Recopier et compléter chaque phrase par :sont alternes-internes, sont opposés par le sommet, ont 180° pour somme

de leurs mesures. 1. ?CFBet?AFD... 2. ?CFBet?AFC...3. ?CABet?FBD... 4. ?GCBet?ABC...5. ?BFDet?AFC... 6. ?ACDet?CDB...

Exercice4 :

Dans chaque cas, les droites (BC) et (DE) sont parallèles, les droites (BD) et (CE) se coupent enA. Déter-

miner la mesure de chacun des angles ?ADEet?AED. Exercice5 :Les droites (BD) et (EF) se coupent enC.

1. Expliquer pourquoi les droites (AB) et (CE) sont parallèles.

2. Peut-on trouver la mesure de l"angle

?ECD? Expliquer.

Exercice6 :

En touchant la bande, la boule est renvoyée selon un angle (?r) égal à l"angle d"incidence (?i) par rapport à

la perpendiculaire avec ?i=?r.

Collège Willy Ronis page 4Moisan

En deux rebonds, Juliette réussit à faire tomber la bouleBdans le trouOselon un angle de 30°. Sur un calque, tra-

cer le trajet de la boule et les perpendiculaires. Coder les angles de même mesure. En déduire la mesure de l"angle

d"incidence ?i.

Exercice7 :

Dans chaque cas, la figure est à main levée. Dire si les droites(d1) et (d2) sont parallèles en expliquant la

réponse.

Exercice8 :Les droites (xy), (tz) et (mn) sont concourantes enA. Les droites (mn) et (uv) sont-elles parallèles ?

Exercice9 :Cette figureàmain levée représente un rectangleABCD. Deplus, les pointsA,B,Msont alignés ainsi que

les pointsD,B,N. Quelle est la nature du quadrilatèreBCMN? Expliquer la réponse. Exercice10 :ABCDest un trapèze rectangle. Déterminer la mesure de l"angle?ABC.

Exercice11 :Les pans des toits [SA] et [TC] du collège de Romain sont parallèles ainsi que les pans [SB] et [TA]. La

pente du toit [SA] est l"angle que [SA] fait avec l"horizontale, c"est-à-dire l"angle?SAB. De même la pente du toit [TC]

est l"angle ?TCA. Voici un croquis du collège.

Collège Willy Ronis page 5Moisan

Pour installer des panneaux solaires, l"idéal est d"avoir une pente de toit comprise entre 30° et 35°. Peut-on installer

des panneaux solaires sur les pans [SA] et [TC] du collège de Romain ?

Exercice12 :

Alban et Mathilde font du bateau. Ils souhaitent marquer leur position sur une carte marine. Ils relèvent,

chacun à leur tour, la position du bateau à l"aide d"un compasde relèvement. Aider Alban et Mathilde à marquer leur

position sur la carte.

Doc1 : Extrait de la cartemarine du Morbihan

Doc2 : Amers et azimuts

Un amer est un repère visuel, par exemple un phare ou une bouée. Un azimut est l"angle que fait la droite passant par

le bateau et un amer avec le Nord.

Doc 3 : Lesrelevés

Alban prend pour amer le Pylône radio et trouve un azimut de 26° Est. Mathilde prend pour amer la tourelle La Truie

et trouve un azimut de 78° Est.

Exercice13 :Au IIIesiècle avant Jésus-Christ, le mathématicien Grec Eratosthène réussit à évaluer le périmètre de la

Terre. Il observa que le jour du solstice d"été, à midi, les rayons du soleil éclairaient le fond des puits à Syène, tandis

qu"au même moment à Alexandrie un obélisque formait une ombre. Ainsi, les rayons du Soleil étaient à la verticale à

Syène etaumêmemoment inclinés de7°12" (soit7,2°)aveclaverticaleàAlexandrie.Eratosthène savaitqueladistance

entre les deux villes était de5 000 stades (1stade≈157,5 mètres) ;il supposa deplus que ces deuxvilles étaientsituées

sur le même méridien et que les rayons du soleil étaient parallèles.

Collège Willy Ronis page 6Moisan

1. Comment Eratosthène démontra que :

ACS=?AOH

2. Eratosthène fit ensuite un raisonnement de proportionnalité :la distance entre les parallèles séparant les villes

est proportionnelle à la mesure de l"angle dont le sommet estau centre de la Terre. Compléter le tableau de proportionnalité suivant :

Angles (en °)

Distances (km)

3. En déduire quel est le périmètre de la Terre trouvé par Eratosthène. Aujourd"hui on estime cepérimètre à 40 070

km.

Défi :

Ces deux lutins se déplacent à l"intérieur du rectangleABCDen suivant des chemins qui sont parallèles par

morceaux.

Calculer la mesure de l"angle?DMC.

Collège Willy Ronis page 7Moisan

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