Série dexercices no5/6 Interpolation polynomiale
Écrire l'approximation de Lagrange de degré 1 fn de f sur chaque intervalle [xi
Exercices de travaux dirigés avec correction
Interpolation polynômiale : Correction de la série 1. Exercice 1 : 1. On b) Si a = b l'approximation est d'ordre 1. Si a = b
Analyse numérique Exercices corrigés - Interpolation polynômiale
Exercices corrigés. Interpolation polynômiale. Exercice 1. Déterminer le que l'approximation de I donnée par la méthode de Simpson est meilleure que ...
Chapitre II Interpolation et Approximation
Une autre approche (utilisant l'intérpolation d'Hermite) sera l'objet d'un exercice. Fourier et fonctions continues (fausse preuve de Cauchy correction de ...
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange
Exercice 1. (Identification). On considère x y ∈ R4 donnés par : x = [−2
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange
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Analyse Numérique
Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42. 3 ... INTERPOLATION ET APPROXIMATION POLYNÔMIALE. On utilise souvent la ...
Corrigés dexercices dapproximation dune fonction
Thème: Interpolation §3 Approximation. Lien vers les énoncés des exercices Corrigé de l'exercice 3.1-4 p (f) (t) = f (x0) L0 (t) + f (x1) L1 (t) + ... + ...
Interpolation Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5
doit-on choisir h pour que l'interpolation de Lagrange à 3 points donne une approximation de f à 10−6 près? interpolation polynomiale pour obtenir des ...
Réponses aux exercices du chapitre 5
Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par : pn(x) = n. ∑ i=0 f Comparer cette valeur avec l'approximation fournie par la formule 5.23 en prenant.
Série dexercices no5/6 Interpolation polynomiale
a) Montrer que le polynôme d'interpolation de Lagrange de la fonction f aux points Écrire l'approximation de Lagrange de degré 1 fn de f sur chaque ...
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange
Département de mathématiques. 2019-2020. L2 Maths UE d'Analyse numérique. Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange. Exercice 1.
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange
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Analyse Numérique
3 Interpolation et approximation polynômiale Exercice 1.1 En écrivant un petit programme trouver la capacité et le pas de votre.
III INTERPOLATION ET APPROXIMATION DE FONCTIONS
Interpolation et approximation Interpolation polynomiale en 6 points ... Prenons l'exemple d'une interpolation linéaire n = 1. On veut : a0 + a1x0 = y0.
Analyse numérique Exercices corrigés - Interpolation polynômiale
Exercice 3. Avec quelle précision peut-on calculer ?115 `a l'aide de l'interpolation de Lagrange si on prend les points : x0 = 100
Correction TD 1 : Approximation de fonctions
NB : Ne sont corrigés ici que les exercices n'ayant pas été corrigés en TD forme lagrangienne du polynôme d'interpolation noté L. On rappelle que ce ...
Réponses aux exercices du chapitre 5
d) Obtenir des approximations de f(15) à l'aide des 2 polynômes obtenus en a) et en b). Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par :.
Approximation dune fonction par interpolation
L'erreur d'approximation s'annule aux abscisses d'interpolation Exercice 3.1 - 3 [Avec Mathematica] ... Vers les corrigés des exercices:.
[PDF] Série dexercices no5/6 Interpolation polynomiale
Analyse numérique L3- Automne 2015 Série d'exercices no5/6 Interpolation polynomiale Exercice 1 Formule des Différences Divisées (Un Classique)
[PDF] Chapitre II Interpolation et Approximation
Chapitre II Interpolation et Approximation Probl`eme de l'interpolation : on recherche des fonctions “simples” (polynômes polynômes par
[PDF] Exercices de travaux dirigés avec correction -:: UMI E-Learning ::
Déterminer le polynôme d'interpolation de Lagrange relatif au tableau suivant : Quel est le nombre minimum d'intervalles qui assure une approximation de
[PDF] Réponses aux exercices du chapitre 5
Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par : pn(x) = n ? i=0 f(xi)Li(x) où les (n + 1) fonctions Li(x) sont définies par :
[PDF] Analyse Numérique
Année 2008/2009 Analyse Numérique Proposition de corrigé du TD 3 EXERCICE 1 Interpolation de Lagrange Soit x0 x1 xn n + 1 points distincts
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Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange Exercice 1 (Identification) On considère x y ? R4 donnés par : x = [?2012] et y = [400
[PDF] Analyse numérique Exercices corrigés - Interpolation polynômiale
Exercices corrigés Interpolation polynômiale Exercice 1 Déterminer le polynôme d'interpolation de Lagrange satisfaisant au tableau ci-dessous
[PDF] Corrigés dexercices dapproximation dune fonction
Lien vers les énoncés des exercices: https://www deleze name/marcel/sec2/applmaths/csud/interpolation/3-Approximation pdf Corrigé de l'exercice 3 1-1
interpolation et approximation polynomiale exercices corrigés
Étiquette interpolation et approximation polynomiale exercices corrigés Analyse numérique et algorithme cours Résumés exercices
[PDF] Interpolation Exercice 1
Exercice 2 Écrire le système linéaire qui définit le polynôme d'interpolation de degré 3 passant par les points de coordonnées (x0y0)
Comment faire une interpolation polynomiale ?
L'interpolation polynômiale consiste à déterminer un polynôme P qui coïncide avec f aux points (xi)0?i?n. Les points (xi)0?i?n sont communément appelés noeuds d'interpolation, et on dit qu'un tel polynôme P interpôle f aux noeuds x0, ··· ,xn.Comment calculer l'erreur d'interpolation de Lagrange ?
On note P le polynôme d'interpolation de Lagrange de f aux points x0,,xn. W(t) = f(t) ? P(t) ? q(t) q(x)(f(x) ? P(x)). La fonction W est de classe Cn+1 comme f et s'annule pour t = x, x0,x1,,xn ; elle admet donc au moins n + 2 zéros.Quelle est la différence entre l'interpolation et approximation ?
L'interpolation d'une fonction doit être distinguée de l'approximation de fonction, qui consiste à chercher la fonction la plus proche possible, selon certains critères, d'une fonction donnée. Dans le cas de l'approximation, il n'est en général plus imposé de passer exactement par des points donnés initialement.- L'interpolation linéaire est la méthode la plus simple pour estimer la valeur prise par une fonction continue entre deux points déterminés (interpolation). Elle consiste à utiliser pour cela la fonction affine (de la forme f(x) = m.x + b) passant par les deux points déterminés.
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Universit´e Sultan Moulay Slimane2009-2010
Module : Analyse num´eriquepar S. Melliani & L. S. ChadliAnalyse num´eriqueExercices corrig´es
Interpolation polynˆomiale
Exercice 1
D´eterminer le polynˆome d"interpolation de Lagrange satisfaisant au tableau ci-dessous x0235 f(x)-12987Corrig´e :Rappelons que le polynˆome de Lagrange bas´e sur les points d"appui d"abscissesx0,x1, ...,xnest de degr´e
net s"´ecrit : P n(x) =n? k=0f(xk)Lk(x) avecLk(x) =n? j=0,j?=kx-xj xk-xj ici les points d"appui donn´es par : x0= 0f(x0) =-1
x1= 2f(x1) = 2
x2= 3f(x2) = 9
x3= 5f(x3) = 87
d´eterminons donc un polynˆome de Lagrange de degr´e 3, celui-ci s"´ecrit : P3(x) =3?
k=0f(xk)Lk(x) avec L0(x) =(x-x1)(x-x2)(x-x3)
(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3) =(x-2)(x-3)(x-5) (0-2)(0-3)(0-5) =-130(x-2)(x-3)(x-5)L
1(x) =(x-x0)(x-x2)(x-x3)
(x1-x0)(x1-x2)(x1-x3) =(x-0)(x-3)(x-5) (2-0)(2-3)(2-5) =16x(x-3)(x-5)
L2(x) =(x-x0)(x-x1)(x-x3)
(x2-x0)(x2-x1)(x2-x3) =(x-0)(x-2)(x-5) (3-0)(3-2)(3-5) =-16x(x-2)(x-5)L
3(x) =(x-x0)(x-x1)(x-x2)
(x3-x0)(x3-x1)(x3-x2) =130x(x-2)(x-3)
Finalement
P3(x) =f(x0)L0(x) +f(x1)L1(x) +f(x2)L2(x) +f(x3)L3(x)
5330x3-7x2+25330x-1
Exercice 2
Soitf(x) =1
1 +x2. D´eterminer le polynˆome d"interpolation de Lagrange pour les points d"appui d"abscisses :-2,-1,
0, 1, 2. Ensuite discuter l"erreur d"interpolation.
Corrig´e :Soitf(x) =1
1 +x2. Les points d"appui sont :
x0=-2f(x0) =1
5x1=-1f(x1) =1
2x2= 0f(x2) = 1
x3= 1f(x3) =1
2x4= 2f(x4) =1
5 1 Le polynˆome de Lagrange est de degr´e 4. Il s"´ecrit P4(x) =4?
k=0f(xk)Lk(x) avec L0(x) =1
24x(x+ 1)(x-1)(x-2)L1(x) =-18x(x+ 2)(x-1)(x-2)
L2(x) =1
4(x+ 2)(x+ 1)(x-1)(x-2)L3(x) =-16x(x+ 2)(x+ 1)(x-2)
L4(x) =1
24x(x+ 2)(x+ 1)(x-1)
Finalement,
P4(x) =f(x0)L0(x) +f(x1)L1(x) +f(x2)L2(x) +f(x3)L3(x) +f(x4)L4(x)
1120x(x+ 1)(x-1)(x-2)-112x(x+ 2)(x-1)(x-2)
14(x+ 2)(x+ 1)(x-1)(x-2)-112x(x+ 2)(x+ 1)(x-2)
1120x(x+ 2)(x+ 1)(x-1)
110x4-35x2+ 1
Calculons l"erreur th´eorique sur cette interpolation. celle-ciest donn´ee ou pointxpar :E(x) =f(x)-Pn(x) =γn+1(x)-1
(n+ 1)!f(n+1)(ξx) o`uξ?I= (minxi,maxxi)Elle v´erifie,
|E(x)|?|γn+1(x)|1 (n+ 1)!Mn+1o`uγn+1(x) =n? k=0(x-xk)Mn+1= maxt?I??? f(n+1)(t)??? Comme ici on a 5 points d"appui, cette erreur est major´ee par :|E(x)|?|γ5(x)|1 5!M5On a clairementγ5(x) =?
k=0(x-xk) =x(x2-1)(x2-4). Il reste `a calculerM5= maxt?I??? f(5)(t)??? . Un calcul assez long donne :f(5)(x) =-240x(3-10x2+ 3x4) (1 +x2)6de mˆeme, on trouvef(6)(x) =-240(1 +x2)7?-21x6+ 105x3-63x2+ 3?.Ainsi l"´etude def(5)donneM5= 100. Finalement,
|E(x)|?|γ5(x)|1Exercice 3
Avec quelle pr´ecision peut-on calculer⎷
115 `a l"aide de l"interpolation de Lagrange, si on prend les points :x0= 100,
x1= 121,x2= 144.
Corrig´e :
Exercice 4
1. Utiliser la formule d"interpolation de Lagrange pour trouver la cubique passant par 0.4, 0.5, 0.7, 0.8 pour
f(x) = sin(x)2. Mˆeme question pourf(x) =1
tanxCorrig´e :
Exercice 5
Soitf(x) =⎷
2 +x1. Determiner le polynˆomeP(x) Lagrange bas´e sur les points d"abscisses 0, 1 et 2.
2. CalculerP(0.1) etP(0.9), et comparer aux valeurs exactes.´Evaluer l"erreur d"interpolation en ces deux points.
2Int´egration num´erique
Exercice 6
D´eterminer par la m´ethode des trap`ezes puis par celle de Simpson? 20f(x)dxsur la base du tableau suivant :
x0π 8 4 3π 82f(x)00.3826830.7071070.9238801
Ces points d"appui sont ceux donnant sinx, comparer alors les r´esultats obtenus avec la valeur exacte.
Corrig´e :
I=? 20f(x)dx
1. SoitTl"approximation deIpar la m´ethode des trap`ezes, le pashdonn´e parh=xn-x0
n=π8 T=h 2? f(x0) +f(x4) + 23? i=1f(xi)?16(0 + 1 + 2(0.382683 + 0.707107 + 0.92388))
= 0.9871162. SoitSl"approximation deIpar la m´ethode de Simpson. Celle-ci s"´ecrit,
S=h3(y0+y4+ 4(y1+y3) + 2y2)
813[(0 + 1 + 4(0.38...+ 0.92...) + 2×0.707...)]
= 1.000135 Les points d"appui donn´es dans cet execice correspondent `a la fonction sinx. Et? 20sinxdx= 1. On constate donc
que l"approximation deIdonn´ee par la m´ethode de Simpson est meilleure que celle par lestrap`ezes,
puisque|S-I|= 0.000135 et|T-I|= 0.012884.Exercice 7
On lance une fus´ee verticalement du sol et l"on mesure pendant lespremi`eres 80 secondes l"acc´elerationγ:
t(en s)01020304050607080 γ(en m/s2)3031.6333.4435.4737.7540.3343.2946.7050.67Calcule la vitesseVde la fus´ee `a l"instantt= 80s, par la m´ethode des trap`ezes puis par Simpson.
Corrig´e :On sait que l"accelerationγest la d´eriv´ee de la vitesseV, donc,V(t) =V(0) +?
t 0γ(s)ds?V(80) = 0 +?
800
γ(s)ds
I1. CalculonsIpar la m´ethode des trap`ezes. Ici, d"apr`es le tableau des valeurs,h= 10.
I=h 2?γ(x0) +γ(xn) + 2n-1?
i=1γ(xi)? 12×10(30 + 50,67 + 2(31,63 +···+ 46,70))
= 3089m/s2. CalculonsIpar la m´ethode de Simpson
V(80) =h
3(γ(x0) +γ(xn) + 4(γ(1) +γ(x3) +···) + 2(γ(2) +γ(x4) +···))
103(30 + 50,67 + 4(31,63 + 35,47 +···) + 2(33,44 + 37,75 +···))
= 3087m/s 3Exercice 8
Calculer `a l"aide de la m´ethode des trap`ezes l"int´egraleI=? 0 sinx2dxavec le nombre de points d"appuin= 5 puis n= 10.Corrig´e :SoitI=?
0 sinx2dx1.n= 5 donc le pas d"int´egration esth=π
5. CalculonsIpar la m´ethode des trap`ezes.
I=h 2? f(x0) +f(xn) + 2n-1? i=1f(xi)?10(0 + 1 + 2(sin(π)2+ sin(0) + 2(sin(π5)2+ sin(2π5)2+ sin(3π5)2+ sin(4π5)2))
= 0.5044312.n= 10 donc le pas d"int´egration esth=π
10.I=π
20(0 + 1 + 2(sin(π)2+ sin(0) + 2(sin(π10)2+ sin(2π10)2+ sin(3π10)2+ sin(4π10)2))
= 0.722338alors que la valeur 'exacte" est approximativement 0,772651. Avec ce pas plus petit l"approximation num´erique est
meilleure.Exercice 9
Trouver le nombrende subdivisions n´ecessaires de l"intervalle d"int´egration [-π,π], pour ´evaluer `a 0.5 10-3pr`es,
grˆace `a la m´ethode de Simpson, l"int´egrale? -πcosx dxCorrig´e :Soit
I=? -πcosx dxLe pas d"int´egration esth=b-a
n=2πn. D"autre part l"erreur th´eorique sur la m´ethode de Simpson estdonn´ee parE(h) =-(b-a)
180h4f(4)(ξ)
-2π180(2πn)4cos(ξ)
o`uξ?[a,b], par cons´equent, |E(h)|?????-2π180(2πn)4????
Ainsi pour que|E(h)|?0.5 10-3il suffit quenv´erifie????π9016π4n4????
?0.5 10-3, donc,n4?10.5 10-3π9016π4. Ainsinv´erifien?18.6 On prendra par exemplen= 20, car pour la m´ethode de Simpson, le nombre de subdivisions de
l"intervalle [a,b] doit toujours ˆetre pair.Exercice 10
Soita?x0< x1<···< xn-1< nn?bune partition fix´ee de l"intervalle [a,b]. Montrer qu"il existe un unique
(n+ 1)-uplet (μ0,μ1,...,μn) de nombres r´eels tels que b aP(x)dx=n?
i=0μ iP(xi) Pour tout polynˆomePde degr´e inf´erieur ou ´egal `an. 4 Corrig´e :Le polynˆomePs"´ecrit dans la base de LagrangeP(x) =n? i=0L i(x)P(xi) (1) avecLi(x) =n? j=0 j?=ix-xj xi-xj, puis on int´egre (1) sur [a,b], on obtient : b aP(x)dx=?
b an i=0L i(x)P(xi)dx=n? i=0? ?b a L i(x)dx?P(xi) =n?
i=0μ iP(xi)Exercice 11
Calculer?
21⎷
xdxpar la formule des rectangles en d´ecomposant l"intervalle d"int´egration en dix parties.´Evaluer
l"erreur commise. Corrig´e :Ona= 1,b= 2 etn= 10. Le pas de discr´etisationh=b-a n=2-110= 0.1 21⎷
xdx=? 1,11⎷xdx+?
1,21,1⎷xdx+···+?
1,91,8⎷xdx+?
21,9⎷xdx
On applique la formule des rectangles sur chaque sous intervalle, on obtient 21⎷
xdx=h?⎷1 +?1,1 +?1,2 +···+?1,8 +?1,9? ≈1,1981 L"estimation de l"erreur comise par la m´ethode des rectangles est|E|?h2(b-a)12maxx?[a,b]|f??(x)|
On af(x) =⎷
xetf??(x) =-14⎷x3donc maxx?[1,2]|f??(x)|?14ce qui implique que|E|?2.10-4Exercice 12
1.´Ecrire le polynˆome d"interpolation de LagrangeP(x) d"une fonctionfconstruite sur les points :
-1,-13,13,1
2. Par int´egration du polynˆome obtenu, d´eduire la formule d"int´egration approch´ee suivante :
1 -1f(x)dx≈14f(-1) +34f?
-13? +34f?13?+14f(1)
Corrig´e :
1. On posex0=-1,x1=-1
3,x2=13,x3= 1. Les polynˆomes auxiliaires de Lagrange associ´es sont :
L0(x) =-16
9(x3-x2-19x+19)L1(x) =2716(x3-1xx2-x+13)
L2(x) =-27
16(x3+1xx2-x-13)L3(x) =169(x3+x2-19x-19)
l"expression du polynˆome d"interpolation de Lagrange est f(x)≈P(x) =L0(x)f(-1) +L1(x)f(-13) +L2(x)f(13) +L3(x)f(1)
2. on int´ege le polynˆome sur [-1,1]
1 -1f(x)dx≈? 1 -1P(x)dx 1 -1L0(x)dx f(-1) +?
1 -1L1(x)dx f(-1
3) +? 1 -1L2(x)dx f(13) +?
1 -1L3(x)dx f(1)
14f(-1) +34f(-13) +34f(13) +14f(1)
5La r´esolution de l"´equation F(x)=0
Exercice 13Soit la fonctionF(x) = 2x3-x-2, on se propose de trouver les racines r´eelles deFpar la m´ethode
des approximations successives.1. Montrer queFposs`ede une seule racine r´eelleα?[1,2]
2. Etudier la convergence des trois m´ethodes it´eratives suivantes :x0?[1,2] donn´e et
(a)xn+1= 2x3n-2; (b)xn+1=22x2n-1
Corrig´e :Soit l"´equationF(x) = 2x3-x-2 = 0. Il est clair queFest continue et d´eivable surR.
On aF(1) =-1,F(2) = 12, doncF(1)F(2)<0. D"autre part,F?(x) = 6x2?0 sur [1,2]. Donc, d"apr`es le th´eor`eme
de la valeur interm´ediaire, il existe une seule solutionα?[1,2] telle queF(α) = 0.(a) Etudions la convergence de la suitexn+1=g1(xn) = 2x3n-2. Tout d"abord, cette suite, si elle converge, conduit
bien `a une racine deF(x) = 0 car siαest la limite de la suite (xn), alorsα= 2α3-2 doncF(α) = 2α3-α-2
Par ailleurs,g?1(x) = 6x2?6 sur [1,2]. Par cons´equent, grˆace au th´eor`eme des accroissements finis, ilexisteξn
compris entrexnetxn+1tel que |g1(xn+1)-g1(xn)|=g?1(ξn)|xn+1-xn| donc |g1(xn+1)-g1(xn)|?6|xn+1-xn| ?62|xn-xn-1| ?6n|x1-x0| Ainsi, cette suite diverge et la m´ethode est `a rejeter. (b)´Etudions la convergence dexn+1=g2(xn) =2
2x2n-1. Cette m´ethode, si elle converge conduit vers la racineαde
F(x) dans [1,2], car siαest la limite de la suite (xn), alorsα=2
2α2-1doncF(α) = 2α2-2α-1 = 0g?2(x) =-8x(2x2-1)2donc-8< g??2(x) =8(6x2+ 1)(2x2-1)3<1649
En cons´equence, on ne peut conclure sur la monotonie deg2Exercice 14
On veut r´esoudre dansRl"´equationx=g(x) o`ug(x) =-lnx,1. a) Montrer qu"elle admet une seule racineα, montrer queα?I= [0,1].
b) Montrer que la m´ethode it´erative :xn+1=g(xn) diverge. c) on consid`ere alorsg-1(x) =g-1(g(x)) =x, (remarquer queg-1existe)montrer que la m´ethode it´erative :xn+1=g-1(xn) converge. En posanten=xn-αmontrer queen+1est de
signe oppos´e `aen, que peut-on d´eduie?2. Retrouverα`a l"aide de la m´ethode de Newton.
Corrig´e :
Exercice 15
Soit l"´equation
x(1 +ex) =ex(1) 61. Montrer que cette ´equation admet une racine uniquesdans [0,1]
2. Proposer une it´eration de point fixe pour l"´equation (1).
3. Montrer, que cette it´eration converge vers la solutions.
4.´Ecrire la m´ethode de Newton pour cette ´equation en pr´ecisant un bon choix de l"initialisationx0.
Corrig´e :On posef(x) =x(1 +ex)-ex
1. On af(0) =-1 etf(1) = 1?f(0)f(1)?0, d"apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires la fonctionfadmet
au moins une racine sur [0,1] et puisquefest monotone, cette racine est unique.2. On consid`ere l"it´eation du point fixe suivante :xn+1=g(xn) =exn
1 +exn
3.gest contractante carg?(x) =ex
(1 +ex)2et|g?(x)|<1?x?[0,1] puisquegest croissante, on a 0?x?1?0<12=g(0)?g(x)?g(1) =e1 +e<1 alors on ag([0,1])?[0,1].
D"apr`es le th´eo`eme de convergence du point fixe, notre it´eation propos´ee converge vers la solution de l"´equation
(1).4. La m´ethode de Newton :xn+1=xn-f(xn
f?(xn)=xn-xn(1+exn)-exn1+xnexn Choix de l"initialisationx0, il doit v´erifier la conditionf(x0)f??(x0)>0. On a f(x) =x(1 +ex)-exetf??(x) = (1 +x)ex, on prend par exemplex0= 1Exercice 16Soit l"´equation ln(x) = 2-x
1. Montrer que cette ´equation admet une solution uniqueαdans l"intervalle [0,2]
2.´Etudier l"it´erationx
0donn´e
x n+1= 2-ln(xn) et montrer que cette it´eration converge versα.3. Montrer que l"´equation propos´ee est ´equivalente `a l"´equationx=e2-x, et ´etudier l"it´eration
x0donn´e
x n+1=e2-xnQu"en d´eduisez-vous?
4.´Ecrire la m´ethode de Newton pour l"´equation propos´ee et proposer unbon choix d"initialisationx0de cette
m´ethode. Corrig´e :Soit la fonctionf(x) = ln(x) +x-2, on consid`ere l"´equation 'f(x) = 0"1. On af(2) = ln(2) et limx→0f(x) =-∞, d"apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires il existe aumoins une
racineαde l"´equation "f(x) = 0' et puisquefest strictement monotone (coissante) sur ]0,2[, alors la racineα
est unique.2. posonsg(x) = 2-ln(x), on ag?(x) =-1
xet??g?(12)??= 2 doncgn"est pas contractante.3. On ax= 2-ln(x)?ln(x) = 2-x?x=e2-x, donc pourx0donn´e, l"it´erationxn+1= 2-ln(xn) est
´equivalente `a l"it´erationxn+1=e2-xn.
posonsh(x) =e2-xet ´etudions la fomulationxn+1=h(xn). R´esolution des ´equations diff´erentiellesExercice 17Soit le probl`eme de Cauchy suivant
?y?=y-2x0?x?1 y(0) = 11. Calculer la solution exacte.
2. Calculer les valeurs approch´eesy1ety2par la m´ethode d"Euler pourh= 0.1 etn= 10.
7Exercice 18Soit l"´equation diff´erentielle `a condition initialey?(t) =y(t) +tety(0) = 1. Approcher la solution de
cette ´equation ent= 1 `a l"aide de la m´ethode d"Euler en subdivisant l"intervallede travail en 10 parties ´egales.
Comparer `a la solution exacte.
Coorig´e :?y?(t) =y(t) +t=f(t,y)
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