I. Interpolation
Figure 1: Interpolation polynomiale et approximation d'un nuage de points. Le prochain théor`eme donne l'erreur d'interpolation faite quand on remplace ...
Interpolation polynomiale 1. Interpolation de Lagrange
Remarque - Le polynôme d'interpolation de Lagrange aux points x0 x1
Chapitre II Interpolation et Approximation
II.2: Fac-similé du calcul de Newton pour le probl`eme de l'interpolation étudions alors l'erreur f(x)?p(x) du polynôme d'interpolation p(x).
Chap 2 : Interpolation polynomiale
et exprimer p en fonction de s0s1
Comparaison des méthodes dinterpolation pour lélaboration de
L'efficacité de chacune des méthodes d'interpolation a été validée au moyen du calcul de l'erreur quadratique moyenne de tests statistiques
1 Interpolation de Lagrange 2 Erreur dinterpolation
Exercice 1 (Calcul du polynôme d'interpolation). Considérons une fonction f dont le graphe passe par les points P0 “ p0 0q
Sur lévaluation de lerreur dinterpolation de Lagrange dans un
Les méthodes utilisées basées sur la formule de Taylor avec reste intégral
Sur lerreur dinterpolation des fonctions de plusieurs variables par
Sur l'erreur d'interpolation des fonctions de plusieurs variables par les Dm-splines. RAIRO. Analyse numérique tome 12
Analyse Numérique
INTERPOLATION ET APPROXIMATION POLYNÔMIALE. 3.1.3 Erreur dans l'interpolation de Lagrange. Le but de l'interpolation étant de remplacer l'évaluation de f(x)
Sur lévaluation de lerreur dinterpolation de Lagrange dans un
Les méthodes utilisées basées sur la formule de Taylor avec reste intégral
[PDF] I Interpolation - Institut de Mathématiques de Toulouse
Le prochain théor`eme donne l'erreur d'interpolation faite quand on remplace une fonction f par son polynôme d'interpolation ?nf associé aux noeuds xi
[PDF] Chapitre II Interpolation et Approximation
A gauche on voit un polynôme d'interpolation pour la fonction f(x) = sin x et `a droite pour la fonction 1/(1 + x2) Pour mieux rendre visible l'erreur
[PDF] Analyse Numérique
Écrire le polynôme d'interpolation associé aux points donnés dans le minimum de points pour que l'erreur entre la fonction et son polynôme d'in-
[PDF] 1 Interpolation de Lagrange - Université de Rennes
Le but de l'interpolation est de remplacer une fonction f plus ou moins compliquée par une fonction plus simple car polynômiale mais pour justifier cet échange
[PDF] 1 Interpolation de Lagrange 2 Erreur dinterpolation - Mathématiques
(Interpolation de Lagrange P1) (a) Déterminer “à la main” le polynôme de Lagrange ?1f coïncidant avec f aux points P0 et P1 (b) Retrouver le résultat de 1-(a)
[PDF] Réponses aux exercices du chapitre 5
c) Donner l'expression analytique de l'erreur pour les polynômes obtenus en a) et en b) Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par :
[PDF] Série dexercices no5/6 Interpolation polynomiale
Puis à l'aide des questions précédentes établir une estimation d'erreur Exercice 2 Convergence de l'interpolatio de Lagrange Soit Ln le polynôme d'
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On en déduit des applications à l'évaluation de l'erreur d'interpolation de Lagrange dans la méthode des éléments finis i-p« \\Dk+iu{a + t(x - a)) pdf
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Déterminer le polynôme d'interpolation de Lagrange relatif au tableau suivant : de f(6 32) avec le polynôme trouvé en 1 puis calculer l'erreur absolue
[PDF] Séance III Etude de lerreur dinterpolation 1 (Sentraîner) Soit la
Etude de l'erreur d'interpolation 1 (S'entraîner) Soit la fonction f(x) = x4 Calculer le polynôme d'interpolation de Lagrange de f respectivement aux
Comment calculer l'erreur d'interpolation de Newton ?
Erreur d'interpolation
Soit le fermé défini par I = [ min ( x , x 0 ) , max ( x , x n ) ] (le plus petit fermé contenant et les ). Théorème. ? ? ? I / f [ x 0 , … , x n ] = f n ( ? ) nComment calculer interpolation ?
L'interpolation linéaire est la méthode la plus simple pour estimer la valeur prise par une fonction continue entre deux points déterminés (interpolation). Elle consiste à utiliser pour cela la fonction affine (de la forme f(x) = m.x + b) passant par les deux points déterminés.Comment calculer l'erreur d'interpolation de Lagrange ?
On note P le polynôme d'interpolation de Lagrange de f aux points x0,,xn. W(t) = f(t) ? P(t) ? q(t) q(x)(f(x) ? P(x)). La fonction W est de classe Cn+1 comme f et s'annule pour t = x, x0,x1,,xn ; elle admet donc au moins n + 2 zéros.- L'interpolation d'une fonction doit être distinguée de l'approximation de fonction, qui consiste à chercher la fonction la plus proche possible, selon certains critères, d'une fonction donnée. Dans le cas de l'approximation, il n'est en général plus imposé de passer exactement par des points donnés initialement.
I. Interpolation
Cours de Claudia NEGULESCU
Le probl`eme de l"approximation d"une fonctionfintervient dans plusieurs situations, comme par exemple :1) la fonctionf(x) est connue, mais difficile `a manipuler. L"approximation a pour but de
remplacerfpar une fonction plus simple, Π(f), qui est plus accessible pour l"int´egration, la diff´erentiation, etc.2) la fonctionf(x) n"est pas connue, on ne connaˆıt que les valeurs dans certains pointsxi.
Les quantit´es donn´eesf(xi) =yipeuvent ˆetre par example des mesures experimentales. Le but de l"approximation est alors de trouver une repr´esentation synth´etique (analytique) des donn´ees experimantales. Etant donn´en+ 1 couples (xi,yi),i= 0,···,n, le but de l"interpolation est de trouver une fonction Π(x), qui appartient `a une certaine classe et qui prend dans lesnoeuds d"interpolationxiles valeursyi, c.`a.d. Π(xi) =yi,?i. On dit que Π(x) interpole {yi}ni=0aux noeuds{xi}ni=0. On parle d"interpolation polynomialequand Π(x) est unpolynˆome, d"interpolation trigonom´etriquequand Π(x) est un polynˆome trigonom´etrique
et d"interpolation polynomiale par morceauxquand Π(x) est polynomiale par morceaux. Contrairement `a l"interpolation, l"approximation d"unefonction ne demande pas que la courbe recherch´ee passe par les points (xi,yi), mais plutot qu"un crit`ere d"approximation soit satisfait, comme par exemple le crit`ere de minimax, lecrit`ere des moindres carr´es, etc. Dans ce chapitre on pr´esentera plusieurs types d"interpolation polynomiale. Le chapitre III sera consacr´e `a l"approximation des fonctions. y x (xi, yi)Π(x) xy (xi, yi) Figure 1: Interpolation polynomiale et approximation d"unnuage de points. valeurs correspondantes. Le probl`eme est de trouver un polynˆome de degr´e inf´erieur ou´egale `am, Πm? Pm, appel´e polynˆome d"interpolation, v´erifiant Πm(xi) =yi,?i. Pos´e
sous cette forme, ce probl`eme peut avoir un nombre infini de solutions, une seule solution ou aucune. Toutefois, il y a une et une seule solution, si on cherche cette solution dans l"espacePn(m=n). En effet, en d´efinissant les polynˆomes caract´eristiques de Lagrange l i? Pn, associ´es aux noeuds{xi}ni=0, (1)li(x) := Πnj=0,j?=ix-xj xi-xj, i= 0,···n, on remarque qu"ils forment une base dePn. Commeli(xj) =δij, on peut d´eduire que le polynˆome d"interpolation recherch´e se laisse ´ecriresous la forme suivante (formule d"interpolation de Lagrange) et est unique : (2) Π n(x) :=n? i=0y ili(x). Th´eor`eme 1Etant donn´en+ 1points distinctsx0,···,xnainsi quen+ 1valeurs as- soci´eesy0,···,yn, il exitse un unique polynˆomeΠn? Pn, tel queΠn(xi) =yipour i= 0,···,n. Soitωn+1le polynˆome nodal de degr´en+ 1 associ´e aux noeudsxiet d´efini par n+1(x) := Πni=0(x-xi). Le prochain th´eor`eme donne l"erreur d"interpolation faite quand on remplace une fonction fpar son polynˆome d"interpolation Πnfassoci´e aux noeudsxi. f?Cn+1([a,b]). L"erreur d"interpolation au pointx?[a,b]est donn´ee par E n(x) :=f(x)-Πnf(x) =f(n+1)(ξ) (n+ 1)!ωn+1(x), avecξ?[a,b].Preuve....
Il est clair, qu"on ne peut rien dire sur l"erreur d"interpolationEnsi on ne connaˆıt aucun renseignement sur la fonctionf, sauf ses valeurs dans les noeudsxi. Etudions maintenant plus en d´etail la convergence uniforme du polynˆome de Lagrange.2 Stabilit´e et convergence du polynˆome de LagrangeNotons la norme maximum d"une fonctionf?C([a,b]) par||f||∞:= maxx?[a,b]|f(x)|. Le
polynˆome d"interpolation de Lagrange defassoci´e aux noeuds{xi}ni=0est donn´e par p n(x) =n? i=0f(xi)li(x). Si on remplace les valeursf(xi) par des valeurs approch´ees˜fi(par exemple due aux erreurs dans les mesures exp´erimentales ou aux erreurs d"arrondi) on aura une erreur sur le polynˆome d"interpolation ||pn-˜pn||∞=||n? avec n:=||λn(x)||∞, λn(x) :=n? i=0|li(x)|.La constante Λ
n, qui d´epend que den, de [a,b] et des pointsxiest appel´e constante de Lebesgue et joue le rˆole d"une constante de stabilit´e pourl"interpolation. On peut montrer en plus le th´eor`eme suivant de majoration de l"erreur d"interpolation Th´eor`eme 3Soitf?C([a,b])etpn? Pnson polynˆome d"interpolation associ´e aux noeudsx0,···,xn. Alors on aOn remarque que Λ
ndepend que des noeudsxitandis queE?ndepend que def. Analysons ces deux termes.Notons
Λnl"infimum des constantes de Lebesgue pour tous les choix possible de noeuds {xi}ni=0`anfix´e. On peut montrer que (3) Λn≂2πlog(n),c.`a.d. limn→∞Λn=∞. Il est tr`es compliqu´e de trouver les noeuds qui m`enent vers la constante de Lebesgue minimale Λn. Par contre, les points d"interpolation de Chebyshev x i:=a+b2+b-a2cos?2i+ 12n+ 2π?
, i= 0,···,n, qui sont les z´eros du polynˆome de Chebyshev de degr´en+ 1, sont quasi optimaux. En ce qui concerne le deuxi`eme terme, le th´eor`eme de Weierstrass montre que pour toute fonctionf?C([a,b]) on a limn→∞E?n(f) = 0. Il est important de remarquer maintenant que pour une fonctionf?C([a,b]) donn´ee, le choix des noeuds d"interpolation est crucial!!! Par contre on peut montrer, due `a la propri´et´e (3), que pour n"importe quel choix de noeudsx(n)0,···,x(n)npour chaque valeure
den, on trouvera toujours une fonctionf?C([a,b]), telle que le polynˆome d"interpolation pnne converge pas uniform´ement versf, pourn→ ∞. La propri´et´e (3) montre aussi que
l"interpolation de Lagrange peut devenir tr`es insatble pour des grandn. La figure suivante montre le ph´enom`ene de Runge. Il s"agit de l"interpolation de Lagrange de la fonction f(x) :=1 soit avec noeuds equir´epartis soit avec les noeuds de Chebyshev. Il est particuli`erement evident que dans ce cas (fonction r´eguil`ere!) le polynˆome d"interpolation avec noeuds equidistants ne converge pas uniform´ement versf, par contre le choix des points deChebyshev m`ene `a la convergence uniforme.
-5-4-3-2-1012345-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 X f(X) f(x)Lagrange
Chebyshev
Figure 2: Phenom`ene de Runge. Interpolation de Lagrange avec des noeuds equidistants (trait discontinu) ainsi que les noueds de Chebyshev (traitpointill´e).3 Forme de Newton du polynˆome d"interpolation
La forme de Lagrange (2) du polynˆome d"interpolation n"estpas la plus commode d"un point de vue pratique. Dans cette partie on introduira une autre expression du mˆeme polynˆome d"interpolation. Soient (xi,yi)ni=0,n+ 1 couples, o`u on noterayi=f(xi). Le but est de repr´esenter le polynˆome d"interpolation Π n? Pncomme la somme de Πn-1? Pn-1(associ´e aux noeuds x i, pouri= 0,···,n-1) et d"un polynˆomeqn? Pn. Donc n(x) = Πn-1(x) +qn(x), ce qui impliqueqn(xi) = Πn(xi)-Πn-1(xi) = 0 pouri= 0,···,n-1 et doncqn? Pna la forme q n(x) =an(x-x0)···(x-xn-1).Le coefficientan, appel´en-i`eme diff´erence divis´ee de Newton, et not´e souventf[x0,···,xn],
a la forme suivante a n=f(xn)-Πn-1(xn)ωn(xn),
et se laisse calculer par r´ecurrence comme suit (4)f[x0,···,xn] :=f[x1,···,xn]-f[x0,···,xn-1] xn-x0. Il faut remarquer queω0≡1 etyi=f(xi) =f[xi]. Le polynˆome d"interpolation deNewton est
(5) Π nf(x) =n? i=0ω i(x)f[x0,···,xi].D"apr`es le th´eor`eme 1 d"existence et unicit´e du polynˆome d"interpolation, le polynˆome
d"interpolation de Newton (5) n"est rien d"autre qu"une autre forme du polynˆome de Lagrange. L"avantage de la formule de Newton est que les diff´erences divis´ees sont in- variantes par rapport `a la permutation des noeuds. Par consequent, pour rajouter un nouveau noeudxn+1, on n"a qu"`a rajouter au polynˆome Πnfle termean+1ωn+1, ce quisignifie une considerable r´eduction du coˆut num´erique, par rapport `a l"impl´ementation de
la formule de Lagrange. L"algorithme suivant, obtenu `a partir de l"expression (4), permetde calculer d"une mani`ere r´ecursive, simple et pas du toutcoˆuteuse, les diff´erences divis´ees
de Newton. L"expression de l"erreur d"interpolation avec la formule de Newton est la suivante E n(x) =f(x)-Πnf(x) =ωn+1(x)f[x0,···,xn,x].4 Interpolation d"Hermite-Birkoff
On peut g´en´eraliser l"interpolation de Lagrange d"une fonctionfpour chercher un polynˆome (courbe) qui passe pas seulement par les points (xi,f(xi)), mais dont les d´eriv´ees coinci- dent `a certains points nodaux avec les d´eriv´ees de la fonctionf. On se donne donc (xi,f(k)(xi)), pouri= 0,···,netk= 0,···,mi. On notera souvent la k-i`eme d´eriv´ee def`a l"endroitxiparf(k)(xi) =y(k) i. SoitN:=?ni=0(1 +mi). Alors, on peut montrer qu"il existe un polynˆome uniqueHN-1? PN-1, le polynˆome d"interpolation de Hermite, tel que H (k)(xi) =y(k) i, i= 0,···,n k= 0,···,mi.Ce polynˆome s"´ecrit
HN-1(x) =n?
i=0m i? k=0y(k) iLik(x), avec les polynˆomes caract´eristiques d"HermiteLik? PN-1, d´efinis par d p dxpLik(xj) =?1,sii=jetk=p0,sinon.
L"erreur d"interpolation pour le polynˆome d"Hermite est donn´ee par f(x)-HN-1(x) =f(N)(ξ)N!ΩN(x),
avecξ?[a,b] et le polynˆome nodal ΩN? PNN(x) := (x-x0)m0+1+···+ (x-xn)mn+1.
5 Interpolation de Lagrange par morceaux
On a vu par le ph´enom`ene de Runge, qu"on ne peut pas garantirla convergence uniforme du polynˆome d"interpolation de Lagrange Π n(f) vers la fonctionflorsquentend vers ∞. Ce qu"on peut faire par contre, pour augmenter la pr´ecision, est d"introduire une sub-division de l"intervalle [a,b] enmsous-intervallesTj:= [zj,zj+1],j= 0,···,m-1, tel que [a,b] =?m-1 j=0Tj. Sur chaque sous-intervalleTjon utilise l"interpolation de Lagrange avecn+ 1 noeudsx(j) i,i= 0,···,n. Le polynˆome d"interpolation par morceaux, not´e (m)n(f), appartiendra alors `a l"espace X (m)n:=?g?C([a,b])/ g|Tj? Pn(Tj),j= 0,···,m-1?, et coincidera sur chaqueTjavec le polynˆome interpolant def|Tj, associ´e aux noeuds {x(j)i}ni=0. L"int´erˆet de cette approche est qu"on peut se limiter `a des polynˆomes d"interpolation
de bas degr´e, pour eviter les probl`emes li´es `a la stabilit´e et convergence de l"interpolation
de Lagrange. En effet, mˆeme pournpetit, on obtient une erreur suffissament petite, d`es quemest grand, comme le montre le th´eor`eme suivant Th´eor`eme 4Soitf?Cn+1([a,b]). Alors il existe un consantec >0telle que6 Splines
La m´ethode d"interpolation par splines consiste en une interpolation par morceaux, de- mandant `a la courbe interpolante plus de r´egularit´e globale. L"interpolation de Lagrange par morceaux a l"inconvenient, que le polynˆome d"interpolation Π(m)n(f) est continu, mais pas d´erivable. noeuds distincts. La fonctionsk?Ck-1([a,b])v´erifiantquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] taux de pénetration d'un produit calcul
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