[PDF] Thème 14: Statistique à 2 variables

View - Download Thème 14: Statistique à 2 variables

Previous PDF

Next PDF

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 59

3EC - JtJ 2021

Thème 14: Statistique à 2 variables

14.1 Introduction et quelques définitions

Introduction :

Dans le chapitre 10 de statistique, nous nous sommes intéressés

à des questions du type:

Quelle est la taille moyenne de 50 professeurs du gymnase de

Morges ?

Quel est l'écart type du salaire annuel des employés d'une grande compagnie ? Lors d'une évaluation effectuée dans deux classes, laquelle semble être la plus homogène ? Dans toutes ces questions, nous étudions le comportement statistique d'une seule variable: taille, salaire, note lors d'une

évaluation.

Il existe cependant toute une gamme de problèmes statistiques où l'on s'intéresse à la relation entre plusieurs variables.

Par exemple:

• entre l'épaisseur d'un mur et sa résistance thermique; • entre la consommation de carburant et la vitesse d'une voiture; • entre le temps de fonctionnement d'un appareil et la fréquence des pannes.

Pour étudier d'éventuelles corrélations

1 , on est amené à s'intéresser simultanément à deux caractères X et Y d'une même population. On définit alors une série statistique à deux variables statistiques X et Y prenant des valeurs: x 1 , x 2 , ..., x n et y 1 , y 2 , ..., y n

14.2 Nuage de points

Pour étudier les relations ou corrélations entre deux variables statistiques, on peut associer au couple (x i ; y i ) de la série statistique double le point M i de coordonnées (x i ; y i

L'ensemble des points M

i ainsi obtenu est appelé nuage de points représentant la série statistique. 1

En statistiques, étudier la corrélation entre deux ou plusieurs variables statistiques numériques, c'est étudier l'intensité de la

liaison qui peut exister entre ces variables.

Modèle 1 :

dans un échantillon de 20 individus: Poids 67,1 60,7 54,9 58,8 64,7 60,4 63 62,5 71,5 70,8

Taille 173 175 176 178 178 180 182 186 189 196

Poids 63,1 74,8 71,1 73,1 63,5 69,4 70 82 76,5 84,6 tracer une droite (appelée droite d'ajustement mieux par ces points, ou plutôt dans une position que l'on qualifierait "d'au milieu du nuage de points

3 cas de figure :

entre les deux variables. orientation, on dira qu'il y a une absence de corrélation. Corrélation positive Corrélation négative

Absence de corrélation

taille [cm]

150160170180190200

poids [kg] 50
60
70
80
90
x y x y x y x y

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 61

3EC - JtJ 2021

Remarques :

La qualité de la corrélation entre deux variables peut se mesurer par la dispersion des points autour de la droite d'ajustement:

Corrélation parfaite Bonne corrélation

(corrélation forte)

Mauvaise corrélation

(corrélation faible)

Modèle 1 :

Afin de comparer la taille des gymnasiens avec l'étendue de leurs bras, on a effectué les mesures sur 32 élèves qui a permis d'effectuer la représentation graphique du nuage de points suivant: a) Représenter une droite d'ajustement "à la règle". b) Proposer une équation de cette droite d'ajustement. c) Proposer quelques constats. x y x y x y

100120140160180200

taille [cm] 100
120
140
160
180
200

Étendue des bras [cm]

62 THÈME 14

3EC - JtJ 2021

Exercice 14.1:

Afin de faire un bilan sur la réussite des étudiants qui s'inscrivent dans les établissements d'enseignement pour adultes, les membres de la direction s'intéressent à la corrélation entre l'absentéisme aux différents cours (en heures) et la moyenne générale (en %) à la fin de l'année scolaire. Pour bien analyser le tout, ils ont regroupé les données dans le nuage de points suivant: a) Représenter une droite d'ajustement "à la règle". b) Proposer une équation de cette droite d'ajustement. c) Proposer quelques constats.

Exercice 14.2:

À propos des élèves (garçons puis filles) de 4 classes de ECGC d'un gymnase lausannois, on désire comparer une éventuelle corrélation entre leur taille et leur poids. Utiliser les 2 représentations graphiques des nuages de points: Que pouvez-vous constater à propos de la corrélation taille - poids pour les garçons (à gauche) et les filles (à droite) ? 02468
résultat "nal (%) 20 40
60
80
100

Nbre dheures dabsence

taille [cm]

150160170180190200

poids [kg] 40
50
60
70
80
90
taille [cm]

150160170180190200

poids [kg] 40
50
60
70
80
90

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 63

3EC - JtJ 2021

3 démarches différentes vous seront proposées pour déterminer

au mieux une droite d'ajustement sur un nuage de points. On commence par représenter le nuage de points, puis on trace au jugé une droite d passant le plus près possible des points du nuage. Pour ce faire, on utilise une règle transparente et on la dispose suivant la direction constatée, en s'efforçant d'équilibrer les nombres de points situés de part et d'autre suivant les abscisses croissantes. À l'aide des coordonnées de 2 points choisis sur cette droite, on détermine alors une équation approximative de la droite d'ajustement. C'est cette démarche qui vous a été suggérée dans le paragraphe précédent. Lorsque l'on pense pouvoir réaliser un ajustement affine d'un nuage, il peut sembler intéressant, avant de tracer la droite, de placer le point dont l'abscisse est la moyenne des abscisses x i et dont l'ordonnée est la moyenne des ordonnées y i

On appelle d'un nuage de n points M

i (x i ; y i ) le point G de coordonnées: x G =x=1 nx i i=1n et y G =y= ny i i=n On commence par trier les points selon leurs abscisses croissantes, puis on détermine la médiane des x i afin de partager le nuage en deux parties ayant le même nombre de points. On détermine ensuite G 1 et G 2 , les points moyens respectifs de chacune de ces parties. La droite G 1 G 2 est appelée de la série statistique. Il est à noter que la droite de Mayer d'un nuage passe toujours par le point moyen, de ce nuage. x y G 1 G 2

Modèle 2 :

y i x i

Clinique C

C C C C C C C C C x i y i a) b) c) x

8090100110120130140150160170180190200

y 150
200

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 65

3EC - JtJ 2021 Vérifier que le point moyen est sur la droite d'ajustement. Si une clinique contient 200 lits, estimer le nombre de postes nécessaires pour le personnel non médical.

Exercice 14.3:

Enfant 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Masse en kg 2,5 2,6 2,7 3 3,2 3,3 3,4 3,6 3,8 3,9

Taille en cm 45 46 48 50 51 52 53 54 54 57

a) b) c) d) e)

Exercice 14.4:

x i y i x i y i a) b) c) d)

STATISTIQUE À 2 VARIABLES 67

3EC - JtJ 2021

14.2.3 Méthode des moindres carrés

Méthode des moindres carrés :

Il existe une méthode plus "rigoureuse" pour déterminer la "meilleure" droite: c'est la méthode des moindres carrés. Elle consiste, dans sa version la plus simple, à trouver la droitequotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] exercices statistiques ? deux variables bts

[PDF] exercices statistiques seconde bac pro

[PDF] exercices statistiques seconde pdf

[PDF] exercices statistiques terminale es

[PDF] exercices structure de l'atome 3ème

[PDF] exercices suites arithmético-géométriques terminale es pdf

[PDF] exercices suites arithmétiques et géométriques 1ere s

[PDF] exercices suites arithmétiques et géométriques bac pro

[PDF] exercices suites premiere es corrigés

[PDF] exercices suites terminale es pdf

[PDF] exercices sur induction et auto induction

[PDF] exercices sur l adn seconde

[PDF] exercices sur l argumentation pdf

[PDF] exercices sur l'adn support de l'information génétique

[PDF] exercices sur l'argumentation pdf