Exercices de mathématiques - Exo7
Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
comportera un bloc associé à la valeur propre et un bloc associé à la valeur propre . matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette ...
Exercices de mathématiques - Exo7
Soit e un vecteur propre de f pour la valeur propre 1. Démontrer que (eu
Série dexercices no4/6 Recherche de valeurs propres Résolution
ATTENTION : une matrice réelle peut avoir des valeurs propres complexes. 4. Deux matrices A et B sont dites semblables s'il existe une matrice inversible P
Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct
– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice diagonale. 3. Montrer que : A non inversible ⇐⇒ 0 est valeur propre de A. Solution : 1.
Valeurs propres et vecteurs propres
Théorème. Une matrice de taille n × n qui a n valeurs propres disctinctes est diagonalisable. Exercice. Diagonaliser si c'est possible
Correction détaillée des exercices 12
https://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=a19:math3:correction-ex-3-4-maths3-2019.pdf
Exercices de mathématiques - Exo7
Calculer APσ . 4. Trouver les valeurs propres d'une matrice de pemutation (on pourra utiliser le résultat hors programme. : toute permutation se décompose de
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
de calcul des valeurs propres pour une matrice : les valeurs propres de la matrice Exercice 2.— Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres des ...
ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices
22 mai 2014 - On calcule un vecteur propre pour chaque valeur propre. - Lorsqu'on exprime la matrice dans la base constituée par les vecteurs propres on ...
Exercices de mathématiques - Exo7
Déterminer les valeurs propres de M. 2. Montrer que M est diagonalisable. 3. Déterminer une base de vecteurs propres et P la matrice de passage. 4
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Exercice 1. 1) Pour savoir si cette matrice est diagonalisable dans Pour conclure on étudie le sous-espace propre associé à la valeur propre en.
Exercice 1 Soit A = ?1 2 3 0 ?2 0 1 2 1 ? M3×3(R). Calculer le
On a donc obtenu le polynôme caractéristique de A. Les valeurs propres de A Corrigé. La première chose à faire est de trouver la matrice de T dans un ...
Valeurs propres et vecteurs propres
Un vecteur x est un vecteur propre de la matrice A carrée de taille n × n Exercice. Montrer que 4 est une valeur propre de A =.
Série dexercices no4/6 Recherche de valeurs propres Résolution
ATTENTION : une matrice réelle peut avoir des valeurs propres complexes. 4. Deux matrices A et B sont dites semblables s'il existe une matrice inversible P
Correction détaillée des exercices 12
http://licence-math.univ-lyon1.fr/lib/exe/fetch.php?media=a19:math3:correction-ex-3-4-maths3-2019.pdf
Exercices du chapitre 4 avec corrigé succinct
– Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice diagonale. 3. Montrer que : A non inversible ?? 0 est valeur propre de A. Solution : 1.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 5. Soit A la matrice suivante. A = (1 1. 2 1. ) 1. Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de A.
Déterminant Valeurs propres vecteurs propres
https://www.math.univ-paris13.fr/~tournier/fichiers/lpro/tdm3_det_diago.pdf
1 Petits exercices et questions de cours (10 points)
Citer une méthode permettant de calculer un vecteur propre d'une matrice connaissant la valeur propre. Question 6 [1 pt]. Donner le pseudo-code de
Exercice 1SoitA=(
(-1 2 3 0-2 01 2 1)
)?M3×3(R).Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres deA. Donner les multiplicités algébriques des valeurs propres deA.Corrigé
On va calculer
cA(t) = det(A-t·I3) = det((
(-1-t2 30-2-t0
12 1-t)
On développe par rapport à la deuxième ligne, et on obtient cA(t) = (-1)2+2(-2-t)det(?-1-t3
1 1-t?
) =-(t+ 2)(t2-4) =-(t+ 2)2(t-2). On a donc obtenu le polynôme caractéristique deA. Les valeurs propres deAsont les racines decA(t), et sont donc égales à-2et2. Grâce au polynôme caractéristique, on constate que la multiplicité algébrique de-2vaut2(puisque le terme(t+2)apparaît au carré), et la multiplicité algébrique de2vaut1(le terme(t-2)apparaît une fois, à la puissance1). Exercice 2SoitT:R4→R4une application linéaire définie par T((a,b,c,d)) = (3a+b+d,-5a-5b-3c-2d,-a+b+d,4a+ 6b+ 3c+ 3d). Calculer les valeurs propres deT, et donner une base de chaque espace propre. L"applica- tionTest-elle diagonalisable?Corrigé
La première chose à faire est de trouver la matrice deTdans un choix de base. Pour simplifier, on choisit la base canonique, que l"on noteB. On obtient ainsi [T]BB=( (((3 1 0 1 -5-5-3-2 -1 1 0 14 6 3 3)
)))=A.Le polynôme caractéristique deTest donc
cT(t) =cA(t) = det(A-t·I4) = det((
(((3-t1 0 1 -5-5-t-3-2 -1 1-t14 6 3 3-t)
= det( (((3-t1 0 1 -5-5-t-3-2 -1 1-t1 -1 1-t0 1-t)où la dernière égalité est obtenue en ajoutant la deuxième ligne à la quatrième, ce qui ne
change pas le déterminant. 1 En développant par rapport à la troisième colonne, on trouve cA(t) = (-1)2+3(-3)det((
(3-t1 1 -1 1 1 -1 1-t1-t) +(-1)3+3(-t)det(( (3-t1 1 -5-5-t-2 -1 1-t1-t)Dans la première matrice, on soustrait la deuxième ligne à la première. Dans la deuxième
matrice, on soustrait la troisième colonne à la deuxième. (Puisquedet(A) = det(AT), on peut faire des opérations élémentaires sur les colonnes également, qui modifient ledéterminant de la même manière que les opérations élémentaires sur les lignes). On trouve
cA(t) = 3det((
(4-t0 0 -1 1 1 -1 1-t1-t) ))-tdet(( (3-t0 1 -5-3-t-2 -1 0 1-t) On développe le premier déterminant par rapport à la première ligne, et le second par rapport à la deuxième colonne. On a ainsi cA(t) = 3(-1)1+1(4-t)det(?1 1
1-t1-t?
)-t(-1)2+2(-3-t)det(?3-t1 -1 1-t? = 3(4-t)0 +t(3 +t)(t2-4t+ 4) =t(t+ 3)(t-2)2. Les valeurs propres deT(ou deA, de manière équivalente) sont donc-3,0,2. Pourcalculer l"espace propre associé à la valeur propreλ, on cherche à résoudre le système
(A-λI4)X= 0, on va donc échelonner la matriceA-λI4.Commençons parE-3:
A-(-3)I4=(
(((6 1 0 1 -5-2-3-2 -1 1 3 14 6 3 6)
On échelonne comme suit :
(((6 1 0 1 -5-2-3-2 -1 1 3 14 6 3 6)
)))L1→L1+L2-→(
(((1-1-3-1 -5-2-3-2 -1 1 3 14 6 3 6)
)))L2→L2+5L1,
L3→L3+L1,-→L
4→L4-4L1(
(((1-1-3-10-7-18-7
0 0 0 0
0 10 15 10)
L3↔L4-→(
(((1-1-3-10-7-18-7
0 10 15 10
0 0 0 0)
)))L3→1
10L3-→(
(((1-1-3-10-7-18-7
0 1 3 2 10 0 0 0)
)))L2→L2+7L3-→(
(((1-1-3-10 0-15
2 0 0 1 3 2 10 0 0 0)
L2→-2
15L2-→(
(((1-1-3-10 0 1 0
0 1 3 2 10 0 0 0)
)))L2↔L3-→(
(((1-1-3-1 0 1 3 2 10 0 1 0
0 0 0 0)
)))L1→L1+3L3,-→
L2→L2-3
2 L3( (((1-1 0-10 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0)
2 L1→L1+L2-→(
(((1 0 0 00 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0)
Les vecteurs propres deTcorrespondant à la valeur propre-3sont donc de la forme (0,x,0,-x)pourx?R, d"où le fait que((0,1,0,-1))est une base deE3. On fait de même pourE0:A-0I4=A,qu"on échelonne : (((3 1 0 1 -5-5-3-2 -1 1 0 14 6 3 3)
)))L1↔L3-→(
(((-1 1 0 1 -5-5-3-23 1 0 1
4 6 3 3)
)))L1→-L1,
L2→L2-5L1,-→L
3→L3+3L1,
L4→L4+4L1(
(((1-1 0-10-10-3-7
0 4 0 4
0 10 3 7)
L3→1
4L3,-→L
4→L4+L2(
(((1-1 0-10-10-3-7
0 1 0 1
0 0 0 0)
)))L2↔L3-→(
(((1-1 0-10 1 0 1
0-10-3-7
0 0 0 0)
)))L3→L3+10L2-→(
(((1-1 0-10 1 0 1
0 0-3 3
0 0 0 0)
L1→L1+L2,-→
L3→-1
3 L3( (((1 0 0 00 1 0 1
0 0 1-1
0 0 0 0)
On obtient doncE0={(0,-x,x,x)|x?R}= Vect({(0,-1,1,1)}).Finalement, on fait de même pourE2, et on a
A-2I3=(
(((1 1 0 1 -5-7-3-2 -1 1-2 14 6 3 1)
On échelonne comme suit :
(((1 1 0 1 -5-7-3-2 -1 1-2 14 6 3 1)
)))L2→L2+5L1,
L3→L3+L1,-→L
4→L4-4L1(
(((1 1 0 10-2-3 3
0 2-2 2
0 2 3-3)
)))L3→1
2L3,-→L
4→L4+L2(
(((1 1 0 10-2-3 3
0 1-1 1
0 0 0 0)
L2↔L3-→(
(((1 1 0 10 1-1 1
0-2-3 3
0 0 0 0)
)))L3→L3+2L2-→(
(((1 1 0 10 1-1 1
0 0-5 5
0 0 0 0)
)))L3→-1
5L3-→(
(((1 1 0 10 1-1 1
0 0 1-1
0 0 0 0)
L2→L2+L3-→(
(((1 1 0 10 1 0 0
0 0 1-1
0 0 0 0)
)))L1→L1-L2-→(
(((1 0 0 10 1 0 0
0 0 1-1
0 0 0 0)
On trouve doncE2={(-x,0,x,x)|x?R}= Vect({(-1,0,1,1)}). L"applicationTn"est donc pas diagonalisable, puisqu"on ne peut pas trouver une base deR4formée de vecteurs propres : on a trois valeurs propres, et les espaces propres correspondant sont tous de dimension1.quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18[PDF] exercices corrigés vba excel pdf
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