Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
Dans les exemples ci-dessous la matrice sera notée A et l'endomorphisme canoniquement associé u . exemple 1 : diagonaliser :...
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
Il existe alors une matrice inversible P et une matrice triangulaire T de Mn(C) telles que A = PTP-1. 7.1.7. Exemple. — La matrice suivante de M4(R). A =.
Trigonalisation des matrices carrées
Par exemple toute matrice diagonale est triangulaire supérieure. Définition 2. Soit T ? Mn(K) une matrice carrée `a coefficients dans K
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Trigonalisation. Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure il suffit de compléter la famille.
Décomposition de Dunford et réduction de Jordan
La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire. DE DUNFORD ET RÉDUCTION DE JORDAN. 1. TRIGONALISATION. 3. 1.3. Exemple.
Réduction des endomorphismes et des matrices carrées
3 Trigonalisation d'un endomorphisme d'une matrice 4.2 Trigonaliser une matrice . ... Exemple du polynôme caractéristique en dimension 2.
Diagonalisation et trigonalisation 1 Valeurs propres vecteurs
Ee±i? = C. ( 1. ?i. ) . Exemple 3 : Soit u representé dans la base canonique par la matrice suivante : S? = [cos(?) sin(
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
Trigonalisation et diagonalisation. 1. 1. Trigonalisation des matrices . K est une extension du corps L. Par exemple le corps des réels R est une ...
Réduction des endomorphismes et des matrices
3 Trigonalisation d'un endomorphisme d'une matrice 4.2 Trigonaliser une matrice . ... Exemple du polynôme caractéristique en dimension 2.
RÉDUCTION DENDOMORPHISMES Table des matières
5 Polynôme annulateur d'un endomorphisme et d'une matrice : HP. 60. 5.1 Dé nitions . Exemple : Trigonaliser la matrice suivante A =.
Fiche technique 5 - Diagonalisation trigonalisation
• La trigonalisabilité d’une matrice s’obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice • Si la matrice est considérée comme matrice complexe elle est donc toujours trigonalisable
Exercices de diagonalisation des matrices - LesMath
• La trigonalisation : transformer une matrice en une matrice triangulaire • La décomposition de Dunford : écrire une matrice comme la somme d’une matrice diagonali-sable et d’une matrice nilpotente • La réduction de Jordan : transformer une matrice en une matrice diagonale par blocs
Trigonalisation - Ensah-community
b) Trigonaliser la matrice A Exercice 8 [ 03583 ] [correction] Trigonaliser la matrice A = 1 0 0 0 0 ?1 0 1 2 Exercice 9 [ 02526 ] [correction] Montrer que la matrice 13 ?5 ?2 ?2 7 ?8 ?5 4 7 est trigonalisable et préciser une matrice de passage Exercice 10 [ 02389 ] [correction] a) Soient A et B dans M 2( K) telles que AB = BA
Triangularisation jordanisation exponentielle de matrices
une valeur propre ? et un vecteur propre e de l’endomorphisme associ´e (ou ce qui est ´equivalent de la matrice A) On compl`ete en une base de E : (ev 2 v n) La matrice de ? est dans cette base de la forme : ? L 0 B Soit si P est la matrice de passage P?1AP = ? L 0 B On applique a la matrice B (n?1n?1) l’hypoth`ese de r
Diagonalisation et trigonalisation - sorbonne-universitefr
Exemple 3 : Soit urepresent e dans la base canonique par la matrice suivante : S = cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) : On trouve deux valeurs propres 1 Soit v 1 = cos( =2) sin( =2) et v 2 = sin( =2) cos( =2) On constate que E 1 = Vect(v 1) etl E 1 = Vect(v 2) Dans la base F= (v 1;v 2) Mat F(u) = 1 0 0 1 On constate de plus que la base Fest
Quels sont les exercices de diagonalisation des matrices ?
Nous proposons des exercices de diagonalisation des matrices. Une matrice est diagonalisable si le nombre de ces valeurs propres égale à la dimension de l’espace dans lequel est définie. D’autre part, on donne des applications de la diagonalisation pour résoudre les systèmes linéaires et calcul de l’exponentielle de matrices.
Comment calculer la diagonale d'une matrice ?
« min(M) » renvoie un vecteur-ligne contenant les valeurs minimales associées à chaque colonne. « rank(M) » renvoie le rang de la matrice. « det(M) » renvoie le déterminant de la matrice. « diag(M) » extrait la diagonale de la matrice.
Comment savoir si une matrice est diagonale ou triangulaire ?
Certains ont déjà été évoqués précédemment mais il a paru bon de les rappeler afin de te faire une idée précise de ces différents cas particuliers qui se retrouvent très souvent en exercice !! Si une matrice est diagonale ou triangulaire, alors les valeurs propres sont les éléments diagonaux de la matrice.
Comment savoir si une matrice est diagonalisable ?
S’il existe une matrice carrée inversible P P (de même ordre que M M) et une matrice diagonale D D telles que M = P DP ?1 M = P D P ? 1 alors M M est diagonalisable. Par propriété, pour tout entier naturel n > 0 n > 0 nous avons M n = P DnP ?1 M n = P D n P ? 1 La démonstration par récurrence de cette propriété est simple à comprendre et à retenir.
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES. UHA MULHOUSE
L2 Mathematiques.
Mathematiques: ALGEBRE LINEAIRE II
Cours Elisabeth REMM
Chapitre 3Trigonalisation des matrices carrees
1.Matrices trigonalisables
1.1.Matrices triangulaires.Denition 1.SoitT2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC.
Elle est dite triangulaire superieure si elle est de la forme (1)T=0 B BBB@a1;1a1;2a1;3a1;n1a1;n
0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................
0 0 0an1;n1an1;n
0 0 00an;n1
C CCCA c'est-a-direai;j= 0des quej < i.Par exemple, toute matrice diagonale est triangulaire superieure. Denition 2.SoitT2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC. Elle est dite triangulaire inferieure si elle est de la forme T=0 B BBB@a1;10 00 0
a2;1a2;200 0..................
a n1;1an1;2an1;3an1;n10 a n;1an;2an;3an;n1an;n1 C CCCA c'est-a-direai;j= 0des quej > i.12 L2PC Chapitre 1. Diagonalisation
Pour simplier le langage, lorsque nous parlerons de matrice triangulaire, il s'agira de ma-trices triangulaires superieures. L'autre cas sera donc toujours precise.Proposition 1.Toute matrice triangulaire deMn(K)admet toujoursnvaleurs propres
distincres ou confondues. SiTest la matrice triangulaire (1), ses valeurs propres sont k=ak;k,k= 1;n:Demonstration.En eet, le polyn^ome caracteristique de (1) est det(TXIn) = det0 B BBB@a1;1X a1;2a1;3a1;n1a1;n
0a2;2X a2;3a2;n1a2;n..................
0 0 0an1;n1X an1;n
0 0 00an;nX1
C CCCAEn developpant ce determinant, on obtient
det(TXIn) = (a1;1X)(a2;2X)(an1;n1X)(an;nX): Les racines de ce polyn^omes sont donca1;1;a2;2;;an;n:1.2.Matrices trigonalisables.Denition 3.SoitM2 Mn(K)une matrice carree a coecients dansK,K=RouC.
Elle est dite trigonalisable si elle est semblable a une matrice triangulaire, c'est-a-dire, s'il existe une matrice inversiblePtelle queT=P1MP=0
B BBB@a1;1a1;2a1;3a1;n1a1;n
0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................
0 0 0an1;n1an1;n
0 0 00an;n1
CCCCAOn en deduit
Proposition 2.Toute matrice trigonalisable deMn(K)admet toujoursnvaleurs propresdistincres ou confondues.Une grande partie de ce chapitre est destinee a etudier la reciproque de cette proposition.
Elisabeth Remm 3
2.Trigonalisation des matrices carrees complexes
Le resultat essentiel de ce paragraphe est le suivant:Theoreme 1.Toute matrice complexeM2 Mn(C)est trigonalisable.Demonstration.Demontrons par recurrence surn?1?
(1) Toute matrice carree complexe d'ordre 1 s"ecritM= (a1;1d. Elle est donc trigonalisble. (2) Soitn1 xe. Supposons que toute matrice complexe d?ordren?1 soit trigonalis- able. Considerons une matriceM2 Mnn+ 1(C). Nous avons vu, dans le cahpitre precedent, que toute matrice complexe d'ordrepadmettaitpvaleurs propres distinctes ou confondues. AinsiMadmetn+ 1 valeurs propres disctinctes ou pas. Soitune valeur propre deM. Il existe un vecteur propre non nulv6= 0 attache a ?: Mv=v: Commevest non nul, nous pouvons completer la famillefvgen une baseB=fv= e1;e2;;en+1gdeCn+1. SoitPla matrice inversible obtenue en mettant en colonnes
les vecteursv=e1;e2;;en+1. CommeMv=v;la matrice semblable M1=P1MP
est de la forme0 BBBB@ a
1;2a1;3a1;n1a1;n
0a2;2a2;3a2;n1a2;n..................
0an1;2an1;3an1;n1an1;n
0an;2an;3an;n1an;n1
C CCCA SoitNla matrice complexe d'ordrendenie a partir deM1: N=0 B B@a2;2a2;3a2;n1a2;n...............
a n1;2an1;3an1;n1an1;n a n;2an;3an;n1an;n1 C CA D'apres l'hypothese de recurrence, il existe une baseB1=fv1;;vngdeCntelle que siQest la matrice dont les colonnes sont les composantes des vecteursvi, la matrice d'ordren N1=Q1NQ
soit triangulaire (superieure). Considerons la matriceP1d'ordren+ 1 denie par P1=1 0nt0nQ
ou 0 n= (0;0;;0), alors M2=P11M1P1= B
t0nN1 avecB= (b1;;b1;3;;b1;n+1). On en deduit queM2est une matrice triangulaire. (3) La propriete est donc vraie a l'ordren+ 1. Elle est vraie quel que soitn1.4 L2PC Chapitre 1. Diagonalisation
Exemples
(1) Soit la matrice M=0 @13 4 47 867 71
A
Son polyn^ome caracteristique est
CM(X) =(X+ 1)2(X3):
Les valeurs propres sont1= 3, racine simple et2=1, racine double. L'espace propre associe a1est de dimension 1 et engendre par le vecteurv1= (1;2;2). L'espace propre associe a la valeur double2est de dimension 1 et engendre par le vecteur v2= (1;2;1). La matrice n'est donc pas diagonalisable. Pour trigonaliser la matrice,
il sut de completer la famille librefv1;v2gen une base deC3. Soitv3= (1;0;0) (ce choix est loin d'^etre unique). La famillefv1;v2;v3gest bien une base. La matrice de changement de base est P=0 @1 1 1 2 2 02 1 01
A qui est de determinant2 donc non nul, ce qui montre bien que la famillefv1;v2;v3g est une base. La matrice semblableT=P1MPs'ecrit T=0 @3 0a 01b 0 011 A (les valeurs propres sont sur la diagonale). On peut calculer les parametresaetbsoit en calculantP1MP, soit plus simplement, en ecrivant que0 @13 4 47 867 71
A0 @1 0 01 A =a0 @1 2 21
A +b0 @1 2 11 A 0 @1 0 01 A
On trouve
a= 4; b=2:AinsiMest semblable a la matrice triangulaire
T=0 @3 0 4 012 0 011 A (2) Soit la matrice M=0 @21 2156 11
146 111
ASon polyn^ome caracteristique est
CM(X) =(X1)3:
Elisabeth Remm 5
Les valeurs propres sont1= 1, racine triple. L'espace propre associe a1est de dimension 1 et engendre par le vecteurv1= (1;1;2). La matrice n'est donc pas diago- nalisable. Pour trigonaliser la matrice, nous n'avons guere de methode ecace. On en revient donc a la denition. On commence a chercher un vecteurv2= (x;y;z) tel que M:0 @x y z1 A =a0 @1quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] trigonalisation matrice 3x3
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