Matrice dune application linéaire
Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice par rapport à la base canonique (e1e2
Matrice et application linéaire
On définit le rang d'une matrice comme étant le rang de ses vecteurs colonnes. La matrice de passage P contient - en colonnes - les coordonnées des ...
Matrices
Soit u l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique (i Déterminer P la matrice de passage de (i
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Matrices
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1**TSoitul"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique(i;j;k)deR3est : M=0 @2 1 0 31 11 011 A 1.
Déterminer u(2i3j+5k).
2.Déterminer K eruet Imu.
3.Calculer M2etM3.
4.Déterminer K eru2et Imu2.
5. Calculer (IM)(I+M+M2)et en déduire queIMest inversible. Préciser(IM)1.A(x) =chxshx
shxchx Déterminer(A(x))npourxréel etnentier relatif. M=0 @0 1 0 0 0 1 13 31 A 1. Montrer que uest un automorphisme deR3et détermineru1. 2. Déterminer une base (e1;e2;e3)deR3telle queu(e1) =e1,u(e2) =e1+e2etu(e3) =e2+e3. 3. Déterminer Pla matrice de passage de(i;j;k)à(e1;e2;e3)ainsi queP1. 4. En déduire un(i),un(j)etun(k)pournentier relatif. 1P7!Q=eX2(PeX2)0.
1.Vérifier que f2(L(Rn[X];Rn+1[X]).
2. Déterminer la matrice de frelativement aux bases canoniques deRn[X]etRn+1[X]. 3.Déterminer K erfet rgf.
matrice defs"écrit0 @0 0 0 1 0 00 0 01
A BBBBB@0 0:::0 1
0 1 00 1 0 0
1 0::: :::01
CCCCCA2Mp(R). CalculerAnpournentier relatif.
x1 ;x2]1;1[gest un groupe pour la multiplication des matrices. sont tous non nuls. 2.Montrer que toute matrice triangulaire supérieure est semblable à une matirce triangulaire inférieure.
0 1 etJ=1 1 0 1 puisE=fM(x;y) =xI+yJ;(x;y)2R2g. 1. Montrer que (E;+;:)est un sous-espace vectoriel deM2(R). Déterminer une base deEet sa dimension. 2.Montrer que (E;+;)est un anneau commutatif.
3.Quels sont les in versiblesde E?
24.Résoudre dans Eles équations suivantes :
a)X2=I b)X2=0c)X2=X: 5.Calculer (M(x;y))npournentier naturel non nul.
AB=0 @011 1 011 1 21
AMontrerl"existenced"aumoinsuncouple(A;B)vérifiantlesconditionsdel"énoncépuiscalculerBA. (Indication.
Calculer(AB)2et utiliser le rang.)
8i2 f1;:::;ng;ai;j=8
:isii=j1 sii>j
0 sii Montrer queAest inversible et calculer son inverse. éléments deMn(K)(utiliser les matrices élémentaires). 1)0 @1 1=2 1=3 1=2 1=3 1=4
1=3 1=4m1
A 2)0 @1 1 1 b+c c+a a+b bc ca ab1 A 3)0 B B@1a1b
a1b1 1b1a b1a11 C CA4) (i+j+ij)16i;j6n
5) (sin(i+j))16i;j6n6)0
B BBBBBB@a b0:::0
0a.........
............0 0 ......b b0:::0a1 C CCCCCCA:
3 Exercice 15***Soitfqui, àP2R2n[X]associef(P) =X(X+1)P02kXP. Trouverktel quef2L(R2n[X])puis, pour cette
1. Soit M=A B
C D etN=A0B0 C 0D0 (Mq;r(K))2et(D;D0)2(Mq;s(K))2. CalculerM+Nen fonction deA,B,C,D,A0,B0,C0etD0. 2. Question analogue pour MNen analysant précisément les formats de chaque matrice. d"abordAA). B B@7 4 0 0
127 0 0
20 11612
126 6 111
C CAetul"endomorphisme deC4de matriceAdans la base canonique deC4. 1. Déterminer une base de C4formée de vecteurs colinéaires à leurs images. 2. Ecrire les formules de changement de base correspondantes. 3. En déduire le calcul de Anpournentier naturel.
Montrer queAest inversible et déterminer son inverse. (Indication : considérer l"endomorphisme deRn[X]qui
à un polynômePassocie le polynômeP(X+1)). 1. Soit A=2 1
1 2 . Pourn2N, calculerAn. En déduireunetvnen fonction den. 2. En utilisant deux combinaisons linéaires intéressantes des suites uetv, calculer directementunetvnen
fonction den. 4 Correction del"exer cice1 N1.Soit X=0
@2 3 51
A .MX=0 @2 1 0 31 1
1 011 A0 @2 3 51
A =0 @1 2 31
A etu(2i3j+5k) =i+2j3k. 2. Soit X=0
@x y z1 A 2M3;1(R).
MX=0,0
@2 1 0 31 1
1 011 A0 @x y z1 A =0 @0 0 01 A ,8 :2x+y=0 3xy+z=0
xz=0,y=2x z=x: Donc, Keru=Vect(i2j+k). En particulier, dim(Keru) =1 et, d"après le théorème du rang, rgu=2.
Or,u(j) =ijetu(k) =j+ksont deux vecteurs non colinéaires de Imuqui est un plan vectoriel et donc Imu=Vect(ij;jk). 3. M 2=0 @2 1 0 31 1
1 011 A0 @2 1 0 31 1
1 011 A =0 @1 1 1 222
1 1 11
A et M 3=M2:M=0
@1 1 1 222
1 1 11
A0 @2 1 0 31 1
1 011 A =0: 4. K eru2est à l"évidence le plan d"équationx+y+z=0. Une base de Keru2est(ij;jk)et donc Keru2=Imu=Vect(ij;jk).
D"après le théorème du rang, Imu2est une droite vectorielle. Maisu3=0 s"écrit encoreuu2=0, et
donc Imu2est contenue dans Keruqui est une droite vectorielle. Donc, Imu2=Keru=Vect(i2j+k). 5.(IM)(I+M+M2) =IM3=I. Par suite,IMest inversible à droite et donc inversible et
(IM)1=I+M+M2=0 @1 0 0 0 1 0 0 0 11
A +0 @2 1 0 31 1
1 011 A +0 @1 1 1 222
1 1 11
A =0 @4 2 1 521
2 1 11
A :Correction del"exer cice2 NSoientxetydeux réels. A(x)A(y) =chxshx
shxchx chyshy shychy =chxchy+shxshyshxchy+chxshy shxchy+chxshychxchy+shxshy ch(x+y)sh(x+y) sh(x+y)ch(x+y) En particulier,
A(x)A(x) =A(x)A(x) =A(0) =1 0
0 1 =I2; etA(x)est inversible d"inverseA(x). 6 On a aussi, pournentier naturel non nul donné : (A(x))n=A(x)A(x):::A(x) =A(x+x:::+x) =A(nx); ce qui reste clair pourn=0 carA(x)0=I2=A(0). Enfin,(A(x))n= (A(x)1)n=A(x)n=A(nx). Finalement,
8n2Z;(A(x))n=A(nx) =ch(nx)sh(nx)
sh(nx)ch(nx) :Correction del"exer cice3 N1.r gu=rg(u(i);u(j);u(k)) =rg(u(j);u(k);u(i)). La matrice de cette dernière famille dans la base(i;j;k)
quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
1=2 1=3 1=4
1=3 1=4m1
A 2)0 @1 1 1 b+c c+a a+b bc ca ab1 A 3)0 BB@1a1b
a1b1 1b1a b1a11 CCA4) (i+j+ij)16i;j6n
5) (sin(i+j))16i;j6n6)0
BBBBBBB@a b0:::0
0a.........
............0 0 ......b b0:::0a1 CCCCCCCA:
3Exercice 15***Soitfqui, àP2R2n[X]associef(P) =X(X+1)P02kXP. Trouverktel quef2L(R2n[X])puis, pour cette
1.Soit M=A B
C D etN=A0B0 C 0D0 (Mq;r(K))2et(D;D0)2(Mq;s(K))2. CalculerM+Nen fonction deA,B,C,D,A0,B0,C0etD0. 2. Question analogue pour MNen analysant précisément les formats de chaque matrice. d"abordAA). BB@7 4 0 0
127 0 0
20 11612
126 6 111
C CAetul"endomorphisme deC4de matriceAdans la base canonique deC4. 1. Déterminer une base de C4formée de vecteurs colinéaires à leurs images. 2. Ecrire les formules de changement de base correspondantes. 3.En déduire le calcul de Anpournentier naturel.
Montrer queAest inversible et déterminer son inverse. (Indication : considérer l"endomorphisme deRn[X]qui
à un polynômePassocie le polynômeP(X+1)). 1.Soit A=2 1
1 2 . Pourn2N, calculerAn. En déduireunetvnen fonction den. 2.En utilisant deux combinaisons linéaires intéressantes des suites uetv, calculer directementunetvnen
fonction den. 4Correction del"exer cice1 N1.Soit X=0
@2 3 51A .MX=0 @2 1 0 31 1
1 011 A0 @2 3 51
A =0 @1 2 31
A etu(2i3j+5k) =i+2j3k. 2.
Soit X=0
@x y z1 A2M3;1(R).
MX=0,0
@2 1 0 31 11 011 A0 @x y z1 A =0 @0 0 01 A ,8 :2x+y=0
3xy+z=0
xz=0,y=2x z=x:Donc, Keru=Vect(i2j+k). En particulier, dim(Keru) =1 et, d"après le théorème du rang, rgu=2.
Or,u(j) =ijetu(k) =j+ksont deux vecteurs non colinéaires de Imuqui est un plan vectoriel et donc Imu=Vect(ij;jk). 3. M 2=0 @2 1 0 31 11 011 A0 @2 1 0 31 1
1 011 A =0 @1 1 1 222
1 1 11
A et M3=M2:M=0
@1 1 1 2221 1 11
A0 @2 1 0 31 11 011 A =0: 4. K eru2est à l"évidence le plan d"équationx+y+z=0. Une base de Keru2est(ij;jk)et donc
Keru2=Imu=Vect(ij;jk).
D"après le théorème du rang, Imu2est une droite vectorielle. Maisu3=0 s"écrit encoreuu2=0, et
donc Imu2est contenue dans Keruqui est une droite vectorielle. Donc, Imu2=Keru=Vect(i2j+k).5.(IM)(I+M+M2) =IM3=I. Par suite,IMest inversible à droite et donc inversible et
(IM)1=I+M+M2=0 @1 0 0 0 1 00 0 11
A +0 @2 1 0 31 11 011 A +0 @1 1 1 222
1 1 11
A =0 @4 2 1 5212 1 11
A :Correction del"exer cice2 NSoientxetydeux réels.A(x)A(y) =chxshx
shxchx chyshy shychy =chxchy+shxshyshxchy+chxshy shxchy+chxshychxchy+shxshy ch(x+y)sh(x+y) sh(x+y)ch(x+y)En particulier,
A(x)A(x) =A(x)A(x) =A(0) =1 0
0 1 =I2; etA(x)est inversible d"inverseA(x). 6 On a aussi, pournentier naturel non nul donné : (A(x))n=A(x)A(x):::A(x) =A(x+x:::+x) =A(nx); ce qui reste clair pourn=0 carA(x)0=I2=A(0). Enfin,(A(x))n= (A(x)1)n=A(x)n=A(nx).Finalement,
8n2Z;(A(x))n=A(nx) =ch(nx)sh(nx)
sh(nx)ch(nx):Correction del"exer cice3 N1.r gu=rg(u(i);u(j);u(k)) =rg(u(j);u(k);u(i)). La matrice de cette dernière famille dans la base(i;j;k)
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