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IUT Aix-en-ProvenceAnnee 2012-2013

DUT Informatique TD Probabilitesfeuille n1Statistiques descriptives

Exercice 1Dans une salle, 9 personnes sont assises, leur moyenne d'^age est de 25 ans. Dans une autre

salle, 11 personnes sont reunies, leur moyenne d'^age est de 45 ans. On rassemble les deux groupes de

personnes. Calculer la moyenne d'^age du groupe ainsi constitue. Exercice 2Dans un groupe, 25% des familles ont un enfant, 40% ont deux enfants, 20% ont trois enfants et 15% ont quatre enfants. Quel est le nombre moyens d'enfants dans ce groupe? Exercice 3Dans une entreprise de 360 employes, les cadres gagnent en moyenne 2 000det les ouvriers

1200d. L'ensemble des employes gagnent en moyenne 1400d.

1.

Quel est le nom brede cadres ?

2.

Si on augmen tetous les ouvriers de 5% ,

(a) Quelle est la nouv ellemo yennedes salaires des em ployesde l'en treprise? (b)

L' etenduedes salaires augmen te-t-elle?

(c)

Le salaire m edianaugmen te-t-il?

3. M ^emesques tionssi au lieux d'augmen terles ouvri ers,on augmen tetous les c adresde 5%. Exercice 4A la question,\Les statistiques permettent de mentir avec assurance : Quelle est votre opinion?", 80 personnes interrogees ont ainsi repondu :Pas du tout d'accord10

Plut^ot d'accord15

Indierente12

Plut^ot en accord18

Tout a fait d'accord25

SoitXla variable associee a cette enqu^ete.

1. Quelles son tles mo dalitesde X? Quel est son type? Quel est son mode? 2. Etablir la distribution en frequence de cette variable et representer la par un diagramme rectan- gulaire, un diagramme en b^atons ou un diagramme semi-circulaire. 3. Quelle est la prop ortionde sujets n'a yantpas d'opin ione xtr^emementtranc heesur la question ? Ayant une opinion extr^emement tranchee sur la question? 4. Quelle est la prop ortionde sujets qui r epondentn egativement ala question ?Qui r epondent positivement a la question? Exercice 5Voici les 72 resultats d'un examen d'anglais :

12 8 15 11 4 7 13 2 9 10 17 13 14 3 6 6 8 12 9 16 12 9 4 15

5 3 13 2 18 5 6 11 10 14 6 8 17 10 14 11 16 10 8 10 9 11 10 14

7 13 19 14 10 15 12 13 6 12 11 9 13 16 15 13 5 10 7 16 10 8 16 11

Variable quantitative discrete :

1. Remplir le tableau suiv ant: Notes01234567891011121314151617181920

Eectif

1

2.D eterminerle mo de,la mo yennee tl' ecartt ypede la s eriestatistique suiv antce mo dede

stockage des donnees.

Variable quantitative continue :

1. Remplir le tableau suiv ant: Intervalle de notes[0;4[[4;8[[8;12[[12;16[[16;20]

Eectif

2. D eterminerle mo de,la mo yennee tl' ecartt ypede la s eriestatistique suiv antce mo dede stockage des donnees. Exercice 6Une population de menages a ete repartie en fonction du nombre de parts familiales permettant le calcul de l'imp^ot sur le revenu.Nombre de Parts11,522,533,544,5

Nombre de Menages48581361842101226212

1. Quel est le caract ere etudieet quelles son tles m odalites? 2. D eterminerl' etenduet le mo dede cette s eriestatistique. 3. Donner une repr esentationgraphique de cette p opulation. 4. Repr esenterla courb edes fr equencescum uleescroiss antes. 5. Calculer la m ediane,la mo yenneet l' ecart-typede cette v ariable.

Exercice 7Repartition des revenus mensuels dans une population de 4000 personnes en euro :Salaires[0;1000[[1000;2000[[2000;3000[[3000;4000[[4000;5000[[5000;6000[

Eectifs1431685118046820432

1. Quel est le caract ere etudieet quelles son tles m odalites? 2. D eterminerl' etenduet le mo dede cette s eriestatistique. 3. Apr esa voircalcul eles fr equences,repr esentergraphiquemen tla s eriestatistique pr ecedente. 4. Calculer la mo yenneainsi que l' ecartt ypede cette s erie. 5. T racerle diagramme des fr equencescum uleescroissan tes. 6. En d eduirela m ediane,les qu artileset tracer la b o^te amoustac hecorresp ondante. 7. P armiles salaires de moins de 1000 euros, les 2 =3 sont inferieurs a 500 euros. Quel nombre de salaries cela represente-t-il? Exercice 8Deux tireursXetYs'arontent en vue d'une selection lors d'une epreuve comportant

25 tirs sur cible. Les resultats obtenus ont ete consignes dans le tableau suivant :Points503020100

X57652

Y74644

1. La mo yennepar tir p ermet-elled ed epartagerles deux concurren ts?Que se passe-t-il si on elimine les cinq plus mauvais tirs de chacun. 2. Calculer la m edianedes deux s erie.P eut-ond epartagerles deux c oncurrents? 3. Repr esenterpar deux histogrammes, l'un sous l'autre les s eriesobten uespar XetY. Quel est d'apres vous le tireur le plus regulier. 2

4.Calculer les ecartst ypesd esdeux s eries.

5. T racerles b oites amoustac hecorresp ondant ac hacunedes deux s eries. Exercice 9A l'aide des donnees recoltees sur la page suivante : repondre a la question suivante : Quand une commune francaise n'a pas beaucoup d'habitants, ca veut dire qu'elle en a combien? Exercice 10Le tableau suivant donne les resultats obtenus a partir de 10 essais de laboratoire

concernant la charge de rupture d'un acier en fonction de sa teneur en carbonne.Teneur en carbonne :xi70606864666462707462

Charge de rupture (en kg) :yi87717974798075869570

1. Repr esentergrap hiquementle n uagede p ointsde co ordonnees( xi;yi). On prendra en abscisse

1cm pou une unite en representant les abscisses a partir de la valeur 60. On prendra en ordonnee

a partir de 70. 2. Calculer les co ordonneesdu p ointmo yende ce n uage. 3.

D eterminerla v aleurappro cheearrondie a10

3du coecient de correlation lineaire de la serie

statistique de variablesxety. Interpreter le resultat. 4. D eterminerune equationde la forme y=ax+bde la droiteDde regression deyenxpar la methode des moindres carres. On donnera les valeurs approchees des coecientsaetb. Tracer la droiteDsur le graphique de la question 1. 5. D eterminerune equationde la forme x=a0y+b0de la droiteD0de regression dexenypar la methode des moindres carres. On donnera les valeurs approchees des coecientsa0etb0. Tracer la droiteD0sur le graphique de la question 1. 6. Un acier a une teneur en carb onnede 77. Donner une estimation de sa c hargede rupture.

Exercice 11Un mobile est propulse a tres grande vitesse sur un axe, puis il est ralenti. On s'interesse

a la vitesse de ce mobile durant le freinage. Dans tout l'exercice, les distances sont exprimees en metres,

les temps en seconde et donc les vitesses en metre par seconde. Les resultats seront arrondis au dixeme.

On a releve les vitesses instantaneesvide ce mobile aux instantsti, pourivariant de 0 a 7.t iens01234567 v ienm:s1215140855736292722 1. Dessiner le n uagede p ointsde cette s eriestatistique et expliquer p ourquoion n'en visagepas un ajustement ane de ce nuage. 2. On p oseni= ln(vi15) pourivariant de 0 a 7. Dresser le tableau de la serie (ti;ni). 3. Donner une equationde la droite de r egressionde nentpar la methode des moindres carres. 4. En d eduireune expression de la vitesse ven fonction du tempstsous la formev=et+ , ou ,et sont des reels a determiner et tracer la courbe obtenu sur le graphique de la question 1. 3

IUT Aix-en-ProvenceAnnee 2012-2013

DUT Informatique TD Probabilitesfeuille n1Statistiques descriptives (Methodes) ZComment calculer la moyenne d'une serie statistique a une variable? i.

Si on d isposeun tableau de donn eesp onctuelles:

1. totaliser toutes les v aleursobserv ees, 2. diviser le total par le n ombrede v aleursobserv ees(eectif total de la s erie). ii.

Si on disp osed'un tableau d'eectifs :

1. m ultiplierc haquev aleurpar son eectif, 2. totaliser tous ses pro duits,soit Scette somme, 3. totaliser tous les eectifs c equi donne un eectif total nde la serie, 4. diviser la somme Spar l'eectifn. iii.

Si on disp osed'un tableau de fr equences,

1. m ultiplierc haquev aleurpar sa fr equence, 2. totaliser tous ces pro duits. iv. Si on disp osed'un tableau d'eectifs (ou de fr equences)de classes : 1. d eterminerd'ab ordles cen tresdes classes, 2. se ramener au cas ii. ou iii. en rempla cantles v aleurspar les cen tresdes classes. v. Si on sait que la s erieest obten uepar agr egationde plusieurs s eriesstatistiques d'eectif e tde moyenne connus : se ramener a la denition de la moyenne. ZComment calculer la mediane d'une serie statistique a une variable? i.

Si on d isposeun tableau de donn eesp onctuelles:

1. ranger les nvaleurs observeesxidans l'ordre croissant au sens large; noter (x(i)) la suite de valeurs ainsi ordonnees, 2. si nest impair, la mediane estx(n+12 ); sinla mediane estMe=12 (x(n2 )+x(n2 +1)). ii. Si on disp osed'un tableau d'eectifs ou de fr equence: 1. calculer les fr equencescum uleescroissan tes, 2. c'est la premi ereclasse p ourlaqu elleon d epasse0.5. Pour determiner le premier ou troisieme quartile on procede de maniere identique en remplacant 0.5 respectivement par 0.25 et 0.75. ZComment calculer l'ecart type d'une serie statistique a une variable? 1.

On calcule la mo yennearithm etiquex.

2. Sur le tableau d'eectif ou de fr equence,on ra jouteune ligne corresp ondant ala v aleur( xix)2 ouxisont les valeurs prisent par la serie statistique. 3. On calcule la mo yennesuiv antcette nouv ellev aleur. 1 ZComment calculer une droite de regression par la methode des moindres carres? Etant donne une serie statistique a deux variables (X;Y) represente par les pointsMide coordonnees (xi;yi).

Pour calculer la droite de regression deYenX:

1.

Calculer x,yetV(X).

2.

Calculer

Cov(X;Y) =1n

n X i=1(xix)(yiy): 3.

Calculer a=Cov(X;Y)V(X)etb=yax.

4. La droite de r egressionDpar la methode des moindres carres a pour equationy=ax+b, elle verie les proprietes suivantes : elle passe par le p ointmo yen( x;y); elle minimise les ecartsau xcarr esP iPiM2ides points a la droites suivant l'axe des ordonnees.

Pour calculer la droite de regression deXenY:

1.

Calculer en plus V(Y).

2.

Calculer a0=Cov(X;Y)V(Y)etb0=ya0x.

3. La droite de r egressionD0par la methode des moindres carres a pour equationx=a0y+b0(ce qui est equivalent ay=1a 0xb0a

0), elle verie les proprietes suivantes :

elle passe par le p ointmo yen( x;y); elle minimise les ecartsaux carr esP iQiM2ides points a la droites suivant l'axe des ordonnees.xy

Regression deYenXD:y=ax+bM

1P 1M 2P 2M iP ix iy iax i+bM nP nxy

Regression deXenYD

0:x=a0y+b0M

1Q 1M 2Q 2M iy iQ ia

0yi+b0M

nQ nZComment calculer le coecient de correlation lineaire?Etant donne une serie statistique a deux

variables (X;Y) pour calculer le coecient de correlation lineaire, on organise les calculs de la maniere

suivante : 1.

Calculer x,y,(X) et(Y).

2.

Calculer Co v(X;Y).

3. Le co ecientde corr elatione st(X;Y) =Cov(X;Y)(X)(Y). ZComment interpreter le coecient de correlation lineaire?Soitl'angle forme par la droiteD de regression deYenXet la droiteD0de regression deXenY. Le coecient de correlation lineaire correspond a= cos().

Si jj= 1 alorsa=1a

0les droitesDetD0sont confondues.

Si p3 2 jj 1 il y a une bonne correlation lineaire,DetD0sont presque confondues. Si 12 jj p3 2 il y a une correlation lineaire mediocre,DetD0forment un angle important.

Si 0 jj 12

il y a une mauvaise correlation lineaire,DetD0sont presque orthogonales. 2quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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