Les fonctions sinus et cosinus
Exercices. 22 octobre 2014. Les fonctions sinus et cosinus. Rappels. Exercice 1. Trouver les mesures principales puis les valeurs exactes du sinus et du
Fonctions Trigonométriques - Partie 2 Les fonctions sinus et cosinus
Exercice 3 : Exercice 4 : Exercice 5 : On considère la fonction f définie sur ? par f (x)= sin x. 2+cos x.
Correction : Les fonctions sinus et cosinus
14 mar. 2014 Étude de fonctions. Exercice 5. 1) Df = R car l'équation 2 + cos x = 0 n'a pas des solution. 2) La fonction f est paire et 2? périodique ...
FONCTIONS COSINUS ET SINUS
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. FONCTIONS COSINUS ET SINUS. I. Rappels. 1) Définitions : Dans le plan muni d'un repère.
1) a) La fonction sinus hyperbolique : sh(x) = b) La fonction cosinus
La morale de cet exercice c'est que les formules que l'on vient de trouver ressemblent beaucoup à celles des cosinus et sinus que vous connaissez depuis le
Trigonométrie circulaire
en ayant cette fois-ci en ligne de mire la parité des fonctions sinus et cosinus. 2 Les lignes trigonométriques. Pour mesurer un angle on a mesuré une
Fonctions sinus et cosinus
EXERCICES. 11 juillet 2021 à 9:44. Fonctions sinus et cosinus. Rappels. EXERCICE 1. Trouver les mesures principales puis les valeurs exactes du sinus et du
Chapitre 21 : LES FONCTIONS COSINUS ET SINUS
Dressez le tableau de variation de sur l'intervalle [? ; ]. 5. Tracez l'allure de la courbe de la fonction sur ?. Exercice 4 :.
Trigonométrie
Dans ce chapitre nous étudierons les fonctions Sinus et Cosinus ainsi que leurs dérivées. Exercice. 13. A. Construction Sinus et Cosinus. Simulateur.
Fiche n 08 : Tracer des Graphes sous Python I] La fonction PLOT de
Vérifier et confirmer votre assimilation en effectuant tous les exercices Pour tracer les fonctions sinus et cosinus sur [?5 3] sur un même grahe :.
Correction exercices14 mars 2014
Correction : Les fonctionssinus et cosinus
Rappels
Exercice1
1)-5π6
2)π
43)-2π
34)-π
65)-π
36)π
47)-3π
48)-π
39)-π
6Exercice2
1) sinx=-12?sinx=sin?
-π6?6+k2π
x=-5π6+k2πk?Z
?-π6 ?-5π62) cosx=-⎷3
2?cosx=cos?5π6?
6+k2π
x=-5π6+k2πk?Z
?5π 6 ?-5π63) cos(2x)=cos?
x+π4?4+k2π
x=-π12+k2π3k?Z
4 ?-π12 7π 12 ?-3π44) sin?
3x+π3?
=sin? x-π6?4+kπ
x=5π24+kπ2k?Z
4 -3π4 ?5π 24?17π 24
?-7π24 ?-19π24
5) 4cos2x-1=0?cos2x=14?cosx=±12
?x=π3+k2π
x=-π3+k2π
x=-2π3+k2πk?Z
3 ?2π 3 ?-π3 ?-2π36) 2cos2x+cosx-1=0 on poseX=cosxavec-1?X?1,
l'équation devient : 2X2+X-1=0Δ =9=32d'oùX1=12ouX2=-1
On revient àx: cosx=1
2ou cosx=-1
paul milan1 TerminaleS correction exercices ?x=π3+k2π
x=-π3+k2πk?Zoux=π+k2πk?Z
3 ?-π3Exercice3
1)sinx<-⎷2
25π
4=-3π4-π4=7π4
SI=? -3π4;-π4? ;SJ=?5π4;7π4? 2) cosx?-⎷ 3 26=11π6π
6SI=? -π;-π6? ??π6;π? ;SJ=?π6;11π6? 3) sinx?-127π
6=-5π6-π6=11π60=2ππ=-π
SI=? -π;-5π6? -π6;π? ;SJ=?0;7π6?
??11π6;2π? 4) cosx>⎷ 2 20=2π
4=7π4π
4SI=? -π4;π4? ;SJ=?0;π4?
??7π4;2π?Exercice4
Résoudre dans ]-π;π] :
1) voir cours
2) 4sin
2x-3?0?(2sin2x-⎷
3)(2sin2x+⎷3)?0
On cherche les valeurs qui annulent les facteurs dans l'intervalle ]-π;π]. On pose f(x)=4sin2x-32sinx-⎷
3=0?sinx=⎷3
2?x=π3oux=2π3
2sinx+⎷
3=0?sinx=-⎷3
2?x=-π3oux=-2π3
On peut remplir le tableau de signes suivant :
paul milan2 TerminaleS correction exercices x2sinx-⎷
32sinx+⎷
3 f(x) -π-2π3-π3π32π3π --0+0-0-0+++
0+0-0+0-
On obtient la solution :S=?
-π;-2π 3? -π3;π3? ??2π3;π?3) On poseX=cosxavec-1?X?1, l'équation devient :
2X2-3X-2=0, on calculeΔ =25=52on obtientX1=2 (impossible) et
X 2=-1 2On revient àx: cosx=-1
2?x=2π3oux=-2π3
4) D'après 3), on peut en déduire le tableau de signes enX
X2X-3X-2
-1-121 0-On veutX?-1
2alorsS=?
-2π3;2π3?Étude de fonctions
Exercice5
1)Df=Rcar l'équation 2+cosx=0 n'a pas des solution
2) La fonctionfest paire et 2πpériodique, en effet pour tout réelx,
f(-x)=22+cos(-x)=22+cosx=f(x)
f(x+2π)=22+cos(x+2π)=22+cosx=f(x)
On étudiera les variations defsur [0;π]
3)f?(x)=2sinx
(2+cosx)2de la forme?1u? =-u?u2Sur [0;π]
•f?(x)=0?sinx=0?x=0 oux=π •Le signe def?(x) est du signe de sinxdoncf?(x)?04) Pour déterminer les variation defsur [-π;0], on utilise la symétrie de la courbe par
rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire) paul milan3 TerminaleS correction exercices x f ?(x) f(x)-π0π 0-0+0 222 3 2 3 22
-π2 1 2 1
On obtient alors la courbe dans l'intervalle [-π;3π], en utilisant parité et périodicité.
122π3π22π5π23π
2-π
2 3Exercice6
1) La fonctionfest paire etπpériodique, en effet pour tout réelx,
2) On étudiera la fonctionf, compte tenu de la symétrie et de la périodicité sur?
0;π
2?3) On dérive la fonction en cherchant à la factoriser.
f =-2sin2x(2cos2x+1) Sur0;π
2? •f?(x)=0?sin2x=0 ou 2cos2x+1=0?x=0,x=π2,x=π3 •Le signe def?(x) est donné par le signe de-2cos2x-1 car sin2x?0 sur?0;π2?
-2cos2x-1?0?cos2x?-12?2x??2π3;π?
?x??π3,π2?4) Pour déterminer les variation defsur?
2,π2?
, on utilise la symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées (fonction paire). paul milan4 TerminaleS correction exercices x f ?(x) f(x)-π2-π30π3π20-0+0-0+0
-1-1 -54-54 11 -54-54 -1-1On obtient alors la courbe dans l'intervalle [-π;π], en utilisant parité et périodicité.
1 -1π32π3π
3-2π3-π
-54π2-π2
Exercice8
Vrai - Faux
1)Proposition 1 : VraieEn effet :?x?I,sin2x?0 et six??
4;π4?
alors 2x?? -π2;π2? donc cos(2x)? 0Conclusion :?x?I,f(x)?0
2)Proposition 2 : Vraie
fest dérivable surIcar produit et composition de fonction dérivables surI f ?(x)=2cosxsinxcos(2x)+sin2x(-2sin(2x)) =sin(2x)cos(2x)-2sin2xsin(2x) =sin(2x)[cos(2x)-2sin2x] =sin(2x)(1-2sin2x-2sin2x) =sin(2x)(1-4sin2x)3)Proposition 3 : VraieSix??π
6;π4?
alors 2x??π3;π2? donc sin(2x)?06?x?π4?12?sinx?⎷
22?14?sin2x?12?1?4sin2x?2?
-2?-4sin2x?-1? -1?1-4sin2x?0 paul milan5 TerminaleS correction exercices Doncf?(x)?0 donc la fonctionfest décroissante sur?π6;π4?4)Proposition 4 : FausseDeux possibilités d'arguments :
•Six?? -π4;-π6? alors 2x?? -π2;-π3? donc sin(2x)?04?x?-π6? -⎷
22?sinx?-12?14?sin2x?12?1?4sin2x?2?
-2?-4sin2x?-1? -1?1-4sin2x?0Doncf?(x)?0 donc la fonctionfest croissante sur?
4;-π6?
•La fonctionfest paire. En effet pourx?? -π4;-π6?Comme l'intervalle
4;-π6?
est symétrique par rapport à 0 de l'intervalle?π6;π4? comme d'après la question 3)fest décroissante sur?π6;π4?
alorsfest croissante sur?4;-π6?
5)Proposition 5 : VraieIl faut déterminer les extremum de la fonctionf. Il faut alors résoudre surI:
f ?(x)=0?sin2x=0 ou sin2x=14?x=0 ou sinx=12ou sinx=-12
?x=0 oux=π6oux=-π6
D'après les résultats des questions 3) et 4), on peut dresserle tableau de variation suivant : x f ?(x) f(x) -π4-π60π6π40-0+0-
00 1 8 1 8 00 1 8 1 8 00On a alors :?x?I,f(x)?18
paul milan6 TerminaleS correction exercicesAnnales
Exercice9
Polynésie septembre 2005
1) a) Comme-1?cosx?1? ?R, la fonctionfest donc encadrée par-g(x) etg(x).
b) limx→+∞-e-x=limx→+∞e-x=0, d'après le théorème des gendarmes limx→+∞f(x)=0.
2) Pour déterminer les points communs àΓetC, il faut résoudref(x)=g(x)
2Les coordonnées des points commun A
kentreΓetCsont : Ak=? kπ2;e-kπ
2?3) a) on a :un=f?
nπ 2? =enπ2=?e-π2?n
La suite (un) est donc une suite géométrique de raisonq=e-π2et de prenier terme
u 0=1 b) Comme 04) a) La fonction est dérivable sur [0;+∞[ car produit et composée de fonction déri- vables sur [0;+∞[ f b) Il faut calculer les nombres dérivéef?? kπ 2? etg?? kπ2? f kπ 2? =-e-kπ2[cos2π+4sin2π]=-e-kπ2=g??
kπ2? Donc les courbesΓetCont même tangente en chacun de leurs points communs.5)f??π
2? =-e-π2? -0,2 par excès
1 -11 2 3 Oπ2Δx=1
Δy=-0.2
paul milan7 TerminaleSquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26
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