[PDF] Feuille dexercices no1 Formes bilinéaires et quadratiques

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MAT244 Universite Grenoble-Alpes

2015-2016 Centre Dr^ome-Ardeche

Feuille d'exercices n

o1

Formes bilineaires et quadratiques

Exercice 1 :Pour chacune des applications suivantes, dire s'il s'agit d'une appli- cation bilineaire. Preciser s'il s'agit d'une forme bilineaire et si elle est symetrique ou anti-symetrique.

1.': (x;y)2R2R27!x1y13x2y22R

2.': (x;y)2R2R27!x1y12x2y22R

3.': (x;y)2R2R27! x1y14x2y1+x2y22R

4.': (x;y)2R3R37!x1y2+ 2x2x3y12R

5.': (x;y)2R3R37!x1y1x1y2x2y22x2y3x3y12x3y32R

6.': (x;y)2R3R37!2x1y13x2y2x3y32R

7.': (x;y)2R2R27!(x1y2x2y1;x2y1x1y2)2R2

8.': (x;y)2R2R27!x1y1+x2x12R

9.': (x;y)2R2R27!(x1+x2+y1)2(x2+x1)2y212R

Dans les cas ou'est une forme bilineaire, donner la matrice la representant dans la base canonique.

Exercice 2 :On considereE=M2(R) muni de

': (N;M)2E27!MNNM : Montrer qu'il s'agit d'une application bilineaire anti-symetrique. Est-elle degeneree? Exercice 3 :On se place surR2[X] et on considere l'application ': (P;Q)2R2[X]R2[X]7!P0(0)Q(0) +P(0)Q0(0): Montrer qu'il s'agit d'une forme bilineaire symetrique. Calculer la matrice representant 'dans la base canonique (1;X;X2). Cette forme bilineaire est-elle degeneree? Exercice 4 :On considere la forme bilineaire symetrique surR2denie par'(x;y) = x

1y2+x2y13x2y2. Calculer l'orthogonal de la droiteR:(1;1).

Exercice 5 :On considere la forme bilineaire symetrique de l'exercice 3. 1.

C alculerl'orthogonal du plan f+X;(;)2R2g.

2. C alculerl'orthogonal du plan fX+X2;(;)2R2g. Que constatez-vous?

Exercice 6 :On se place surR2et on pose

1(x;y) =x1y1+x1y2+x2y2et'2(x;y) =x1y1+x2y1+x2y2:

Calculer la forme quadratique associee a'1et'2. Que constate-t-on? Montrer que

1et'2ne dierent que d'une forme bilineaire anti-symetrique.

Exercice 7 :On considere la forme quadratique de Lorentzq(x;y;t) =x2+y2+ z

2c2t2surR3+1, ouc'3:108m:s1est la vitesse de la lumiere. On admet ici la

loi de la relativite restreinte : si un mobile se deplace d'un pointAa un pointBde l'espace-temps selon le vecteur!AB= (x;y;z;t) alors la duree du deplacement pour le mobile est donnee par d(!AB) =1c pq(x;y;z;t): Pour simplier les notations, dans la suite de l'exercice, nous ne considererons qu'une variable d'espacex(deplacements en ligne droite) et doncq(x;t) =x2c2t2. 1. Mon trerque si l'on reste immobile, la d enitionde la dur eeest coh erente. Par continuite, la duree est quasiment la m^eme si l'on voyage a vitesse petite devantc. 2. La forme qest-elle denie? Quel est son c^one isotrope? 3. A-t- ondes v ecteurs( x;t) pour lesquels la formule donnantdn'est pas denie? Pour lesquelsd= 0? Comment interpretez-vous ces vecteurs? 4. Da nsla suite, on dit que ( x;t) est de typetempssiq(x;t)<0 ettournes vers l'avenirsi en outret >0. Soientu= (x;t) etv= (x0;t0) de type temps et tournes vers l'avenir, que l'on prendra non-colineaires. Montrer sur un dessin que la sommeu+vest encore de type temps et tournee vers l'avenir. Montrer par un calcul explicite que'(u;v)<0, ou'est la forme bilineaire symetrique associee aq. 5. Re presenterla droite u+R:vet determiner sa position par rapport au c^one isotrope deq. En considerant le discriminant du polyn^omeq(u+v), montrer que'(u;v) d(u) +d(v). 7. En d eduirele parado xedes jum eaux: un jumeau reste immobile p endantque son frere fait un aller-retour jusqu'a un point distant; a l'arrivee, le jumeau qui est parti est plus jeune que celui qui est reste. Connaissez-vous des situations pratiques ou ce principe relativiste est pris en compte? Exercice 8 :Calculer le noyau et le c^one isotrope des formes bilineaires symetriques surR3denies par '(x;y) =x1y1+x2y2x3y3et (x;y) =x1y1x3y3: Exercice 9 :On reprend la forme bilineaire de l'exercice 3. Donner la forme qua- dratique associee et calculer son c^one isotrope. Exercice 10 :Montrer que les formes lineaires (`j)1j3denies surR5par : 8<

1(x) =x1+x2+x3+x4+x5

2(x) = 3x12x3+ 2x4+x5

3(x) = 3x2+x3+ 3x4

sont lineairement independantes. Exercice 11 :Pour chacune des applications suivantes, dire s'il s'agit d'une forme quadratique et donner la forme bilineaire symetrique associee.

1.q:x2R37!2x21x1x2x3

2.q:x2R27!4x21+x1x2

3.q: (x;y)2R27!xy

4.q:x2R37!x3x2x23+ 2x1x3+x21

5.q: (x;y)2R27!x2+y2+ 2xy

6.q: (x;y;z)2R37!xy+yzzx

7.q:x2R37!x214x1x2+ 4x1x3+x23

8.q:x2R37!x21+ 3x22+ 5x23+ 4x1x2+ 6x1x3+ 2x2x3

9.q: (x;y;z;t)2R47!(x+y)2+ (z+t)2(zt)2t2

Calculer une forme reduite de chacune des formes quadratiques precedentes et don- ner sa signature. Dire si la forme est denie ou non et si elle est degeneree ou non. Exercice 12 :Soitqla forme quadratique denie surR3par : q(x;y;z) =x2+ (1 +a)y2+1 +a+a2z2+ 2xy2ayz ; ouaest un parametre reel. 1. Donn erla matrice de qdans la base canonique deR3. 2.

R eduireqet donner son rang en fonction dea.

3.

D eterminerle n oyaude qen fonction dea.

Exercice 13 :On considere l'ensembleQ(Rd) des formes quadratiques surRd. Montrer qu'il s'agit d'un espace vectoriel assimilable a l'ensemble des matrices symetriques de tailledd. En deduire la dimension deQ(Rd). Exercice 14 :Soitqune forme quadratique surRd. Pourx2Rd, on notex= (x1;x2;:::;xd) et on considereq(x) comme une fonction de plusieurs variablesxi. Montrer queqest derivable par rapport a chaquexiet que la forme bilineaire symetrique associee aqest donnee par '(x;y) =12 d X i=1y i@q@x i(x1;x2;:::;xd):

Exercice 15 :SoitE=M2(R) et soit'l'application

': (A;B)2E27!'(A;B) =12 (tr(A)tr(B)tr(AB)): 1.

Mon trerque 'est une forme bilineaire symetrique.

2.

Do nnerla matrice repr esentant'dans la base

E 1=1 0 0 0 E 2=0 1 0 0 E 3=0 0 1 0 E 4=0 0 0 1 3.

En d eduireq ue'est non-degeneree.

4. O nrapp ellequ'une m atriceann uleson p olyn^omecaract eristique,en particulier que, pour toutA2E,A2tr(A)A+ det(A)Id= 0. Montrer que la forme quadratique associee a'estq(A) =det(A). Cette formeqest-elle denie? 5.

En d eduireq ue

8(A;B)2 M2(R)2;tr(A)tr(B)tr(AB) = det(A+B)(det(A)+det(B)):

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