[PDF] MASTER DE MATHÉMATIQUES M1 SUJETS T.E.R. - 2016/2017

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MASTER DE MATH

EMATIQUES M1

SUJETS T.E.R. - 2016/2017

FR

EDERIC KLOPP

RESPONSABLE DES T.E.R.Date: 17 mars 2017.

Enseignant(e)(s)BureauCourrielIntitule du ou des sujets

Etudiant(e)(s)Quentin Berger16-26-220quentin.berger@upmc.frTemps de melange de cha^nes de Markov et phenomene

de cutoKevin Barbay

Chengcheng Xu

Temps de melange de Cha^nes de Markov et application au modele d'IsingDjiby Seck

Quentin Souillot

Claire David16-26-312Claire.David@upmc.frEspaces de Banach mesures et ordonnesRoxane Atchekzai Jean-Camille Chassaing55-65-408jean-camille.chassaing@upmc.frInteraction uide - structureGilbert Geitner

Corrado Maurini55-65-424corrado.maurini@upmc.fr

Mathieu Florence16-26-502mathieu.

orence@imj-prg.fr Equivalence de Morita et redescente galoisienneArchia Ghiasabadi Vincent Humiliere15-25-528vincent.humiliere@imj-prg.frEnlacements asymptotiques Quatrieme probleme de Hilbert et geometrie symplectique Frederic Klopp16-26-412frederic.klopp@imj-prg.frFormule de Weyl

Thierry Levy16-26-219thierry.levy@upmc.frAlgebres de Cliord, operateur de Dirac et spineursTitouan Serandour

Catherine Matias15-16-216catherine.matias@upmc.frAnalyse statistique de sequences biologiquesInes Krissaane

Pauline Roveyaz

Alberto Minguez15-25-4-07alberto.minguez@imj-prg.frRepresentations irreductibles modulo`deGL(2;Fq)Le RUBIK'S cube, groupe de poche

Jan Nekovar15-25-436jan.nekovar@imj-prg.frFormes quadratiques et leurs invariants

Approximation et irrationalite

Arnau Padrol15-16-118arnau.padrol@imj-prg.frd-polytopes avecd+ 3-sommetsThomas Perrin

Frederic Paugam15-25-518frederic.paugam@imj-prg.frLa ltration de Hodge sur la cohomologie non abelienne

Etienne Roquain15-16-213etienne.roquain@upmc.frEstimation d'une loi normale tronquee, avec application

a la prediction de performance d'une centrale photovolta queMaud Thomas15-16 207maud.thomas@upmc.frAnalyse statistique de donnees d'aleas marins en mer

MediterraneeBalint Gersey

Nicolas Prost

Temps de mélange de Chaînes de Markov et phénomène de cutoff Sujet proposé par Quentin Berger,quentin.berger@upmc.fr pré-requis :cours de Probabilités Approfondies (notamment Chaînes de Markov), connaissances de base de M1. Le but de ce TER est d"étudier les Chaînes de Markov sur des espaces d"états finis. Si (Xn)n0est une Chaîne de Markov irréductible apériodique sur un espace d"états fini, le théorème de convergence vers la mesure stationnaire assure queXnconverge en loi vers la mesure stationnaire (aussi appelée mesure d"équilibre). Le but de ce TER est de comprendre comment on peut estimer la vitesse de cette convergence : on définira la distance de la Chaîne de Markov à la mesure d"équilibre, puis le temps de mélange de la Chaîne, qui correspond au temps où cette distance devient petite.

En se basant sur le livre [

2 ] et sur [ 1 ], on utilisera certains outils - notamment les temps d"arrêts dit de mélange uniforme - afin d"estimer le temps de mélange de certains exemples de base, comme la marche aléatoire sur un cercle/un hypercube, ou le mélange d"un paquet de cartes (suivant différents algorithmes de mélange). On mettra aussi en évidence, dans certains exemples, l"existence d"un phénomène dit decutoff:Xnpasse d"une loi "éloignée"

à une loi "proche" de l"équilibre de manière brutale (on rendra bien évidemement ce concept

plus rigoureux au cours du TER).

Un résultat (dans [

1 ]) auquel on pourra donner un sens - et que l"on pourra démontrer - est par exemple que si l"on mélange un paquet dencartes avec un algorithme de "mélange mitraillette" (riffle shuffle, pour une démonstration, cliquer ici ), il faut répéter l"opération au moinslog2(n)fois avant que le paquet soit bien mélangé.

Références

[1] D. Aldous, P .Diaconis, Shuffling cards and stopping times, Amer. Math"l Monthly,93 (5), 1986, pp. 333-348. [2] D. Levin, Y. P eres,E. Willmer, Markov Chains and Mixing Times, Imp. Coll. Press,

London, 2007.

1 Temps de mélange de Chaînes de Markov et application au modèle d"Ising Sujet proposé par Quentin Berger,quentin.berger@upmc.fr pré-requis :cours de Probabilités Approfondies (notamment Chaînes de Markov), programmation, connaissances de base de M1. Le but de ce TER est d"étudier les Chaînes de Markov sur des espaces d"états finis. Si (Xn)n0est une Chaîne de Markov irréductible apériodique sur un espace d"états fini, le théorème de convergence vers la mesure stationnaire assure queXnconverge en loi vers la mesure stationnaire (aussi appelée mesure d"équilibre). Le but de ce TER est de comprendre comment on peut estimer la vitesse de cette convergence : on définira la distance de la Chaîne de Markov à la mesure d"équilibre, puis le temps de mélange de la Chaîne, qui correspond au temps où cette distance devient petite.

En se basant sur le livre [

2 ], on analysera le modèle de ferromagnétisme d"Ising : on utilisera une dynamique de Glauber pour effectuer des simulations de ce modèle, la théorie du temps de mélange servant à savoir combien de temps l"algorithme doit prendre pour obtenir

une bonne approximation du modèle. On s"intéressera aussi au phénomène de métastabilité,

où deux états d"équilibre sont possibles (et stables), et où le systèmeoscilleentre ces deux

états d"équilibre.

Références

[1] D. Levin, Y. P eres,E. Willmer, Markov Chains and Mixing Times, Imp. Coll. Press,

London, 2007.

1

TER : Interaction Fluide-Structure

Jean-Camille Chassaing, Corrado Maurini

Institut Jean Le Rond d'Alembert, UPMC

Le but de ce projet est de developper un code pour la simulation numerique des problemes d'interaction

uide- structure, qui sera ensuite utilise a des ns pedagogiques et de recherche.

Dans la demarche, on mettra en uvre les concepts introduits dans le cours de Mecanique de Milieux Continus

uides et solides) et de Methodes Numeriques. Les developpements se baseront sur l'utilisation de librariesopen-source

pour l'implementation de la methode des elements nis (FEniCS), pour la resolution de problemes d'algebre lineaire

et non lineaires (PETSc), et pour la visualisation (Paraview). On visera en particulier de developper un code adaptes

aux modernes plateformes HPC.

Le projet s'articulera sur les etapes suivantes :

1. Analyser et tester des exemples existants pour la solution de modeles de type Navier-Stokes pour les

uides incompressibles et de modeles de type hyperelastiques nonlineares pour les solides.

2. Developper une methode numerique de typeArbitrary Eulerian Lagrange Formulationpour gerer la dynamique

du maillage en presence d'interaction entre une structure hyperelastique et un uide Newtonien incompressible.

3. Validation du code de calcul

uide-structure par comparaison avec des exemples aeroelastiques issus de la litterature (voir Figure).Figure1 {Exemple d'interaction uide-structure qu'on desire simuler : L'emission tourbillonnaire derriere le cylindre a section carree va exciter le mouvement de la plaque elastique (Conguration d'Hubner et al., CMAME, 2004)

On demandera d'inclure dans le rapport une documentation du code. Le language sera essentiellementpython, avec

de developpements mineurs possibles enC++.

Contacts

{ Jean-Camille Chassaing (jean-camille.chassaing@upmc.fr) { Corrado Maurini (corrado.maurini@upmc.fr) 1

Université Pierre et Marie Curie-Paris 6

Sujet de TER : Espaces de Banach mesurés et ordonnés - Encadrement : Claire David 1

Etant donné un espace mesuré(X;), on désigne parM+le cône des fonctionsmesurables surX, à

valeurs dans IR +. Une application, définie surM+, à valeurs dans IR +, est unenorme (de Banach) ordonnéesurM+, si elle vérifie : P i. L"axiome de séparation, l"inégalité triangulaire, l"homogénéité. P ii.

La propriété de croissance :

8(f;g)2 M+ M+:f6gp.p.)(f)6(g)

P iii. La propriété (dite faible) de Fatou, i.e., pour toute suite de fonctions(fn)n2INdeM+:

06fn"fp.p.)(fn)"(f)

P iv.

Pour tout sous-ensembleEXde mesure finie :

(?E)<+1 P v. Pour tout sous-ensembleEXde mesure finie, il existe une constante strictement positiveCE telle que, pour toutfdeM+:∫ E f d6CE(f) L"ensembleX()de toutes les fonctions deM+pour lesquelles : (f)<+1 est appeléespace de Banach mesuré et ordonné.

Les espaces de Banach mesurés et ordonnés, liés au réarrangement monotone, jouent un rôle fon-

damental dans la théorie de l"interpolation réelle.

Le but du TER consistera :

1.

dans un premier temps, à étudier les principales propriétés du réarrangement monotone;

2. dans un second temps, à présenter des exemples d"espaces de Banach mesurés et ordonnés : espaces de Lorentz, espaces d"Orlicz; 3.

dans un troisième temps, à mettre en évidence l"importance de la propriété de Fatou dans les

espaces de Banach mesurés et ordonnés.

1. Claire.David@upmc.fr

1

Références

[1] Colin Bennett, Robert Sharpley, Interpolation Operators, Academic Press Inc., Toronto, 1988. [2]

Frigyes Riesz, Sur les opérations fonctionnelles linéaires, Comptes rendus, Acad. Sc., Paris, 149

(1909), pages 974-977. [3] Wilhelmus Anthonius Josephus Luxemburg, Banach function spaces, Thesis, Technische Hoges- chool te Delft, 1955. 2 1

Equivalence de Morita et descente galoisienne

Mathieu Florence

Janvier 2013

1.Description du sujet de TER

Soitkun corps commutatif. L'equivalence de Morita, sous sa forme la plus elementaire, peut se formuler comme suit. SoitVunk-espace vectoriel de di- mension nie. Alors le foncteur

F:X7!V

kX; de la categorie desk-espaces vectoriels vers celle des End(V)-modules a gauche, est une equivalence de categories. Un quasi-inverse naturel deFest le foncteur

G:M7!V

End(V)M:

Soit maintenantl=kune extension nie galoisienne, de groupeG. Le foncteur F

0:X7!X

kl; de la categorie desk-espaces vectoriels vers celle desl-espaces vectoriels munis d'une action semi-lineaire deG, est lui aussi une equivalence de categories (lemme de Speiser), de quasi-inverse le foncteur 'points xes deG'. L'objectif de ce TER est de comprendre la demonstration du cas particulier ci- dessus de l'equivalence de Morita et d'en deduire le lemme de Speiser. Cette approche est, a la connaissance de l'auteur de ces lignes, assez peu classique. Si le temps le permet, on etudiera quelques applications.

2.References

Serge Lang, Algebra, Third edition.

Mathieu Florence, Equipe de Topologie et G

eometrie Algebriques, Institut de Math ematiques de Jussieu, 4, place Jussieu, 75005 Paris., Bureau 502 barre 16-26

E-mail address:mathieu.florence@gmail.com

Formule de Weyl

Frederic Klopp

Coordonnees de l'encadrant: Frederic Klopp

bureau 16-26-412, frederic.klopp@imj-prg.fr Le but de ce sujet de TER est de donner une introduction a la geometrie spectrale par le biais de la formule de Weyl. Dans un article reste celebre ([ 2 ]), Mark Kac se pose la question: est-il possible d'entendre la forme d'un tambour? Une reponse partielle (on peut en entendre certaines caracteristiques) etait deja connue depuis un demi-siecle ([ 4 La formule de Weyl donne l'asymptotique de la fonctions de comptage des valeurs pro- pres du Laplacien de Dirichlet sur un domaine ouvert deRd; elle stipule que celle-ci est asymptotiquement proportionnelle au quotient du volume du domaine considere par le volume de la boule de m^eme dimension (a une constante universelle pres). Le but du TER est de demontrer cette formule et, ce faisant, d'acquerir des techniques d'analyse des equations aux derivees partielles, de theorie spectrale, etc.

References

[1] Jo zefD odziuk.Ei genvalueso ft heL aplaciana ndt heh eateq uation.Amer. Math.

Monthly, 88(9):686{695, 1981.

[2] Ma rkKa c.C anO neHear t heS hapeo fa D rum?The American Mathematical Monthly,

73(4):1{23, 1966.

[3] Mi chaelRe eda ndBa rryS imon.Methods of modern mathematical physics. IV. Analy- sis of operators. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], New York, 1978.
[4] Her mannW eyl.D asas ymptotischeV erteilungsgesetzd erEi genwertel inearerp artie- ller Dierentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrah- lung).Math. Ann., 71(4):441{479, 1912. ALGÈBRES DE CLIFFORD, OPÉRATEUR DE DIRAC ET SPINEURS

SUJET DE TER PROPOSÉ PAR THIERRY LÉVY

Les algèbres de Clifford ont été introduites par William Clifford en 1876 comme une généra-

lisation de l"algèbre des quaternions découverte le 16 octobre 1843 par William Hamilton dans des circonstances qui sont devenues la matière d"une anecdote célèbre.

Dirac cherche, et trouve, un opérateur différentiel d"ordre 1 dont le carré est égal à l"opérateur de

Laplace, et constate qu"un tel opérateur doit agir sur des fonctions à valeurs vectorielles plutôt

que scalaires. Les espaces vectoriels dans lesquels ces fonctions prennent leurs valeurs s"appellent

des espaces de spineurs. Les coefficients de l"opérateur de Dirac appartiennent à une algèbre qui

agit linéairement sur ces espaces de spineurs, et qui est une algèbre de Clifford.

En 1913, en étudiant les représentations des algèbres de Lie semi-simples complexes, Élie Car-

tan découvre une représentation de l"algèbre de Liesopnqdes matrices antisymétriques de taille

nqui ne provient pas d"une représentation du groupe orthogonalSOpnq. Cette représentation

s"appelle la représentation spinorielle du groupe orthogonal et provient d"une représentation du

groupeSpinpnq, qui est un revêtement à deux feuillets du groupe orthogonal et qui peut être construit comme un sous-ensemble d"une algèbre de Clifford. Un des aspects qui distinguent la théorie quantique des champs de la mécanique quantique

classique est le fait que le nombre de particules présents dans un système peut varier au cours

du temps, ce dont rend compte l"existence d"opérateurs de création et d"annihilation. Dans un

système formé d"une seule espèce de fermions indistinguables, les opérateurs de création et d"an-

nihilation satisfont des relations dites d"anticommutation canonique qui expriment le fait qu"ils engendrent une algèbre de Clifford. Le but de ce travail est d"étudier les algèbres de Clifford et de comprendre certains de leurs

usages en mathématiques en en physique. Comprendre le détail de tout ce qui vient d"être évoqué

est peut-être trop ambitieux pour un travail d"un semestre. Voici une liste de quelques points un peu plus précis qui peuvent servir de points de départ pour une exploration du sujet. Ils

correspondent à peu près aux quatre thèmes évoqués en introduction : définition des algèbres de

Clifford, leur apparition en théorie quantique des champs, l"opérateur de Dirac, le groupe Spin.

La définition de l"algè brede Clifford d "unespace v ectorielréel ou complexe m unid"u ne forme quadratique. L"algèb reextérieure d"un es pacev ectorield edimension finie.

Isomorp hismelinéaire en trel"a lgèbrede Clifford et l"algèbre e xtérieured"un esp acev ectoriel

quadratique. L"algèb redes endomor phismeslinéaires de l"algèbre extérieure d"un espace v ectorielde dimension finie est engendrée par les opérateurs de création et d"annihilation, et elle est isomorphe à une algèbre de Clifford. Une algèbre de Clifford complex en"a ,selon sa dimensio n,qu" uneo udeux class esd"é qui-

valence de représentations irréductibles, qu"on appelle espaces de spineurs. Ce point estDate: UPMC, Janvier 2017.

1

2 SUJET DE TER PROPOSÉ PAR THIERRY LÉVY

un peu technique, mais d"une grande importance, et je pense qu"il gagne a être étudié en rapport avec le point précédent.

Les co efficientsd"un op érateurdifféren tield edegré 1 don tle c arréest le laplacien doit

avoir des coefficients dans une algèbre de Clifford, et agir sur des fonctions à valeurs dans des espaces de spineurs. L"op érateurde Dirac sur l"espace plat de Loren tz: l"espace de fonctions su rlequel il agit, et la manière dont il agit. L"alg èbreHdes quaternions est une algèbre de Clifford. Le grou pedes quaternions de n orme1agit par conjugaison sur l"espace de dimension3des quaternions imaginaires purs et ceci définit un homomorphisme de groupes vers le groupe SOp3q. Cet homomorphisme est un revêtement non trivial à deux feuillets. La construction du group eSpinpnqcomme sous-ensemble d"une algèbre de Clifford, qui généralise la construction précédente du groupeSpinp3q. Voici une courte bibliographie. Dans chaque texte, seule une petite partie est en rapport direct avec le sujet de ce travail.

Références

[1] John C. Baez. The o ctonions.2001, arXiv:math/0105155. [2]

Gerald B. F olland.Quantum field theory : A tourist guide for mathematicians.Providence, RI : American

Mathematical Society (AMS), 2008.

[3]

D. J. H. Garling. Clifford algebras : an introduction, volume 78 ofLondon Mathematical Society Student Texts.

Cambridge University Press, Cambridge, 2011.

[4] Ro eGo odmanand No llanR. W allach.Symmetry, Representations, and Invariants. Graduate Texts in Ma- thematics 255. Springer, New York, 2010. [5]

P erttiLounesto. Clifford algebras and spinors, volume 286 ofLondon Mathematical Society Lecture Note Series.

Cambridge University Press, Cambridge, second edition, 2001. [6] Ec khardMeinrenk en.Clifford algebras and Lie theory.Springer, Berlin, 2013.

Analyse statistique de sequences biologiques

Sujet de TER - 2016-2017

Contact : Catherine Matias (catherine.matias@upmc.fr)Ce TER propose de decouvrir un vaste panel d'outils probabilistes et statistiques

utilises couramment en analyse de sequences par la bio-informatique. Les themes abordes sont les suivants : | Analyse de sequences : modeles de Markov a temps discret (d'ordre 1, d'ordre m, d'ordre variable). Application a la detection de motifs. Modeles de cha^nes de Markov cachees. Applications a la segmentation de sequences. |Evolution des sequences et alignement : modeles de Markov a temps continu; modeles classiques d'evolution (Jukes Cantor, Kimura, GTR...). Alignement de sequences : les methodes a score et les methodes statistiques. Problematiques de l'alignement multiple. | Introduction a la phylogenie : arbres phylogenetiques et methodes de recons- truction phylogenetiques (parsimonie, distance, modeles probabilistes). Les etudiants devront implementer les algorithmes associes a ces methodes. 1

SUJET DU TER : REPR

ESENTATIONS IRREDUCTIBLES

MODULO`DEGL(2;Fq)

par

Alberto MnguezL'objectif de ce TER est de comprendre l'article de Vigneras [2] qui porte sur la clas-

sication des representations irreductibles de GL(2;Fq) sur un corps de caracteristique` ne divisant pasq. En particulier, dans le memoire il faudra reecrire l'article avec tous les prerequis qui ne sont pas expliques et les details qui manquent dans les preuves. Eventuellment, l'etudiant pourra completer son memoire avec le paragraphe 2.2 du cours de Breuil [1] qui etudie le cas ou`diviseq.

References

[1]C. Breuil{ \Representations of Galois and of GL2in characteristicp", cours a l'universite de Columbia, automne 2007. Available at http://www.math.u-quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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