PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
La projection orthogonale de A sur P est le point H appartenant à P tel que la droite. (AH) soit orthogonale au plan P. Propriété : Le projeté orthogonal d'un
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
La projection orthogonale de A sur P est le point H appartenant à P tel que la droite. (AH) soit orthogonale au plan P. Propriété : Le projeté orthogonal
Formule donnant la distance entre un point et un plan dans lespace
A priori cette distance semble minimale lorsque le point M est le projeté orthogonal H du point A sur le plan P. Voyons pourquoi il en est ainsi !
Géométrie dans lespace Distance dun point à un plan. Distance d
avec H point d'intersection de la droite perpendiculaire au plan ? passant par le point A. H est appelé projeté orthogonal de A sur le plan ?.
Amérique du Nord – Juin 2010 – Série S – Exercice Lespace est
par le point O et orthogonale au plan (. ) ABC . b. Déterminer les coordonnées du point O' projeté orthogonal du point O sur le plan (. ).
Fiche 028 - distance dun point à un plan
On appelle distance d'un point A à un plan la distance minimale entre A et un point du plan. C'est la distance entre A et le projeté orthogonal de A sur
Chapitre 12 : Géométrie du plan et de lespace.
On appelle ce point le projeté orthogonal de M sur F. Théorème 22. Soit M P A et F une droite ou un plan. On définit la distance de M à F notée dpM
Produit scalaire et plans dans lespace
11 juil. 2021 AC et H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB). • Par la norme : ... plan (P) passant par un point A et de vecteurs.
Synthèse de cours PanaMaths (Terminale S) ? Produit scalaire
Soit D l'unique droite de l'espace perpendiculaire à P et passant par M. Son intersection avec le plan P est un point H appelé « projeté orthogonal de M sur
Espace (III) : Partie 4 Positions relatives droites et plan projeté
Soit (d) une droite passant par un point A et de vecteur directeur ?u et P un plan de vecteur normal ?n . (1) Si ?u et ?n ne sont pas orthogonaux
[PDF] PROJECTION ORTHOGONALE DUN POINT A SUR UN PLAN (P)
1- PROJECTION ORTHOGONALE D'UN POINT ''A'' SUR UN PLAN (P) : Soit un point ''A'' de l'espace et un plan (P) On trouve dans les projections suivantes :
[PDF] LEÇON N? 28 : Projection orthogonale sur une droite du plan
Projection orthogonale sur une droite du plan projection vectorielle associée Applications (calculs de distances et d'angles optimisation )
3 Projection orthogonale - Lelivrescolairefr
Projection orthogonale d'un point sur un plan ou sur une droite Le projeté orthogonal de M sur P est l'intersection du plan et de la droite de vecteur
[PDF] projection orthogonale dans le plan - SENREVISION
Construis les points A' B' C' et E' projetés orthogonaux respectifs de A B C et E sur (D) Exercice 4 Pour chacune des figures ci-dessous une droite et
[PDF] 2 Géométrie plane projeté orthogonal - Maths Langella
Définir et savoir utiliser le projeté orthogonal la distance d'un point à une droite ; traiter des problèmes d'optimisation Aperçu historique :
[PDF] VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE - maths et tiques
La projection orthogonale de A sur P est le point H appartenant à P tel que la droite (AH) soit orthogonale au plan P Propriété : Le projeté orthogonal d'un
[PDF] PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE - maths et tiques
La projection orthogonale de A sur P est le point H appartenant à P tel que la droite (AH) soit orthogonale au plan P Propriété : Le projeté orthogonal d'un
[PDF] Propriétés de calcul du produit scalaire - Projeté orthogonal
III) Projection orthogonale et produit scalaire: 1) Définition: (d) est une droite et M un point du plan Le projeté orthogonal
[PDF] Exposé 33 : Projection orthogonale sur une droite dun plan
M' est le point d'intersection de ?avec la perpendiculaire à ?passant par M (car celle-ci n'est pas parallele à ? donc elles sont sécantes Vocabulaire : M'
[PDF] Partie 4 Positions relatives droites et plan projeté orthogonal I
Soit (d) une droite passant par un point A et de vecteur directeur ?u et P un plan de vecteur normal ?n (1) Si ?u et ?n ne sont pas orthogonaux
Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?
Si on projette un point (appelons le A) sur une droite ou un plan, imaginons que cette droite ou ce plan est le sol et qu'on fait "tomber" le point A dessus. Alors bien évidemment il va tomber verticalement. L'endroit sur lequel il va atterrir est exactement là que se trouve son projeté orthogonal H.- u ?v = (u ?p(u))+(p(u)?v). u ?w ) . u ?p(u) et p(u) sont orthogonaux, donc d'après le théorème de Pythagore, u ?p(u)2 +p(u)2 = u 2 d'où d(u,F) = u ?p(u)2 = u 2 ?p(u)2.
ORTHOGONALITÉ DANS L'ESPACE
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/pMQBaCqLPsQ Partie 1 : Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace1) Définition et propriétés
Définition : Soit ⃗ et ⃗ deux vecteurs de l'espace. , et trois points tels que ⃗=
et . Il existe un plan contenant les points , et .On appelle produit scalaire de l'espace de ⃗ et ⃗ le produit ⃗.⃗=
dans le plan . On retrouve alors dans l'espace toutes les propriétés du produit scalaire dans le plan : Propriétés permettant de calculer un produit scalaire : 0 1. =2 2 est le projeté orthogonal du point sur la droite (). On a :Propriétés algébriques :
Symétrie : ⃗.⃗=⃗.⃗ Bilinéarité : ⃗. =⃗.⃗+⃗.⃗ et ⃗. =⃗.⃗, avec ∈ℝ Identités remarquables : +2⃗.⃗+ Formule de polarisation : 2Propriété d'orthogonalité :
⃗.⃗=0⟺⃗ et ⃗ sont orthogonaux Méthode : Calculer le produit scalaire dans l'espaceVidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk
est un cube d'arête .Calculer les produits scalaires :
a) b) c)Correction
a) , étant le projeté orthogonal de sur (). b) =0 car et sont orthogonaux. c) Méthode : Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalitéVidéo https://youtu.be/8Obh6cIZeEw
Soit un tétraèdre régulier d'arêtes de longueur . Démontrer que les arêtes [] et [] sont orthogonales.Correction
On va prouver que
=0. 1Dans le triangle équilatéral ABD, on a :
1 =××cosK 3 N= 2 On démontre de même dans le triangle équilatéral que : 2 2Ainsi :
=0Les vecteurs
et sont donc orthogonaux, et donc Les arêtes [] et [] sont orthogonales. 32) Produit scalaire dans un repère orthonormé
Définitions :
Une base ⃗,⃗,1 de l'espace est orthonormée si :
- les vecteurs ⃗,⃗ et sont deux à deux orthogonaux, - les vecteurs ⃗,⃗ et sont unitaires, soit : =1, =1 et 2 2=1. Un repère ;⃗,⃗,1 de l'espace est orthonormé, si sa base ⃗,⃗,
1 est orthonormée.
Propriétés : Dans un repère orthonormé de l'espace ;⃗,⃗,
1 : Soit ⃗ et ⃗Y [ deux vecteurs de l'espace. +′ et Soit Y [ et Y [ deux points de l'espace.Démonstration :
1 En effet, on a par exemple dans le plan définit par le couple =1, ⃗.⃗= =1 et ⃗.⃗=⃗.⃗=0 On a, en particulier : Et : 2 2 Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des coordonnéesVidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E
On considère le repère de l'espace ; 1.I est le milieu du segment [].
Les vecteurs
et sont-ils orthogonaux ?Correction
On a :
Y 1 1 1 [ et Y 1-0 0-1 0,5-0 [ soit Y 1 -1 0,5Alors :
=1×1+1× -1 +1×0,5=0,5.Les vecteurs
et ne sont pas orthogonaux. 4Partie 2 : Orthogonalité
1) Orthogonalité de deux droites
Définition : Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires.Exemple :
est un cube. - Les droites () et () sont perpendiculaires. - Les droites () et () sont orthogonales.Remarques :
- Deux droites perpendiculaires sont coplanaires et sécantes. - Deux droites perpendiculaires sont orthogonales. La réciproque n'est pas vraie car deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement coplanaires et sécantes.2) Orthogonalité d'une droite et d'un plan
Propriété : Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à
deux droites sécantes de . 5Propriété : Si une droite est orthogonale à un plan alors elle est orthogonale à toutes les
droites de .Démonstration :
Soit une droite de vecteur directeur ⃗ orthogonale à deux droites sécantes
et de . Soit ⃗ et ⃗ des vecteurs directeurs respectifs de etAlors ⃗ et ⃗ sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur ⃗.
Soit une droite quelconque Δ de de vecteur directeur⃗. Démontrons que Δ est orthogonale à .⃗ peut se décomposer en fonction de ⃗ et ⃗ qui constituent une base de (car non
colinéaires).Il existe donc deux réels et tels que ⃗=⃗+⃗.
Donc ⃗.⃗=⃗.⃗+⃗.⃗=0, car ⃗ est orthogonal avec ⃗ et ⃗.
Donc ⃗ est orthogonal au vecteur ⃗.Et donc est orthogonale à Δ.
Exemple :
est un cube. () est perpendiculaire aux droites () et (). () et () sont sécantes et définissent le plan (). Donc () est orthogonal au plan (). Méthode : Démontrer que des droites sont orthogonalesVidéo https://youtu.be/qKWghhaQJUs
est un triangle équilatéral. est le point d'intersection de ses hauteurs. La droite passant par est orthogonale au plan (). La pyramide est telle que soit un point de la droite . Démontrer que les droites () et () sont orthogonales.Correction
La droite est orthogonale au plan (). La droite est donc orthogonale à toutes les droites du plan ().Comme la droite () appartient au plan (), la droite est orthogonale à la droite ().
Par ailleurs, la droite () est perpendiculaire à la droite (). 6Ainsi, () est orthogonale à deux droites sécantes du plan () : () et .
Donc () est orthogonale au plan ().Et donc la droite () est orthogonale à toutes les droites du plan ().
La droite () appartient au plan () donc la droite () est orthogonale à la droite ().
Partie 3 : Vecteur normal à un plan
1) Définition et propriétés
Définition : Un vecteur non nul ⃗ de l'espace est normal à un plan si ⃗ est un vecteur
directeur d'une droite orthogonale au plan .Propriété : Un vecteur non nul ⃗ de l'espace est normal à un plan , s'il est orthogonal à
deux vecteurs non colinéaires de la direction de . Propriété : Soit un point et un vecteur ⃗ non nul de l'espace. L'ensemble des points tels que .⃗=0 est le plan passant par et de vecteur normal 7 Au XIXe siècle, le vecteur normal , appelé produit vectoriel, est noté ⋀. Le produit vectoriel a été inventé par un mathématicien allemand, HermannGünther Grassmann (1809 ; 1877).
Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un planVidéo https://youtu.be/aAnz_cP72Q4
est un cube.Démontrer que le vecteur
est normal au plan ().Correction
On considère le repère orthonormé ; 1.Dans ce repère : Y
1 0 0 [,Y 0 0 0 [,Y 0 1 0 [,Y 0 0 1 [,Y 0 1 1On a ainsi :
Y 0 -1 1 Y 0 1 1 [ et Y -1 0 0 [, donc : =0×0-1×1+1×1=0 =0× -1 -1×0+1×0=0Donc
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (), il est donc normal à
Méthode : Déterminer un vecteur normal à un planVidéo https://youtu.be/IDBEI6thBPU
Dans un repère orthonormé, on donne : Y 1 2 -2 [, Y -1 3 1 [ et Y 2 0 -2 Déterminer un vecteur normal au plan ().Correction
On a :
Y -2 1 3 [ et Y 1 -2 0Soit un vecteur ⃗
orthogonal au plan (). Il est tel que : =0 =0 soit g -2++3=0 -2=0 ⟺g -2×2++3=0 =2 n u v 8 ⟺g -3+3=0 =2 ⟺g =2 Prenons par exemple, =1 (arbitrairement choisi) alors =1 et =2.Le vecteur ⃗Y
2 1 1 [ est donc normal au plan ().Remarque :
La solution n'est pas unique. Tout vecteur colinéaire à ⃗ est solution.2) Projections orthogonales
Définitions :
Soit un point et une droite de l'espace.Le projeté orthogonal du point sur la droite est le point appartenant à tel que la
droite () soit perpendiculaire à la droite . Soit un point et un plan de l'espace.Le projeté orthogonal du point sur le plan est le point appartenant à tel que la
droite () soit orthogonale au plan .Propriété : Le projeté orthogonal d'un point sur un plan est le point de le plus proche
de .Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/c7mxA0TbVFU
Soit le projeté orthogonal du point sur le plan P. Supposons qu'il existe un point du plan P plus proche de que l'est le point . proche de .Donc
9Or, () est orthogonale à P, donc () est orthogonale à toute droite de P.
En particulier, () est perpendiculaire à (). Le triangle est donc rectangle en . D'après l'égalité de Pythagore, on a :Donc
Donc
On en déduit que est le point du plan le plus proche du point .Méthode : Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d'un point à un plan
Vidéo https://youtu.be/1b9FtX4sCmQ
Soit un cube . On considère le repère orthonormé ;
1.a) Calculer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur le plan ().
b) En déduire la distance du point au plan ().Correction
a) On cherche à déterminer les coordonnées du point . Dans le repère orthonormé ;1, on a :
Y 1 0 0 [,Y 0 1 0 [,Y 0 0 1 [,Y 1 1 1On a alors :
Y -1 1 0 Y 1 0 -1 Y -1 Y -1 -1 -1 Or, () est orthogonale au plan donc le vecteur est orthogonal aux vecteurs et . Soit : =0 -1× -1 +1× -1 +0× -1 =0 -+1+-1=0 =0 1× -1 +0× -1 -1 -1 =0 -1-+1=0On a ainsi : ==
De plus,
est orthogonal au vecteur , soit : 10 =0 -1 -1 -1 =0 -1 -1 -1 =0 car == -1 -1++ =0 -13-1
=0 Donc 3-1=0 car -1≠0 sinon et sont confondus, ce qui est impossible.Soit : =
On en déduit les coordonnées de : K
1 3 1 3 1 3 N. b) Et ainsi : n o1- 1 3 p +o1- 1 3 p +o1- 1 3 p n3×o
2 3 p 2 33≈1,155
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quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] projeté orthogonal d'un vecteur sur une droite
[PDF] coordonnées projeté orthogonal d'un point sur une droite
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