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D. BERNAUD

I. BENAMAR

G. ROUSSET

G. 3S/LMS École Polytechnique 91128 Palaiseau CedexLa " nouvelle méthode implicite » pour le calcul des tunnels dans les milieux élastoplastiques et viscoplastiquesRésumé

Le problème du creusement d'un tunnel est un problème de nature tridimensionnelle qui traduit un fort couplage entre deux structures très différentes : le massif avec l'excavation d'une part et le revêtement du tunnel d'autre part.En vue d'une application souple, il est intèressant de mettre au point des

méthodes simplifiées de dimensionnement des tunnels, qui permettent de réaliser les calculs en condition de déformation plane et de découpler ainsi le problème posé. Dans le cas simple où le problème admet la symétrie cylindrique, on montre que le paramètre clé qui conditionne l'interaction massif-soutènement est la convergence U0 à la pose du soutènement (ou le taux de déconfinement à la pose L'objectif de cet article est d'étudier ce problème à l'aide de la méthode simplifiée appelée σ Nouvelle Méthode Implicite ». fondée sur les mêmes principes généraux que ceux de la méthode classique convergence- confinement. mais conduisant à une estimation plus précise du caractère couplé du problème d'interaction massif-soutènement. En particulier, cette méthode permet de tenir compte de la rigidité du soutènement (présence du soutènement déjà posé) dans le calcul de la convergence à la pose U0. Dans la première partie de l'article, on expose les derniers développements de la méthode concernant les massifs à comportements élastique et

élastoplasique.

Dans la deuxième partie, on réalise l'extension de cette nouvelle méthode à un matériau viscoplastique de Tresca, en suivant la même démarche établie pour les matériaux élastiques et élastoplastiques. Grâce à une analyse adimensionnelle on met en évidence un paramètre fondamental du problème

de creusement du tunnel dans un milieu viscoplasique : la vitesse réduite, qui dépend en particulier de la vitesse d'avancement de l'ouvrage et de la viscosité du massif. On montre, dans ce cas. que la convergence à l'instant de pose U0 dépend aussi de cette vitesse réduite.La validation de la " Nouvelle Méthode Implicite » est réalisée via des comparaisons avec des résultats de calculs numériques axisymétriques sur

une très large gamme de valeurs des paramètres indépendants du problème et pour les diverses lois de comportement étudiées. Cette méthode, souple d'emploi, fournit des solutions approchées d'une très bonne précision pour une étude géotechnique.

The " new implicit method »

for tunnel calculation: elastoplastic and viscoplastic rockmassesAbstract

The tunnel excavation is a coupled three-dimensional problem concerning two differents structures : the rockmass and the lining.For a simple application it is Interesting to develop simplified methods in order to treat

the problem under plane strain assumption. When the problem of tunnel face advance presents an axisymmetric geometry, we show that the major parameter governing the ground-interface-lining interaction is the convergence of the tunnel Ui at the moment of the lining installation. The simplified method studied here is the " New Implicit Method » that uses principles similar to those of the " Convergence-Confinement Method ». but it gives a better appreciation of the coupled behavior between the rockmass and the lining. For instance, in this new method the convergence U0 depends also on the stiffness of the lining previously set. In the first part of the paper, we present the recent improvements of the " New Implicit Method » for elastic and elastoplastic rockmasses. The second part is devoted to the development of the new method to viscoplastic materials. A non dimensional analysis enables us to define a fundamental parameter of

tunnel excavation in viscoplastic medium : the non dimensional tunnel advance rate concerning the rate of excavation and the rockmass viscosity. For viscoplastic rockmass the closure U0 depends on this non dimensional tunnel advance rate

The validity of the " New Implicit Method » has been checked for the whole

Independents parameters of the problem

This method is of very simple utilisation and its results are in good agreement with the FEM numerical results. Its accuracy is quite enough for a geotechnical study3

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

N° 68 3e trimestre 1994

1

Introduction

Le problème du calcul du tunnel soutenu présente deux particularités essentielles. D'abord, c'est un problème tridimensionnel puisque la proximité du front de taille rend le problème non symétrique. Par ailleurs, c'est un problème d'interaction pour lequel le couplage entre le massif et le soutènement est important.

Dans un article récent (Bernaud et Rousset, 1992), nous avons bien montré que l'équilibre final du tunnel revêtu que souhaite étudier le concepteur, dépend de l'ensemble des paramètres du problème et que les méthodes de dimensionnement simplifiées doivent rendre compte de ce couplage avec soin.

Ainsi, l'approximation classiquement admise par la méthode convergence-confinement, selon laquelle le taux de déconfinement λ0 ou la convergence U0 au moment de la pose du soutènement, ne dépendent pas de la raideur du soutènement, conduit à une sous-estimation de la pression de soutènement à l'équilibre, qui peut être importante dans beaucoup de cas.

La Nouvelle Méthode Implicite (NMI) que nous avons proposée dans un article précédent, permet de considérer la dépendance de U0 (ouλ0) en fonction du comportement du soutènement déjà posé et de rendre compte de toute la complexité du couplage massif-soutènement.

Le but de cet article est de faire le point sur les derniers développements de cette méthode :

- en élasticité et plasticité, on propose, dans un souci de simplification, une nouvelle forme de la fonction de soutènement et une extension de la méthode à de nouveaux critères de plasticité ;

- dans la deuxième partie de l'article, on propose l'extension de la nouvelle méthode à un matériau visco- plastique de Tresca en suivant la même démarche établie pour les matériaux élastiques et élastoplastiques.

j

Définition du problème de base

On considère un tunnel profond de section circulaire (rayon Ri) creusé dans un massif dont le comportement est homogène et isotrope (Fig. 1), soumis initialement au champ de contrainte géostatique :

OÉ

La profondeur du tunnel est grande devant son rayon, de sorte que l'on peut négliger le gradient de la pesanteur dans la zone du massif proche du tunnel et assimiler pgz à ρgH (H est la profondeur moyenne du tunnel) dans cette zone.

Le soutènement du tunnel, assimilé à un anneau d'épaisseur e constante, a lui aussi un comportement homogène et isotrope ; il est posé à une distance d0 constante du front de taille. Le front de taille et l'extrémité du soutènement sont plans et verticaux.

Avec ces hypothèses d'étude, le problème admet la symétrie cylindrique.

Une autre symétrie, très utile à la simplification de l'étude, est souvent constatée : le problème est à déformation plane si les deux conditions suivantes sont vérifiées :REVU 1 Modélisation axisymétrique du tunnel.Axisymmetric modelling of the tunnel.

- le front de taille est loin de la section d'étude ;

-la vitesse d'avancement V du front et du soutènement est constante (cette dernière condition est nécessaire seulement lorsque les lois de comportement dépendent du temps, comme la viscoplasticité par exemple).

Dans ce cas, l'interaction entre massif et soutènement se traduit par un seul paramètre scalaire : la pression Pi (poussée du terrain sur le revêtement ou pression de confinement). Le paramètre dual est la convergence de la paroi Ui, c'est-à-dire le déplacement radial normalisé de la paroi du tunnel, grandeur elle aussi scalaire (Ui = - u(Ri)/Ri).

REVU s Problème en déformation plane.Plane strain problem.

On peut maintenant définir deux courbes fonda

mentales (Fig. 3) indépendantes dans le diagramme (Pi, Ui) qui sont un "condensé» de l'information que l'on possède :

- la jZ Z mZZmZ CV : elle ne fait intervenir que la loi de comportement du massif ; c'est la courbe qui donne la convergence Ui du tunnel en fonction de la pression Pi appliquée à la paroi, lorsque l'équilibre est atteint ;

- la jZ Z m)mZ*Zm CF : elle ne fait intervenir que la loi de comportement du soutènement ; c'est la courbe qui donne la convergence s* de l'extrados de l'anneau en fonction de la pression Pi appliquée au soutènement.

Au cours des phases préliminaires de creusement et de pose du soutènement, le problème est tridimensionnel (axisymétrique avec nos hypothèses) : la poussée Pi du massif sur le revêtement et la convergence de la paroi Ui dépendent de la distance x de la section d'étude au front. Sur la figure 3, Ue représente la convergence très loin du front de taille pour le tunnel non soutenu.

Ce problème d'interaction de nature tridimensionnelle peut être traité par voie numérique (Bernaud, 1991; Corbetta, 1990; Hanafy et Emery, 1982; Pan et Hudson, 1989; Ranken et Ghaboussi, 1975). La méthode numérique utilisée dans cette étude est la " méthode d'activation/désactivation » développée dans le code aux éléments finis "GEOMEC91 » (Bernaud, 1991).4

FANÇA RFISDIEGA ÉA VOTCAHQSE°ÇAN° 683e trimestre 1994

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Nouvelle méthode simplifiée

de calcul des tunnels en élasticité et plasticité :" la nouvelle méthode implicite »

La " Nouvelle Méthode Implicite » pour l'étude du dimensionnement des tunnels a été proposée initialement dans l'article de Bernaud et Rousset (1992). Une application de cette méthode à un cas particulier d'un tunnel creusé dans une argile profonde du bassin parisien est donnée dans Bernaud et Rousset (1994).

Il s'agit d'une méthode fondée sur les principes de base de la méthode convergence-confinement, qui permet de tenir compte de façon correcte du caractère couplé du problème d'interaction massif-soutènement, par l'intermédiaire de la convergence U0 de la paroi au moment où est posé le soutènement. En particulier, "La Nouvelle Méthode Implicite» tient compte de la dépendance de U0 par rapport à la raideur du soutènement.

Par la suite, on rappelle les principes de base de cette nouvelle méthode et on expose les derniers développements réalisés.

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Principes de base de la nouvelle méthode

Fondamentalement, la nouvelle méthode implicite consiste à déduire la courbe Ui(x) donnant la convergence du tunnel soutenu en fonction de la distance x au front, de la courbe de convergence du tunnel non soutenu Uf(x) par une transformation géométrique simple.

Pour ce qui concerne le tunnel non soutenu, plusieurs auteurs (Panet et Guénot, 1982 ; Corbetta, 1991; Bernaud et Rousset, 1992) ont proposé une forme approchée de la courbe de convergence Uf(x) (en élasticité et plasticité) qui donne, en général, une bonne concordance avec les calculs numériques axisymé- triques.

Par la suite, on introduit la fonction de forme a°(x) (fonction croissante entre 0 et 1) du tunnel non soutenu définie par :

(4)

où Uf = Uf(0) est la convergence au front et UR = Uf(R) la convergence du tunnel non soutenu loin du front de taille.

Il est remarquable de constater que, dans tous les cas traités ici, l'expression analytique suivante donne une très bonne approximation du profil de convergence du tunnel non soutenu :

(5) et pour la convergence au front :Oo (Rp est le rayon plastique du tunnel non soutenu à l'équilibre ; en élasticité Rp = Rj).

Néanmoins, les principes de base de la NMI ainsi que son application ne dépendent pas de ce choix. Le lecteur intéressé par cette méthode pourra proposer une expression a°(x) à sa convenance.

Pour le tunnel soutenu, les calculs numériques 3D axisymétriques montrent que la forme de la courbe de convergence en fonction de la distance au front Ui(x) dépend de la raideur du soutènement. En effet, ces calculs montrent que bien que Ui soit toujours une fonction croissante de x entre Uf pour x = 0 et Ueq pour x = R, la variation de Ui en fonction de x entre le front et le soutènement est beaucoup plus forte lorsque la raideur du soutènement K5 augmente.

La méthode classique convergence-confinement ne tient pas compte de cette dépendance.

Pour tenir compte de ce phénomène, une voie à explorer, suggérée par les formes des différentes

courbes a consiste à substituer à la fonction x → a°(x) (du tunnel non soutenu) la fonc

tion as(x) construite à partir de celle-ci par simple affinité d'axe vertical, le rapport d'affinité a ne dépendant que de la raideur réduite du soutènement K' pour une loi de comportement donnée :

as(x) = a°(αx) avec α = α(K's) (7)

Enfin, la solution cherchée (Peq, Ueq) est l'intersection des deux courbes de convergence CV et de confinement CF:

O. Dans le système (8), la valeur de U0 dépend implicitement de la solution Ueq par :

U0 = as(d0) (Ueq - Ur) + Ur (9)

hFj

Développement de la nouvelle méthode

La nouvelle méthode nécessite l'évaluation de la fonction de soutènement a et de la convergence au front Uf pour chaque loi de comportement du massif choisie. Pour déterminer ces deux fonctions, nous avons donc réalisé une série de calculs numériques, à l'aide de la méthode d'activation/désactivation, dans des milieux élastiques et élastoplastiques incompressibles. Le calage a été réalisé sur les paramètres indépendants suivants :

P'R = 0,008; d'0 = 2/3; Ns1,0;2,0;3,0;4,0;5,0

et K's = 0,072 72.

La figure 10 montre la fonction a en fonction de K'5 obtenue par les calculs numériques en élasticité et plasticité (critère de Tresca) avec :8

ZR jem  mRN° 683e trimestre 1994

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at5N =e +Au NAuK n5 eJk-u=uKe -eN jn5=Kun5N •e NnAK4π5ese5K knAL -eN stKBLutAJ •e 1nA-ns7 eK yne<ÉcLn»5 Oyne< eK cLn»5v S8))| yne< eK t-rv S883 Nt5N •u-tKt5=er

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Pu5t-ese5Kv knAL =nsk-BKeL -e •BGe-nkkese5K •e -t 5nAGe--e sBKFn•ev -t =n5GeLVe5=e tA jLn5K •e Ktu--e •nuK ωKLe =t-=A-Ber

l5 B-tNKu=uKBv n5 =n5NKtKe +Ae -t Gt-eAL •e dj 5e •Bke5• kLeN+Ae ktN •e -t LuVu•uKB •A NnAK45ese5K eK n5 •n55e R

OS28 bà () Te KLuseNKLe S882 En plasticité l'influence de la rigidité du soutène

ment sur la valeur de Uf est plus importante. Néanmoins, ce phénomène est restreint aux faibles valeurs de K's comme le montre la figure 13.

FIG. 13 U1/Ui en fonction de K's pour plusieurs Ns(Tresca, d0 = 2/3 Ri).Ui/Ui versus Ks for many Ns (Tresca, d0 = 2/3 Rf)

Par la suite on propose une valeur moyenne de Uf,

pour Tresca, Coulomb et Hoek-Brown :

0,413 - 0,0627 Ns 1< NS s 5 (15)

Pour Tresca (ϕ = o) et Coulomb

(16)

Pour Hoek - Brown, Ns

(17) Pour Hoek-Brown Modifié l'équation (15) n'est pas valable et on propose : (0,75 - 0,5 a) - 0,133 Ns (18) (19)

Où σy est obtenu par :

- σy - Pi = 0 (20)

La valeur exacte de Ui pour les diverses lois de comportement étudiées ici est donnée dans l'annexe 1.

Finalement à partir des données ci-dessus, la solution du problème du tunnel soutenu est facilement obtenue par la résolution du système (8), que l'on explicite dans l'annexe 1.4.3

Application de la Nouvelle Méthode Implicite

La nouvelle méthode a été validée sur une très large gamme des paramètres indépendants de chaque loi de comportement étudiée.

Sur la figure 14 on illustre la différence entre les résultats donnés par la méthode classique convergence- confinement et ceux donnés par la nouvelle méthode implicite, dans un cas particulier (Tresca Ns = 3; Ks' = 7,2 ;d'0 = 2/3; P'i = 0,008).

CV: Ns=3

CF: NMICF: méthode CV-CF

FIG. 14 Comparaison entre la méthode CV-CF et la NMI.Comparison between CV-CF method and NIM method.

On constate que dans le cas de la figure 14, l'erreur

commise par la méthode CV-CF sur la pression à l'équilibre est de - 30%. Par ailleurs, on peut clairement observer sur la figurel4 que cette erreur vient de la mauvaise estimation de la convergence U0 qui conditionne la position de la courbe de confinement sur le diagramme Pi-Ui

Finalement, la " Nouvelle Méthode Implicite » a été testée sur un nombre plus vaste de cas, pour diverses lois de comportement. Le tableau 1 illustre quelques résultats de validation. L'erreur entre la nouvelle méthode et le calcul numérique reste très satisfaisante pour une étude géotechnique. En valeur absolue, elle est inférieure à 10% en moyenne sur les paramètres dimensionnants du tunnel Peq et Ueq.

Un autre intérêt des méthodes simplifiées de calcul des tunnels est de déterminer la convergence à l'instant de pose du soutènement et donc, la pression P0 qu'il faut appliquer à la paroi du tunnel pour obtenir cette convergence U0' pour ensuite réaliser des calculs de tunnels en déformations planes avec des géométries et des chargements plus complexes. Le plus souvent, on remplace la pression P0 par le taux de déconfinement λ0(λ0 = 1 - P0/Pi) au moment de la pose du soutènement, comme le montre le schéma de la figure 15.

Par la suite on s'intéresse aux tunnels creusés dans les milieux viscoplastiques et on propose l'extension de la "Nouvelle Méthode Implicite» aux tunnels excavés à vitesse constante dans de tels milieux.10

REVUE FRANÇAISE DE GÉOTECHNIQUE

N° 68

3e trimestre 1994

,.-Fr.D 2 9t-u•tKun5 •e -t bg' knAL •uGeLNeN -nuN •e =nsknLKese5KrO,e+ R =t-=A-e lP | ke+ R =t-=A- bg'9t-u•uKΩ nj KFe b'g jnL st5Ω =n5NKuKAKuGeN -t»NrO,e+ R Plg =t-=A-tKun5 | ,e+ R bg' =t-=A-tKun5r

/nuN •e =nsknLKese5K .pli1é

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yolCÉcpo>b goa'P'l_= ] 3vmg,t s7 ] Svè t]èvT _=] Tvm g,t s7 ] Sè t ] èvT _= ] 3vm g,t s7 3vè t]èvm _=] 3vm g,t s7 ] Svm t ] èv2,Hf

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/nuN •e =nsknLKese5K GuN=nk-tNKu+Ae eK ktLts4KLeN u5•Bke5•t5KN

at5N -e =t•Le •e =eKKe BKA•ev -e stNNuj =FnuNu NAuK A5 =nsknLKese5K sB=t5u+Ae B-tNKnGuN=nk-tNKu+Ae tGe= A5e -nu •e =nsknLKese5K •e cu5VFtsr /eN BGn-AKun5N Nn5K =n5Nu•BLBeN uNnKFeLseNv n5 =FnuNuK =nsse -nu •&BGn-AKun5 GuN=nk-tNKu+Ae -t jnLse NAuGt5Ke O,eL;Ω5tv S8((v xue5 (21) nʃ PO_ R =LuK4Le •e k-tNKu=uKB

qO_ R knKe5Kue- k-tNKu+Ae qGk R Ke5NeAL •e GuKeNNe •e •BjnLstKun5 GuN=nπk-tNKu+AePè R =n5KLtu5Ke •e LBjBLe5=e rv 5 R =n5NKt5KeN •e GuN=nNuKB

at5N =eKKe BKA•e n5 Ne LeNKLeu5K tA =tN •&A5 eJknπNt5K 5 ] Sv tGe= A5 =LuK4Le eK knKe5Kue- •e .LeN=tr

/e Ke5NeAL •e GuKeNNe •e •BjnLstKun5 KnKt- N&B=LuK •e jtWn5 =-tNNu+Ae R ,nAL =e kLn7-4sev n5 keAK sn5KLeL OceL5tA•v S88S +A&u- Ω t =u5+ ktLts4KLeN t•use5Nun55e-N u5•Bke5•t5KN R

É •eAJ =tLt=KBLuNt5K -e stNNuj Olδ ] l01 eK bN ] ,e01 |É A5 =tLt=KBLuNt5K -e NnAK45ese5K OCN δ ] CN01 nA

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1t-=A- 5AsBLu+Ae e5 GuN=nk-tNKu=uKB

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iAL -eN juVALeN S( eK S:v n5 keAK n7NeLGeL =-tuLese5K -e =tLt=K4Le =nAk-B •A kLn7-4sev suN e5 BGu•e5=e •t5N =eN LBNA-KtKN ktL -t GuKeNNe •e =LeANese5K LB•AuKe 9δ eK ktL -t LuVu•uKB •A NnAK45ese5K C&Nr iu -e su-ueA BKtuK B-tNÉ Knk-tNKu+Aev -t =n5GeLVe5=e dè k-AN jtu7-e OeK •n5= de+ NeLtuK =e--e =nLLeNkn5•t5K I -t LuVu•uKB -t k-AN B-eGee OkAuN+Ae KnAN -eN tAKLeN ktLts4KLeN •A kLn7-4se Nn5K BVtAJv =e +Au 5&eNK ktN -e =tN u=u •t5N =eN •eAJ eJesk-eNr 1e=u u--ANKLe 7ue5 +Ae •t5N -eN su-ueAJ GuN=nπk-tNKu+AeNv -t GuKeNNe •e =LeANese5K eNK A5 ktLts4KLe jn5•tse5Kt- +Au =n5•uKun55e -&B+Au-u7Le •e -&nAGLtVer

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N e+ e+É 9δ]mèè| Cδ ]èv32| d ]3vmè y| , ]Svè8 g,tN e+ e+ vh3 . aBGe-nkkese5K •e -t 5nAGe--e sBKFn•e knAL -eN su-ueAJ GuN=nk-tNKu+AeN

/e •BGe-nkkese5K •e -t bnAGe--e gBKFn•e 'sk-uπ=uKe tA stKBLutA GuN=nk-tNKu+Ae NAuK -t sωse •BstL=Fe +Ae =e--e t•nkKBe kLB=B•esse5K knAL -eN su-ueAJ B-tNπKu+Ae eK B-tNKnk-tNKu+Aer éu5Nuv n5 •nuK u5uKut-ese5K =FeLπ=FeL A5e jn5=Kun5 •e jnLse •A KA55e- 5n5 NnAKe5Ar

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/t GuKeNNe 9 BKt5K =n5Nu•BLBe =n5NKt5Ke knAL A5e BKA•e •n55Bev J eK K Nn5K •n5= Le-uBN ktL -t Le-tKun5 Nusk-e R J ] 9Kr éu5Nu knAL A5e GuKeNNe 9 5n5 5A--e eK

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bà ()

Te KLuseNKLe S882

non infinie, chacune des courbes de convergence de la figure 18 représente :

- pour un instant donné, la convergence de la paroi du tunnel en fonction de la distance au front ;- pour un point donné, d'abscisse x et d'une vitesse de creusement V, l'évolution en fonction du temps de la convergence en ce point. L'abscisse est alors le temps; mais l'échelle dépend de la vitesse V.

On peut observer sur ces courbes que plus V est grande, plus il faudra de temps pour que la convergence à la paroi se stabilise. Dans le cas du tunnel non soutenu, 5 la stabilisation finale (εvp= 0; F = 0 en tout point du massif) toutes les courbes correspondant 5 différentes vitesses retrouveront la courbe de convergence du tunnel en plasticité (soit V = 0).

'NlÇI°FNV é

En suivant la même démarche de l'élasticité et plasticité, on définit la fonction de forme a0vp (x) du tunnel non soutenu viscoplastique par :

(23) Sur la figure 19, nous avons tracé les fonctions de

forme a°vp(x) du tunnel non soutenu correspondant aux calculs numériques donnés précédemment sur la figure 18.

Dans le cas d'un calcul viscoplastique, l'allure des courbes de fonctions de forme de la figure 19 suggère que pour une vitesse réduite V* donnée non nulle, a0 (x) se déduit de a0(x) (cas plastique) à l'aide d'une transformation géométrique à définir.

Une expression analytique inspirée de celle associée à a0 (x) et donnant satisfaction pour une large gamme de vitesses de creusement est proposée :

(24)

A(V ) exp. analytique

o A(V) calcul E.FV= 0 V=250 v=500V= 2 500

V=5000

V= e x'=x/Ri

fIG 19 Fonction de forme a0vp(x) pour différentes vitesses.Shape function a°vp(x) for many tunnel advance rates.

ou A et B sont des paramètres tels que : 0 < A c 1 et 0 < B c 1 ; on retrouve le cas non visqueux en posant à la limite A = B = 1. Rp est le rayon plastique du tunnel non soutenu à l'équilibre.

Pour déterminer les valeurs de A et B, nous avons réalisé une étude paramétrique du tunnel non soutenu creusé dans un milieu viscoplastique en conditions axi- symétriques, à l'aide de la méthode numérique d'acti- vation/désactivation. L'étude porte sur une large gamme de valeurs de vitesses de creusement (0 c V* c 5 000) et de facteurs de chargement 1 < Ns c 5. Elle a servi à confirmer la conjecture concernant l'expression analytique de a°vp(x).

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