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forces (changes exterienes et réactions d'appui) agissant sur le. N = {Fx 1 I² + Calcul des réactions: Par support. +. L. RAY. RAX. 42. 42. Ruy. J. =>. Rxx.
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RÉACTIONS DAPPUI MOMENTS FLÉCHISSANTS
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12 juil 2020 · Travaux Pratiques : Résistance Des Matériaux*Système isostatique:Une poutre droite en équilibre Durée : 7:14Postée : 12 juil 2020
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Les équations fondamentales de la statique sont à la base des calculs de la RDM On peut calculer les réactions d'appui par l'application du principe
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de tenseurs une partie très utile pour les calculs en résistance des matériaux équations permettant de résoudre (détermination des réactions d'appuis
Comment calculer les réactions d'appui ?
Le poids propre de chaque élément du système de levage est à prendre en compte dans les calculs de réactions d'appui. Ces calculs s'effectuent en partant de la valeur des charges accrochées et en remontant progressivement tout le système de levage pour déterminer chaque réaction pour les éléments impliqués.C'est quoi une réaction d'appui ?
REACTION - d'appui - n.f. :
Force et moment développés par un appui, égaux et opposés à la résultante des forces et moments transmis par la structure à cet appui.Comment calculer la contrainte en RDM ?
A la contrainte normale ?=My/I s'ajoute des contraintes tangentielles. Déformée et calcul des fl?hes : sous l'effet des forces qui lui sont appliquées une poutre se déforme. On appelle fl?he à l'abscisse x le déplacement vertical du centre de gravité de la section relative à cette abscisse.- b- Appuis double (articulation ou rotule) : La rotation est libre, les deux déplacements sont bloqués. c- Appuis triple (encastrement) : la rotation et les déplacements sont bloqués.
RDM 1ère année ENTPE
Résistance des matériaux Ȃ partie 1
Corrections des exercices
Boris TEDOLDI
Ingénieur structure
2 chemin des maisonnettes BP19
39150 SAINT LAURENT EN GDX
http://www.csb.betBoris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 2/931. Rappels de MMC utiles en RDM ....................................................... 4
1.1 Réponse exercice [ 1 ] ...................................................................................... 4
1.2 Réponse exercice [ 2 ] ...................................................................................... 6
1.3 Réponse exercice [ 3 ] ...................................................................................... 7
1.4 Réponse exercice [ 4 ] ...................................................................................... 8
1.5 Réponse exercice [ 5 ] ...................................................................................... 9
1.6 Réponse exercice [ 6 ] ...................................................................................... 9
1.7 Réponse exercice [ 7 ] .................................................................................... 10
1.8 Réponse exercice [ 8 ] .................................................................................... 11
3. Définitions ........................................................................................ 12
3.1 Réponse exercice [ 9 ] .................................................................................... 12
4. Hypothèses du cours de R.D.M. ..................................................... 13
4.1 Réponse exercice [ 10 ] .................................................................................. 13
4.2 Réponse exercice [ 11 ] .................................................................................. 15
5. ...................................................... 16
5.1 Réponse exercice [ 12 ] .................................................................................. 16
5.2 Réponse exercice [ 13 ] .................................................................................. 18
5.3 Réponse exercice [ 14 ] .................................................................................. 19
5.4 Réponse exercice [ 15 ] .................................................................................. 20
6. Calculs des diagrammes de sollicitations ..................................... 22
6.1 Réponse exercice [ 16 ] .................................................................................. 22
6.2 Réponse exercice [ 17 ] .................................................................................. 23
6.3 Réponse exercice [ 18 ] .................................................................................. 25
6.4 Réponse exercice [ 19 ] .................................................................................. 26
6.5 Réponse exercice [ 20 ] .................................................................................. 26
6.6 Réponse exercice [ 21 ] .................................................................................. 27
6.7 Réponse exercice [ 22 ] .................................................................................. 29
6.8 Réponse exercice [ 23 ] .................................................................................. 31
6.9 Réponse exercice [ 24 ] .................................................................................. 34
6.10 Réponse exercice [ 25 ] .......................................................................... 37
6.11 Réponse exercice [ 26 ] .......................................................................... 41
6.12 Réponse exercice [ 27 ] .......................................................................... 44
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 3/936.13 Réponse exercice [ 28 ] .......................................................................... 47
6.14 Réponse exercice [ 29 ] .......................................................................... 48
6.15 Réponse exercice [ 30 ] .......................................................................... 48
6.16 Réponse exercice [ 31 ] .......................................................................... 50
7. Tracé direct des diagrammes de sollicitations ............................. 51
7.1 Réponse exercice [ 32 ] .................................................................................. 51
7.2 Réponse exercice [ 33 ] .................................................................................. 54
7.3 Réponse exercice [ 34 ] .................................................................................. 57
7.4 Réponse exercice [ 35 ] .................................................................................. 59
7.5 Réponse exercice [ 36 ] .................................................................................. 61
7.6 Réponse exercice [ 37 ] .................................................................................. 65
8. - iso/hyperstaticité ..................................... 72
8.1 Réponse exercice [ 38 ] .................................................................................. 72
9. Caractéristiques des sections droites ........................................... 74
9.1 Réponse exercice [ 39 ] .................................................................................. 74
9.2 Réponse exercice [ 40 ] .................................................................................. 77
9.3 Réponse exercice [ 41 ] .................................................................................. 82
9.4 Réponse exercice [ 42 ] .................................................................................. 88
9.5 Réponse exercice [ 43 ] .................................................................................. 88
9.6 Réponse exercice [ 44 ] .................................................................................. 91
9.7 Réponse exercice [ 45 ] .................................................................................. 92
9.8 Réponse exercice [ 46 ] .................................................................................. 92
9.9 Réponse exercice [ 47 ] .................................................................................. 92
9.10 Réponse exercice [ 48 ] .......................................................................... 92
9.11 Réponse exercice [ 49 ] .......................................................................... 93
9.12 Réponse exercice [ 50 ] .......................................................................... 93
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 4/931. Rappels de MMC utiles en RDM
1.1 Réponse exercice [ 1 ]
Après analyse :
1a) En fonction du poids de la masse P et de la section du barreau S, la contrainte dans le barreau est : ߪOr ܵ
Et ܲൌ-- ൈͳ-ൌ--- ܰ
Ainsi loi de comportement : ߝ ͳΨ՜ ߪൌͷߝDonc ߝ
b) Par définition ߝ 2)Ce qui correspond à la force
de 39,3 kg . 3a) ortement : ͳΨߝ ͷΨ՜ ߪൎ-ǡ--ͷߝ Donc b) c)Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 5/93 bleue et verte sont homothétiques : DoncAprès déchargement de la masse de 40 kg, le barreau conserve un allongement définitif de
3,2cm, ainsi sa longueur devient égale à 203,2 cm.
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 6/931.2 Réponse exercice [ 2 ]
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 7/931.3 Réponse exercice [ 3 ]
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 8/931.4 Réponse exercice [ 4 ]
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 9/931.5 Réponse exercice [ 5 ]
1.6 Réponse exercice [ 6 ]
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 10/931.7 Réponse exercice [ 7 ]
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 11/931.8 Réponse exercice [ 8 ]
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 12/933. Définitions
3.1 Réponse exercice [ 9 ]
1) La ligne (CF) est la fibre moyenne
2) La ligne (BE) est la fibre supérieure (attention au sens du vecteur ݕԦ)
3) La ligne (AD) est la fibre inférieure
4)5) s de la ligne (AD).
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 13/934. Hypothèses du cours de R.D.M.
4.1 Réponse exercice [ 10 ]
En supposant la loi de comportement réaliste du matériau suivante : En supposant que la force F1 induit la déformation İ1, la contrainte ı1 vaut :La loi de Hooke donne :
Avec E le module de Young du
Matériau
En supposant que la force F2 induit la déformation İ2, la contrainte ı2 vaut :La loi de Hooke donne :
Avec E le module de Young du
Matériau
Ainsi, 1 et de F2 produit une déformation égale à İ1 + İ2, et la contrainte est :Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 14/93La loi de Hooke donne :
Avec E le module de Young du
Matériau
1 et F2 produit une contrainte égale à ı1 + ı2.
Nota principe de superposition.
Remarque :
linéaire (loi de Hooke) car la structure justifie transformations infinitésimales (en particulier les petites déformations dans notre exemple). transformations infinitésimales pas respectée, on aurait : e la R.D.M..Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 15/934.2 Réponse exercice [ 11 ]
Homogène Isotrope Linéaire b) Elastiqueb)
Béton OUI a)
OUI OUI OUI
Béton armé NONc) NONe) OUI OUI
Acier OUI OUI OUI OUI
Bois massif NONd) NONf) OUI OUI
Verre OUI OUI OUI OUI
a) En toute rigueur, la réponse est non car la présence de granulats par exemple dans sa composition rend ce matériau non homogène. Cependant, seul le comportement macroscopique est regardé donc le béton a un comportement relativement homogène. b) En tenan est non pour tous les matériaux c) d) . Pour un bois de bonne qualité, comme pour le béton, la réponse macroscopique peut être vu comme homogène. e) s dans toutes les directions.f) La direction des veines du bois est responsable de différence de résistance entre
directionRemarque : ces réponses sont générales. Certains bois par exemple peuvent présenter des
caractéristiques différentes.Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 16/93 5.5.1 Réponse exercice [ 12 ]
a) - la poutre peut glisser horizontalement, - la poutre peut pivoter au niveau des appuis - mais ne peut se déplacer verticalement.Ainsi les données de par :
b) ChargementsPoids propre de la poutre gpoutre :
La poutre a un volume égal à : ͵ൈగൈǡଵହ( sens de la sécurité. Ainsi pour le calcul ȡ = 1200 kg/m3 est pris en compte. Généralement, les charges réparties sont données par mètre linéaire, ainsi :Poids propre des chaines et du banc Gbanc :
Le poids propre des chaines et du banc est modélisé par 2 forces ponctuelles situées à 30 cm
des appuis. Le poids propre étant égal à 25 kg, les deux forces ponctuelles ont pour valeur 12,5
kg chacune.Poids de la neige sur le banc Qneige,banc :
ȡneige
= 150 kg/m3 est pris en compte. La hauteur de chute de neige est égale à 0,2 mLe poids propre de la neige sur le banc est alors égal à : -ǡ-ൈͳǡ-ൈͳͷ-ൌ͵ ݇݃
Le poids propre étant égal à 36 kg, les deux forces ponctuelles ont pour valeur 18 kg chacune
situées au niveau des attaches des chaines.Poids de la neige sur la poutre qneige,poutre :
La neige sur la poutre peut être visualisée par la coupe transversale suivante :Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 17/93 Ainsi, bien que la poutre soit ronde, le poids de la neige reste équivalent au poids de la neige tombée sur une planche plane de largeur de 15 cm. La hauteur de chute de neige est égale à 0,2 m La masse volumique de la neige est prise égale à ȡneige = 150 kg/m3. Ainsi, la force répartie équivalente est égale à : c) Résultat de la modélisation On multipliera par 10 tous les résultats précédents pour avoir des résultats en N.Remarque 1 :
Concernant les unités, en physique :
- Les forces sont en N - Le poids est une force on peut très bien parler de poids (ou de forces) en kg !Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 18/93Remarque 2 :
Concernant les notations :
- G ou g désignent les charges permanentes (poids propre par exemple) (neige par exemple).De plus, les forces ponctuelles sont écrites en majuscules (ex : G ou Q), et les forces réparties
sont écrites en minuscules (ex : g ou q)5.2 Réponse exercice [ 13 ]
Etape 1
Etape 2 : Ecrire les réactions au niveau des liaisons Etape 3 : Remplacer les forces réparties par des forces ponctuelles équivalentesEtape 4 : :
- Somme des forces horizontales nulle : ܴ௫ݍܮ - Somme des forces verticales nulle : ܴ௬ܮܨ - Moment du système global nul : ܯ௭ ݍܮ Etape 5 : Valorisation des composantes nulles connues aux liaisonsEtape 6 : résolution du système
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 19/932୷ൌെ"െ
Etape 7 : Rédaction de la solution, au point A : ൞2୷ൌെ"െ
5.3 Réponse exercice [ 14 ]
Etape 1
Etape 2 : Ecrire les réactions au niveau des liaisons Etape 3 : Remplacer les forces réparties par des forces ponctuelles équivalentesPas de forces réparties " ici ».
Etape 4 : :
- Somme des forces horizontales nulle : RBx = 0 - Somme des forces verticales nulle : RAy + RBy + F = 0 Etape 5 : Valorisation des composantes nulles connues aux liaisons Par exemple, nous savons que le moment en A est nul donc :Mz/A = െ ܨ
Rq : valoriser que le moment est nul en B aurait été tout à fait valable également.Etape 6 : résolution du système
2୷ൌെ
Etape 7 : Rédaction de la solution
Au point A : ቐ
2୷ൌି
et au point B : ቐ2୷ൌି
AB F x yRBy RBx RAyBoris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 20/935.4 Réponse exercice [ 15 ]
Etape 1
Etape 2 : Ecrire les réactions au niveau des liaisons Etape 3 : Remplacer les forces réparties par des forces ponctuelles équivalentes Remarque : la réaction R en A est dans le plan (x,y)Etape 4 : :
- Somme des forces selon x nulle : ܴ௫ܴ - Somme des forces selon y nulle : ܴ௬ܴ௬െ-ܮെܨ - Somme des forces selon z nulle : ܴ௭െܳ Etape 5 : Valorisation des composantes nulles connues aux liaisonsLe moment en B est nul donc :
Donc อ
puis : ቐ െ-1-ܴEtape 6 : résolution du système
െ-1-ܴ A B Q F 2pL x y z RBx RBy RBz RAx RAyRBoris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 21/932୷ൌ"
: F = Q Les équations (4), (5) et (6) indiquent que : ቐEtape 7 : Rédaction de la solution
On a : Q = -F pour obtenir une solution du système trouvé, ainsiAu point A : ቐ
2ൌ- ൌ-
Au point B : ቐ
ATTENTION
Au point A, la liaison est une liaison simple, la réaction doit nécessairement être perpendiculaire
au sol. Or pour satisfaire ce critère, nous devons nécessairement avoir RAx = RAy. Dans cet exemple, déplacement.Au final :
൜3 1ൌ 1" " ±"" --
Ainsi, pour obtenir une solution, Q = F nécessairement.Au final :
Au point A : ቐ
2୷ൌ1 ୷ൌ-
2ൌ- ൌ-
Au point B : ቐ
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 22/936. Calculs des diagrammes de sollicitations
6.1 Réponse exercice [ 16 ]
Réactions des appuis
Equilibre des forces : ൜ܺ
Le moment en A est nul : ܻܮݍܮDiagramme des contraintes
Equivalent à
Equilibre de la section
qL AB x yYaYb Xb A pL/2y -N -Ty q x -Mz A pL/2y -N -Ty qx x -MzBoris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 23/93 െBൌ- ֞Diagrammes
Effort normal nul en tout point
Effort tranchant :
Moment fléchissant :
6.2 Réponse exercice [ 17 ]
Réactions des appuis
Equilibre des forces : ൜ܺ
x Ty -qL/2 = YA qL/2 = -YBL/20Lx
Mz qL²/8 L/20L AB P x yYb Xb YaBoris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 24/93 Le moment en A est nul : ܻܲܽܮൌ- ܻ ֜Équilibre des sections
Pour 0 ч x < a
Equilibre
െBൌ- ֞ െ4୷െ0" െ0"Pour a ч x ч L
Equilibre
െBൌ- ֞ െ4୷0െ0" A -Pb/L x y -N -Ty -Mz A P -N -Ty -Mz -Pb/L x yBoris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 25/93 െ0"Diagrammes
Effort normal nul en tout point
Effort tranchant :
Moment fléchissant :
6.3 Réponse exercice [ 18 ]
RDiagrammes
Effort normal nul en tout point
x Ty -Pb/L = YAPa/L = -YB
a0LP TyPa/L = -YB
x Pab/L a0L MzBoris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 26/93Moment fléchissant : ܯ
6.4 Réponse exercice [ 19 ]
RDiagrammes
Effort normal nul en tout point
Moment fléchissant : ܯ
6.5 Réponse exercice [ 20 ]
Réactions aux appuis
x0L -qL²/2 = -MA Mz x 0L Ty qL/2 = -YA x0L -qL²/6 = -MA MzBoris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 27/93Diagrammes
Effort normal nul en tout point
Moment fléchissant : ܯ
Avec ݔൌ
6.6 Réponse exercice [ 21 ]
Réactions aux appuis
Diagrammes
Effort normal nul en tout point
Effort tranchant :
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Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 28/93Moment fléchissant :
Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 29/936.7 Réponse exercice [ 22 ]
Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 30/93Boris TEDOLDI Calcul Structure Bâtiment Page
Corrigés RDM ENTPE partie 1 http://www.csb.bet 31/936.8 Réponse exercice [ 23 ]
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