[PDF] Exercices. 22 sept. 2011 Terminale S.

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TerminaleS

Exercices.

Rappels sur les suites. Récurrence

Exercice 1 :

Généralités sur les suites

1) La suite (vn) est telle que :v0=1 et pour toutn,vn+1=3vn-1.

Calculerv2,v3. Exprimervn+2en fonction devn.

2) On considère la suite (un) définie par :

?u0=2,u1=4 u n+2=4un+1-un

Calculer les termesu2,u3etu4.

3) Parmi les suites suivantes déterminer celles qui sont croissantes ou décroissantes,

éventuellement à partir d'un certain rang :

a)un=-3n+1 b)un=n+1 n+2c)un=2n d)un=? -12? n e)un=n2 n!avecn!=n×(n-1)×(n-2)× ··· ×2×1 f)un=1+1

2+122+···+12n

g)un=1+1

2+122+···+12n-n

4) (un) et (vn) sont deux suites croissantes. Montrer que la suite (un+vn) est croissante.

Exercice 2 :

Suites arithmétiques et géométriques

1) (un) est une suite arithmétique de raisonr.

a) Exprimerunen fonction densiu0=2 etr=1 2 b)u2=41 etu5=-13. Calculeru20 c)u1=-2 etr=3. Calculerunen fonction denpuisu1+u2+···+u20 d)u0=-3 etr=-2. Calculeru25+u26+···+u125 paul milan1/6 22 septembre 2011 exercicesTerminaleS

2) (vn) est une suite définie parv0=1 et pour toutnnaturel par :

v n+1=vn 1+vn

Montrer que la suite (un) définie par :un=1

vnest arithmétrique.

3) (vn) est une suite géométrique de raisonq.

a)u1=5 etq=2

3. Exprimerunen fonction den

b)u4=1 etu9=25⎷

5. Calculeru14

c)q=2 etu0+u1+···+u12=24 573. Calculeru0.

4) Prouver que la suite (un) définie par :un=2n

3n+1est géométrique. Converge-t-elle?

5) Calculer les sommmes suivantes :

a)A=8+13+18+···+2003+2008 b)B=1

2+1+32+2+52+···+10

c)C=0,02-0,1+0,5-2,5+···+312,5

Exercice 3 :

Suites arithmético-gométriques et homographique

1) On considère la suite (un) définie par :

u

0=1 et pour tout nombre entiern un+1=1

3un+4

On pose, pour tout nombre entier natureln,vn=un-6

a) Pour tout nombre entier natureln, calculervn+1en fonction devn.

Quelle est la nature de la suite (vn)?

b) Exprimervnpuisunen fonction den. c) Étudier la convergence de la suite (un).

2) Dans une réserve, une population initiale de 1000 animauxévolue ainsi :

220 % des animaux disparaissent chaque année (bilan global des naissances et des

décès)

2120 animaux par an sont introduit dans la réserve.

Le but de cet exercice est de déterminer l'évolution de cettepopulation au bout den années (on la notepnavecp0=1000). a) Déterminer une relation entrepn+1etpn. b) Conjecturer graphiquement l'évolution de la population. Pour démontrer cette conjecture, on introduit une suite auxiliaire (vn) telle que : v n=pn+a paul milan2/6 22 septembre 2011 exercicesTerminaleS c) Déterminer le réelapour que la suite (vn) soit géométrique. d) Déterminer alors l'expression devnpuispnen fonction den. e) La suitepnadmet-elle une limite en+∞. Conclusion.

3) on considère la suite (un) définie par :

u

0=0 etun+1=2un+3

un+4 a) On posevn=un-1 un+3.

Montrer que la suite (vn) est géométrique.

b) Exprimervnpuisunen fonction den. c) Déterminer la limite de (vn) puis celle de (un).

Exercice 4 :

Antilles-Guyane sept 2010

On considère la suite de nombres réels

(un)définie surNpar : u

0=-1,u1=1

2et, pour tout entier natureln,un+2=un+1-14un.

1) Calculeru2et en déduire que la suite(un)n'est ni arithmétique ni géométrique.

2) On définit la suite

(vn)en posant, pour tout entier natureln: v n=un+1-1 2un. a) Calculerv0. b) Exprimervn+1en fonction devn. c) En déduire que la suite (vn)est géométrique de raison1 2. d) Exprimervnen fonction den.

3) On définit la suite

(wn)en posant, pour tout entier natureln: w n=un vn. a) Calculerw0. b) En utilisant l'égalitéun+1=vn+1

2un, exprimerwn+1en fonction deunet devn.

c) En déduire que pour toutndeN,wn+1=wn+2. d) Exprimerwnen fonction den.

4) Montrer que pour tout entier natureln

u n=2n-1 2n. paul milan3/6 22 septembre 2011 exercicesTerminaleS

5) Pour tout entier natureln, on pose :Sn=k=n?

k=0u k=u0+u1+···+un.

Démontrer par récurrence que pour toutndeN:

S n=2-2n+3 2n.

Exercice 5 :

Extrait national 2009

On considère la suite (wn) dont les termes vérifient, pour tout nombre entiern?1 : nw n=(n+1)wn-1+1 etw0=1 Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite. w0w1w2w3w4w5w6w7w8w9

135791113151719

a) Détailler le calcul permettant d'obtenirw10. b) Donner la nature de la suite (wn) en vous justifiant. Calculerw2009.

Exercice 6 :

Récurrence

1) On poseSn=12+22+32+···+n2oùnest un entier naturel,n?1.

a) CalculerS1,S2,S3etS4.

ExprimerSn+1en fonction deSn.

b) Démontrer par récurrence que pour tout natureln?1, S n=n(n+1)(2n+1) 6

2) De même montrer que 1

3+23+33+···+n3=n2(n+1)2

4

3)Inéqualité de Bernouilli.

aest un réel strictement positif. a) Démontrer par récurrence que pour tout entiern?1, (1+a)n?1+na b) Déduire la justification d'un théorème (admis) en classe de Première : siq>1 alors limn→+∞qn= +∞

4) On noteSn=1×2+2×3+···+n(n+1), etTn=1

3n(n+1)(n+2)

Démontrer que pour tout entier naturel non nul,Sn=Tn. paul milan4/6 22 septembre 2011 exercicesTerminaleS

5) Démontrer que :

n? k=11 k(k+1)=nn+1

6) On noten!=n×(n-1)×(n-2)× ··· ×2×1 et on lit " factoriellen». Démontrer

que pour tout naturelnnon nul : n!?2n-1

7) Soitn?Netfnla fonction, définie pourx?R, par :

f n(x)=xn Démontrer quefnest dérivable et que pour tout réelx: f ?n(x)=nxn-1

8) Prouver que pour tout entiern, 32n-1 est un multiple de 8.

9) Est-il vrai que pour tout entiern?1,n3+2nest un multiple de 3?

10) Montrer que 3

2n+1+2n+1est un multiple de 7.

Exercice 7 :

Divers

1) La suite (un) est définie par :

u

0=1 etun+1=un+2n+3

a) Étudier la monotonie de la suite (un). b) Démontrer que, pour tout entier natureln,un>n2.

2) La suite (un) est la suite définie par :

u

0?]0;1[ etun+1=un(2-un)

Démontrer par récurrence que :

?n?N,03) La suite (un) est définie par : u

0=1 etun+1=?

2+un a) Démontrer que pour tout natureln, 04) La suite (un) est définie par : u

1=0 etun+1=1

2-un

Donner la valeur exacte deu2 005.

paul milan5/6 22 septembre 2011 exercicesTerminaleS

Exercice 8 :

La Réunion 2008

On considère la suite (un)n?Ndéfinie par :

u

0=5 et, pour tout entiern>1un=?

1+2 n? u n-1+6n

1) a) Calculeru1.

b) Les valeurs deu2,u3,u4,u5,u6,u7,u8,u9,u10,u11sont respectivement égales à :

45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621.

À partir de ces données conjecturer la nature de la suite (dn)n?Ndéfinie par : d n=un+1-un.

2) On considère la suite arithmétique (vn)n?Nde raison 8 et de premier termev0=16.

Justifier que la somme desnpremiers termes de cette suite est égale à 4n2+12n.

3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturelnon a :un=4n2+12n+5.

4) Valider la conjecture émise à la question 1) b).

paul milan6/6 22 septembre 2011quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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