[PDF] Chapitre 14 Travail puissance et énergie

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PCSI2019-2 020,LycéeLalande,Bourg-en-Bre sseAlexandreAl les

Chapitre14

Travail,puissanceeténe rgie

It'sanenergyfi eld createdby alllivingthings.

StarWar sV:TheEmpire Strik esB ack(1980 )Bibliographie !CapPrépaPh ysiqueMPSI-PCSI-PTSI, Pérez,2013!"Chapitre11

Nousavonsvuju squelàunefaçond 'étudi erunproblèmede mécani que:leslo isdeNewtone tplusparticulièrementlePFD .Une

approchecomplémentaireco nsisteàétudierlesquantitésconservéeslors del'évolutiond'unsystèm e.L apremièreformulationd ela

conservationdel'énergieestdue àHuy gens.S'ensuiviren tdenombreuxdéve lop pemen tsthéoriquesvisantà généraliserlesprincipesde

conservations:lamécanique lagrangienne puishamiltoni enneetencoreplusrécemmentdestrav auxmathématiquescomme lethéorème

deNo ether.

!*Joseph-LouisLagrange1736-1813:mathém aticienetphysicienissu duRoyaumedePiémont-Sardaigne,te ch niquementc'estun

savoyard !*WilliamRowanHamilton1 805-1865:mathéma ticien,astronomeetphysic ienirlandais

!*EmmyNoether18 82-1935:mathématici enneallemande,àl'époqueencoretr èsp eudefemmesontdescarrièresscientifique s(entout

casreconnue sparleurpairs),lethéo rèmedeNoe therestessenti elestunepierreangulair edecer tainesapprochesmoderne sdelap hysique

Lesprincipes deconservationspermiren tàP aulideprédirel'existencedeparticules encorenondétectéeslorsdesdé sint égrations!qui

semblaitviolerlaconserv ationdelaquantitéd emouv ementdansunpremiertemps,c'estparlas uitequ eleneu trinofutdécouvert.

!*WolfgangPauli1900-195 8:physicienautr ichien

IPuissance,travail

1.1Puissance

Onappe llepuissanceexercéep aruneforce

F i!M/R dansleréféren tielRàl'instanttlepro duitscalairedecettefo rceparlavitesse dupoi ntM P"! F i!M/R (t)= F i!M/R v M/R

Lapui ssances'exprimeenWatt(W)ou J.s.

Oncon statequelapuissancedépen ddelaforc econsi déréeetduréférentielchoisi( parl'intermédiair edelav itesse ).

!Puissance Remarque:Lapuissance Pestlaquan tité d'énergiereçueparMparuni tédetemps.

Remarque:Lavite ssed'unpointmatériel dépendduréfé rentield'observ ation,lapuissanceendépe nddoncdelamêmefaço n.

Remarque:Silepo intma térielestsoumis àplusieursforce,lapuissa ncetotal eestlasommedespuis san cesexercéesparchaqueforce.

!Lapuis sanced'uneforceestnonnulles ietseulementsil epointMsedép laceetquelaforcen'est pasort hogonalea umouve ment.

!Silafor ceest "danslesens» dumouveme nt (i.e.leprodu itscal aireestposi tif )alors lapuissanceexercéeparlaforc eestpositive,o n

parledeforcemotrice.Da nscecaslaforc e

!Al' inversesilaforceest"dansles ensopp osé»au mouvement(i .e.leprod uit scalaireest négati f)alorslapu issanceexercéeparl a

forceestnégat ive,onpar ledeforcerésistan te. !Moteurél ectriqueàpile<1W !RadiateurkW !Moteuràcom bustion 100kW !MoteurdeTG V10M W !Ordresdegrandeu r

1.2Travail

Onappe lletravailélémentair efourniparlaforce F i!M/R aupoi ntMaucou rsdesondéplacem ent,le produits calairedelaforceet dudéplacem ent W"! F i!M/R F i!M/R dl=P"! F i!M/R (t)dt.

Letra vails'exprimerenJoule( J)ouN.mouW/s.

!Travailélémentaire

Remarque:Lesig nedutravailélém entair eestlemêmequeceluide lapuissance,interprétationforcem otrice/ré sistan te.

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Remarqueimportant e:L'utilisationdelanotat ion"Wetnonpas dWn'estpaspurementes thétique !!!Letravailél émentaire"W

dépendexpli citementdudéplacement

dlainsiildépendra(très trèstrèssouvent) duchemins uivi parle poi ntM.Alorsqu'unequantité

notéedWn'endépendra pas,onpeutlevoirencalcu lantletravai lglob alexercéparl aforce F i!M/R surlepoin tM. r 2 r 1 dW=W( r2)!W( r1)#= r 2 r 1 W; blankATTENTIONCECIESTUNCASTRÈSP ARTICULIERJE RÉPÈTE!

Contre-exemple:forcedefrottementexercéesur unt rajetcourtouu ntraje tlong,letravailsembleintui tivementtrèsdi

érent.

Letrav ailglobalexercéparla force

F i!M/R surlepoin tMlorsdesondépla ce ments'écrit, W"! F i!M/R t 2 t 1 P"! F i!M/R (t)dt= r 2 r 1 F i!M/R dl.

Oncons tatequeletravaildépendd elaforcec onsidé rée,duréférentielchoi sietdutrajetsuivipa rlepo intM.

!Travailglobal

TD15-App2etE x2

IIÉnergiecinétique

2.1Théorèmede lapuissance cinétique

Queconna issons-nouscommeloisenmécanique?Leprincipefondam entaldeladynam ique,relatio nquifa itapparaîtredesforces.Nous

venonsd'introduir eparexemplelanotiondepuissance(prod uitentre uneforceetunevitesse)a lorse ssayonsdejoueravecl ePFDp our

faireapparaît redespuissances! m v M/R d v M/R dt i F i!M/R v M/R 1 2 m d v 2 M/R dt i P i!M/R dE c,M/R dt i P i!M/R L'énergiecinét iqued'unpointmatérielMdema ssemetdevit esse v M/R dansleréféren tielRestdéfiniepar, E c,M/R 1 2 m v 2 M/R !Énergiecinétique

Ladérivée temporelledel'énergie cinétiqued'unpointmatérielmobile Mdansunréféren tielga liléenRestégaleà lasommedes

puissancesdetouteslesforcesqui s'exer centsurM dE c,M/R dt =P M/R (t). !Théorèmedelapuissanceciné tique

Remarque:Cethéo rèmefourniunerelationdit einstantanéecar valableà toutinstanttdel' évolutiondusystème.

Remarqueimportant e:Siaucu neforcenetravaillea lorsl'énerg ieciné tiqueestconstanteP M/R (t)=0=%E c/R =cste.Onp arle d'intégralepremièredel'énergiecinétiq ue.

2.2Théorèmede l'énergiecinétique

Onpeut obteniruneversionin tégraleduthéorèmepréc édente enréalisantunein tégrationduthéorèmedelapuissanc ecinét iqueentre

deuxins tantst1ett2. t 2 t 1 dE c/R dt dt= i t 2 t 1 P"! F i!M/R dt= i t 2 t 1 W"! F i!M/R

Lorsdudéplacemen tdu pointmatérielMentrelesinstantst1ett2,lavariationdel'énergiecinétiqueestégaleàlasommedetous

lestravau xdesforcesexercéessur cepointma tériel !E c/R =E c/R (t2)!E c/R (t1)= i W"! F i!M,[t 1 ,t 2 Pourundépl acemen télémentaireonpeutécriredE c/R i P"! F i!M/R dt. !Théorèmedel'énergie cinét ique

Remarqueimportant e:Ilapparaît quelavariati onde l'énergiecin étiqueestindépendantedu cheminsuivicon trairementautravail!

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2.3Bilan

Expressioninstan tanée

dEc dt i Pi;

Pourundépl acemen télémentairedEc=

i Wi;

Expressionin tégrale!Ec=

i Wi. !Théorèmedelapuissanceet del' énergieci nétique

Pouruntrava ilreçu positif(i.e.uneforcem otrice)l'éne rgiecinétiquevaaugme nter,cetravail reçuestst ockésousforme d'énergie

cinétique.Al'invers esi letravailestnégatifalorsdel'énergiecinétiq ueestcédéeparl esystème àl'extérieur.

L'énergiecinétiqu eapparaîtcommeunréservoirdet ravail quelesystèmep eutéchanger avecl'extérieuren variant savitesse.

TD15-App3

IIIÉnergiepoten tielle

3.1Forcesconservat ives

Soitunpoi ntm atérielMdemas semsoumisàsonproprep oid sdansler éférentielgaliléenR.Calculons

letr availglobaldumouvementd 'unpointmatérieldansle champd epesanteurterrestreen tredeux positionsAetB W"! P,AB B A m g dl=!mg uz z B z A dz uz=!mg(zB!zA)=mg(zA!zB). Remarque:Attentionauxsigneslorsd esprodui tsscalaires,lepoid sestbienmot eurlorsde lachute. Letra vaildupoidsestindépendantduchemin suivi,c'estun castrèspart iculier.Ilnous estdonc

icipossi bled'écrireletravailglob alcommelavariationd'une foncti on(contrairementaucas général)

W=mgzA!mgzB.Si onser amèneà unetra nsformationélément air eletravai ls'écrit"W=!mgdz etdonc danscecastrè sparticulie rilexi steunefonc tionftelleque"W=!df. zA zB A B

Uneforce

Fcexercéesur lepoin tmat érielMestdite conservativesi, lorsd'undéplacementquelconquedeMparrapport àR,le

travailde

Fcesti ndépendantducheminsuivi.

!Forcesconservat ives

Remarque:Ceciimpliqu ed'uneforceconservativep euts'écrirecomm edérivantd' unpotentiel,l'expressionétant

F=! gradEp.

3.2Théorèmed el'énergiepotentielle

Letra vailétantindépendantd ucheminsuivipo uruneforceconservative,onpeutdéco mpose rtoutdéplacementen deuxdéplacemen t

passantparl'origin eO; W"! F c,AB =W"! F c,AO +W"! F c,OB =W"! F c,AO !W"! F c,BO =f(A,O)!f(B,O).

Lafonc tionfnedép endquedelaposition ,ondéfini ainsil 'énerg iepotentielleparcettefoncti on.

Soit

Fcuneforcec onservative, alorsilexisteunefonctionscalaireEp(M)appeléeénergiepotentiel lequinedép endquedescoordonnées

dupoi ntMtellequeletrav aildelafor celor sd'undéplacementd'unp ointAàunpointBestégale àl'opposédela variation de

l'énergiepotentielle W"! F c,AB =Ep(A)!Ep(B)=!!Ep. Dansle casd'undéplacem entél émentaireona, W"! Fc =!dEp. !Théorèmedel'énergi epo tentielle

Remarque:lagr andeurEpnedép endquedela positiond upoi ntmatériel. Ainsilavariationde cettegrandeurne dépendquedes

positionsinitialesetfinales etpasducheminsuivicequijust ifielan otationdEp. 136
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3.3Lienavecl apuissance

Larelation "W=!dEpvalablepourtouteforce conservativ elorsd'undéplac ementélémen tairededuréedtpeuts'écri reégalement,

W dt dEp dt

Pourtouteforc econservative

Fcs'appliquantàunmobileMonpeut écrire,

P"! F c,M/R dEp dt !Lienentre puissanc eeténergiepotentielle

3.4Bilan

Expressioninstan tanée!

dEp dt i Pi,c;

Pourundép laceme ntélémentaire!dEp=

i Wi,c;

Expressionin tégrale!!Ep=

i Wi,c. !Théorèmedel'énergie pot entielle L'énergiepot entielapparaîtcommeunréservoird'énergiepotentiellement libérable.

3.5Exempledeforces conserva tives

3.5.1Champdepesan teur

Cetexemplea étét raitéprécédemmen tdanscechapitre W"! P,AB =!!Ep=mgzA!mgzB

Ep(z)=mgz.

!Énergiepotentie lledepesanteur Laforce peutseretrou veràpartird el'exp ressiondel'énergiepotentie lle P=! gradEp=!quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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