1) Relations metriques et trigonometriques
Consequence : a) ABC est rectangle en A si et seulement si A appartient au cercle de diametre [BC]. b) ABC est un triangle isocele en A si et suelemnt si la
Relation métrique et trigonométrique dans un triangle
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Trigonométrie
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La trigonométrie
Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle. Il existe des relations entre les mesures des côtés et celles des angles intérieurs d'un triangle.
Chapitre I : Géométrie et trigonométrie
l'illustre le problème ci-dessous : Voici un triangle rectangle c = 8 cm b = 6 cm. Que vaut a ? La relation correcte à utiliser est ici :.
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Un triangle rectangle possède trois angles : un angle droit et deux angles qui seront Comment faire le choix de la bonne formule trigonométrique.
41 RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES DANS UN TRIANGLE
Calcule AC et AB. Exercice 4. Dans le triangle ABC rectangle en B on a : sin  = 3. 5.
Relation métrique et trigonométrique dans un triangle - Nanopdf
Définition : Un triangle est un polygone à trois côtés. Définition : Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.
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On considère un triangle quelconque ABC comme sur la figure ci-dessous On a alors les relations suivantes : sin( ) sin( ) sin( ) a b c
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Trigonométrie du triangle quelconque Formulaire A B C a b c ? ? ? Somme des angles d'un triangle ? + ? + ? = 180? = ? [rad] Théorème du sinus
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Dans un triangle rectangle on appelle cosinus d'un angle aigu le rapport du côté adjacent à l'angle et de l'hypoténuse Exemple et notation : cos a = AC AB
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a) Construire les formules trigonométriques liées au triangle quelconque à partir des connaissances relatives au triangle rectangle b) Réactiver chez les
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LES TRIANGLES quelconques (relations trigonométriques)
Info : Relation 3 : Ces relations trigonométriques dans le triangle quelconque vont permettre de calculer la longueur ou la valeur d'un angle
Applications.
Niveau : 1
ere SPre requis :
- Dans un triangle ABC,ˆ ˆˆA B Cπ+ + =
- Produit scalaire - Relation trigonometrique - Projection orthogonale - Theoreme de l"angle inscritOn se place dans un plan affine euclidien
? ( pas neccessairement orienté)Soit ABC un triangle non aplati.
ˆ ˆˆ, ,A B Cles mesures dans ][0,π des angles non orientés opposés aux cotés [][][], , , , ,B C A C A B.1) Relations metriques et trigonometriques
a) Formule d"AL-KASHITheoreme 1:
2 2 2 2 2 22 2 2ˆ2 .cos( )
ˆ2 .cos( )
ˆ2 .cos( )
a b c bc A b c a ac B c a b ab CPreuve :
2 2 2 2 2 2
2 2 2ˆ( ) ( ) 2 .
2 .cos( , )
A a BC BA AC AC AB AC AB AB AC a b c cb AB AC= = + = - = + -= + -Une preuve similaire pour les autres egalités.
Theoreme : (de pythagore)
ABC est rectangle en A
? 2 2 2a b c= +Remarque :
2 2 21. ( )2AB AC b c a= + -???? ????
BA Cac bÂB^
C b) Inegalité triangulaireLe theoreme 1 implique
2 2 2ˆcos( )
2 b c aAbc Or ][ˆ0,Aπ? donc 2 2 2 1 12 b c a bc 2 2 22 20 2 2
bc bc b c a bc ie b c a b c> ? - < + - <D"où
b c a b c- < < +Remarque : c"est une preuve que A,B,C aligné
?ABC triangle aplati c) Formule de la medianeOn note H le pied de la hauteur issue de M
On note I le milieu de [AB]
Theroeme de la mediane :
Soient
AetB deux points distincts du plan.
Alors pour tout point M du plan, on a :
1) 2 2.4ABMAMB MI= -???? ????
2) 22 2 222
ABMA MB MI+ = +
3)2 22 . 2 .MA MB IM AB IH AB- = =???? ???? ???? ????
Preuve :
1) 20. ( ).( ) .( ) .MAMB MI IA MI IB MI MI IA IB IAIB= + + = + + +
22 2 2.4
ABMAMB MI IA MI= - = -???? ????
2)2 2 2 2( ) ( )MA MB MI IA MI IB+ = + + +???? ??? ???? ???
2 2 2 2 2 2 22 2 .( ) 2 2MA MB MI MI IA IB IA IB MI IA+ = + + + + = +???? ??? ???
22 2 222
ABMA MB MI+ = +
3)2 2 2 2( ) ( )MA MB MI IA MI IB- = + - +???? ??? ???? ???
2 2 2 2 2 22 . 2 .MA MB MI IA MI IA MI IB MI IB- = + + - - -???? ??? ???? ???
2 22 .( ) 2 . 2 . 2 .MA MB MI IA IB MI BA IM AB IH AB- = - = = =???? ??? ??? ???? ???? ???? ???? ???? ????
M B HA IConsequence :
a) ABC est rectangle en A si et seulement si A appartient au cercle de diametre [BC]. b) ABC est un triangle isocele en A si et suelemnt si la mediane issue de A est la hauteur issue de A. A B C I A B CI=H Demonstration :
a)ABC rectangle en A ?2 2 2AB AC BC+ =
? 2 2122AI BC= car
22 2 222
BCAB AC AI+ = +
? 2 24 2BC AI BC AI= ? = ?( )A C I? de diametre [BC] b)ABC isocele en A ?2 20AB AC AB AC= ? - =
? 2 . 0 . 0IH BC IH BC I H= ? = ? =???? ???? ???? ???? d) Formule des sinus Theoreme : Soit S la surface du triangle ABC. On a1 1 1ˆ ˆˆsin( ) sin( ) sin( )2 2 2S bc A ac B ab C= = =
Preuve : 1
er cas : si ˆCest aigu 12S BC AH= ×
Or ˆsin( )AHCAC=d"où 1ˆsin( )2S BC AC C= × × 2 e cas : siˆCest obtu 12S BC AH= ×
Or ? ?ˆsin( ) sin( ) sin( )AHC HAC HACACπ= - = =D"où
1ˆsin( )2S BC AC C= × ×
De meme pour les autres angles.
A B H CTheoreme :
2ˆ ˆ ˆ2sin( )sin( ) sin( )a b c abcRSBA C= = = = où R est le rayon du cercle circonscrit au
triangle ABC.Preuve :
1 1 1ˆ ˆˆsin( ) sin( ) sin( )2 2 2S bc A ac B ab C= = =
Doncˆ ˆˆ2 sin( ) sin( ) sin( )S A B C
abc a b c= = =2 2 2 2 2
2 2 2 22 2( ) 2 .
2 2 cos( , )
² 2 (1 cos2 ) ( " )
² 4 sin
a BC BO OC BO OC BOOC a R R OB OC a R A theo de l angle inscrit a R A= = + = + += -D"où
2ˆsin
aRA=Corollaire :
4abc RS=
e) Formule de Héron Theoreme : Soit p le demi perimetre du troangle ABC i.e 2p a b c= + + Alors ( )( )( )S p p a p b p c= - - -Preuve :
2 2 2ˆcos
2 b c aAbc ( )( )ˆ1 cos 2 b c a a b cAbc ( ( ))( )ˆ1 cos 2 a b c a b cAbc Or 2 22 24 ( )( )( )ˆ ˆ ˆ ˆsin 1 cos (1 cos )(1 cos )p p a p b p cA A A Ab c
Par la formule des sinus, on obtient
2 22 24ˆsinSAb c=
D"où
2( )( )( )S p p a p b p c= - - -
f) Cercle inscrit Theoreme : Dans ABC, on a S pr=où rest le rayon du cercle inscrit dans ABCConsequence : ( )( )( )p a p b p crp- - -=
2) Relations trigonometrique
Proprietes : Avec les notations precedentes :
1)ˆ ˆˆsin sin sin
2 a b c pA B CR R 2)3 34ˆ ˆˆsin .sin .
8 8 2 ²
abc RS SA B sinCR R R= = = 3) ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆtan tan tan tan .tan .tanA B C A B C+ + =Preuve
1)Avec la formule des sinus
2)3 34ˆ ˆˆsin .sin . . .
2 2 2 8 8 2 ²
ora b c abc RS SA B sinCR R R R R R= = = = 3)ˆ ˆˆA B Cπ+ + =
ˆtan( ) tan( ) tan( )
ˆtan tanˆtan( )ˆˆ1 tan tan
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆtan tan tan tan tan tan A B CA B C C
A B CA BA B C A B C
+ = - +(pour les angles non plat non droit)3) Applications
a) Puits de petroleON construit un puit de petrole
A 530m du coin A du champ, a 210 M du coin C opposé, a 105m du coin BA quelle distance se trouve-t-il du 4
e coin ? PD= ?Resolution :formule de la mediane,
b) Carrés autour d"un triangle On considere un triangne ABC. On construit les carres ABEF et ACGH exterieurement au triangle.(plutot dire comme sur la figure » sinon le jury va tiquer sur exterieur)Montrer que FC=BH
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