espaces-vectoriels.pdf PDF Montrer que E × E est

Espaces vectoriels

Dans R3 donner un exemple de deux sous-espaces dont l'union n'est pas un sous-espace vectoriel. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [006869]. Exercice 4.

Espaces vectoriels

Exercice 32. Soit ?3(?) l'espace vectoriel des matrices à coefficients dans ? à 3 lignes et 3 colonnes. Soit 3

70 exercices dalg`ebre linéaire 1 Espaces vectoriels

Exercice 14 Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur K on consid`ere E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels de E de dimensions respectives n1 et n2.

espaces-vectoriels.pdf

Montrer que E × E est alors un C-espace vectoriel. Celui-ci est appelé complexifié de E. Sous espaces vectoriels. Exercice 2 [ 01681 ] [Correction].

Chapitre 16 : Espaces vectoriels

Exercice type 2. Soit E = Mn (R) soit A ? E fixé et F = {M ? E

Exercices corrigés Alg`ebre linéaire 1

En donner une base et la dimension. Exercice 10 Soient (E+

Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base

Exercice 2. Dans R4 on considère l'ensemble E des vecteurs (x1x2

Feuille dexercices n°15 - Espaces Vectoriels

Mathématiques – ECS1 – FE15 – EV. Feuille d'exercices n°15 - Espaces Vectoriels. Exercice 1 . Les ensembles ci-dessous sont-ils des espaces vectoriels ?

Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 3 **. Soit E un K-espace vectoriel. Soient A B et C trois sous-espaces vectoriels de E vérifiant A ? B = A ?C

Feuille dexercices n°3 : Espaces vectoriels

Espaces vectoriels dans Rn. Exercice 5. ( ). Déterminer une base et la dimension des sev de R3 suivants : a. F1 = 1(x y

(x;y) + (x0;y0) = (x+x0;y+y0) (a+ ib):(x;y) = (a:xb:y;a:y+b:x)? (x;y)2R2xy (x;y)2R2xy= 0 (x;y)2R2x=y??? (x;y)2R2x+y= 1 (x;y)2R2x2y2= 0 (x;y)2R2x2+y2= 0 ??????F=(x;y;z)2R3x+yz= 0??G=(ab;a+b;a3b)a;b2R? (un)2RN(un)?????? ????F=(un)2RN8n2N;un+2=nun+1+un? ???ff:R!Rjf??? ???????g? ???F=f2 C1([a;b];R)f0(a) =f0(b) ???G= f2 C0([a;b];R)Rb af(t)dt= 0 ????!2C? ?? ????!:R=f!xjx2Rg? =ffgjf;g2 Cg?

F\G=F+G()F=G?

???F\(G+H)??(F\G) + (F\H)? ???F+ (G\H)??(F+G)\(F+H)?

FG=)F+ (G\H) = (F+G)\(F+H)?

u= (1;1;1)??v= (1;0;1)?

Vect(u;v) =(2;+;2);2R?

??????F=f2 C1(R;R)f(0) =f0(0) = 0??G=x7!ax+b(a;b)2R2? ??????F= f2 C([1;1];C)R1

1f(t)dt= 0

C([1;1];C)?

H=(x1;x2;:::;xn)2Knx1+x2++xn= 0

??u= (1;:::;1)2Kn?

F=f2Ef(0) =f(=2) =f()??G= Vect(sin;cos)?

????F=f2 F(R;R)f(0) +f(1) = 0? ???(x1;x2)????x1= (1;0;1)??x2= (1;2;2) ???(x1;x2;x3)????x1= (1;0;0)?x2= (1;1;0)??x3= (1;1;1) ???(x1;x2;x3)????x1= (1;2;1)?x2= (2;1;1)??x3= (1;1;2) ???(x1;x2;x3)????x1= (1;1;1)?x2= (2;1;3)??x3= (1;1;1)? f

1(x) = cosx?f2(x) =xcosx?f3(x) = sinx??f4(x) =xsinx?

??????? ??? ?? ???????(f1;f2;f3;f4)??? ?????? f k(x) = ek:x? ??????? ??? ?? ???????(fk)0kn??? ??? ??????? ????? ??F(R;R)? ~u=1:~x1++n:~xn??81in;~yi=~xi+~u? ??????? ??? ???? ????a2EnVect(e1;:::;ep)? ?? ???????(e1+a;:::;ep+a)??? f a(t) = cos(at)?

F(R;R)?

?????? ??? ???? ?? E?

FG=F0G0=E??F0G?

FF0(G\G0) =E?

??????n2N??E=Rn[X]? ???? ????i2J0;nK? ?? ???? F i=P2E8j2J0;nKn fig;P(j) = 0?

E=F0 Fn?

n i=1Ei=n i=1Fi? ??????? ???Ei=Fi? E? ??????P1=X2+ 1?P2=X2+X1??P3=X2+X? ??????? ??? ?? ???????(P1;P2;P3)??? ??? ???? ??K2[X]? ????k2 f0;:::;ng? ?? ????Pk= (X+ 1)k+1Xk+1? ??????? ??? ?? ???????(P0;:::;Pn)??? ??? ???? ??Kn[X]? x7!P(x)sinx+Q(x)cosx????P;Q2Rn[X]? ??Pn(X+ 1)Pn(X) =Xn? R n[X]? ??????;2C??u;v2EE? ?? ???? ??????=a+ ib?=a0+ ib0???? a;b;a

0;b02R??u= (x;y)?v= (x0;y0)????x;y;x0;y02E? ?? ?

:(u+v) = (a+ ib):(x+x0;y+y0) = (ax+ax0byby0;ay+ay0+bx+bx0) =:u+:v? (+):u= ((a+a0) + i(b+b0)):(x;y) = (ax+a0xbyb0y;ay+a0y+bx+b0x) =:u+:u? :(:u) = (a+ ib)(a0xb0y;a0y+b0x) = ((aa0bb0)x(ab0+a0b)y;(aa0bb0)y+ (ab0+a0b)x) = ():u

1:u=u?

??? ? ?? ????? ??? ??? (0;0)? ???? ??????~u= (x;y;z)??~v= (x0;y0;z0)????x+yz= 0??x0+y0z0= 0? ?? ? ?????~u+~v= (x+x0;y+y0;z+z0)???? (x+x0)+(y+y0)(z+z0) =(x+yz)+(x0+y0z0) = 0???? ~u+~v2F? GR3?~o= (0;0;0)2G???(0;0;0) = (ab;a+b;a3b)????a=b= 0? ???? ????;2R?~u;~v2G? ?? ???? ??????~u= (ab;a+b;a3b)?? ~v= (a0b0;a0+b0;a03b0)????a;b;a0;b02R? ?? ? ????? ~u+~v=:::= (a00b00;a00+b00;a003b00)????a00=a+a0??b00=b+b0 8>>< >:x=ab y=a+b z=a3b x+yz= 0()8 >:x=ab y=a+b z=a3b a+ 3b= 0()8 >:x=4b y=2b z=6b a=3b? ?????F\G=(4b;2b;6b)b2R=(2c;c;3c)c2R?

FRN?0 = (0)n2N2F???8n2N;0 =n:0 + 0?

??????;2R??(un);(vn)2F? ?? ? (un) +(vn) = (un+vn) ???? ???? ????n2N? u n+2+vn+2=(nun+1+un)+(nvn+1+vn) =n(un+1+vn+1)+un+vn ????(un) +(vn)2F? ???F F([a;b];R)??~02F? (f+g)0(a) =f0(a) +g0(b) =f0(b) +g0(b) = (f+g)0(b) ????f+g2F? ???G F([a;b];R)??~02G? Z b a (f+g)(t)dt=Z b a f(t)dt+Z b a g(t)dt= 0 ????f+g2G? !RC??02!R???0 =!0? ??????;2R??z;z02!:R?? ???? ??????z=!x??z0=!x0????x;x02R?? ?? ?(z+z0) =!(:x+x0)????x+x02R????z+z02!R?

FE??0E2F???

E= 0:u1++ 0:un?

??????;2K??x;y2F? ?? ???? ?????? x=1u1++nu??y=1u1++nun????i;i2K? ?? ? ????? x+y= (1+1)u1++ (n+n)un

8i2 f1;:::;ng;ui=1u1++nun

j=i;j=(

1??i=j

0??????

?????ui2F?

E?0 = 00????02 C????02?

??????h;h02? ?? ???? ??????h=fg??h0=f0g0????f;g;f0;g02 C? ?? ? ?????h+h0= (f+f0)(g+g0)????(f+f0);(g+g0)2 C? ????h2? ?? ???? ??????h=fg????f;g2 C?

80? ?? ?h=fg????f;g2 C?

8 <0? ?? ?h= ()g(f)????()g;()f2 C?

???? ??? ???? ???h2? ??????u+v2F? F=G? v2F\H? ?????u;v2F?? ?x2F?? ?????u2G??v2H?? ?u+v2G+H? ??? ?????(F\G) + (F\H)F\(G+H)? ???? x2F+ (G\H)? ?? ???? ??????x=u+v????u2F??v2G\H? ?????u2F??v2G?? ?x2F+G?? ?? ????x2F+H???? x2(F+G)\(F+H)? ?????? ?? ?????x+y2F?? ?????y= (x+y)x2F? ?????GF?

F+ (G\H)F+G??F+ (G\H)F+H????

F+ (G\H)(F+G)\(F+H)?

????~x2(F+G)\(F+H)? ?? ?~x2F+G=G??~x=~u+~v????~u2F?? ~v2H? ~v=~x~u2G????~v2G\H????x2F+ (G\H)? ????~x2(F+ (G\F0))\(F+ (G\G0))? ?? ???? ??????~x=~u+~v????~u2F??~v2G\F0??~x=~u0+~v0????~u02F?? ~v

02G\G0?

~u~u0=~v0~v2F\G=F0\G0?~v=(~v0~v) +~v02G0???? ~v2G\F0\G0=F\GF????~x=~u+~v2F? ?????

Vect(A\B)Vect(A)\Vect(B)?

?? ???? ??????(2;+;2);2R= Vect(x;y) ????x= (2;1;0)??y= (0;1;2)? ?? ?u=12 (x+y)??v=12 (xy)????u;v2Vect(x;y)????

Vect(u;v)Vect(x;y)?

u=x+y()8 := 1 += 1 +a= 2()8 := 1 = 2 a= 1=2? u2Vect(x;y)()a= 1=2 ?? ?????u=x+ 2y? x;u2Vect(x;y)????Vect(x;u)Vect(x;y)? x;y2Vect(y;u)????Vect(x;y)Vect(y;u)? y;u2Vect(x;u)????Vect(y;u)Vect(x;u)?

F C1(R;R)??~o2F?

??????;2R??f;g2F? (f+g)(0) =f(0) +g(0) = 0 (f+g)0(0) =f0(0) +g0(0) = 0 ????f+g2F? ??????;2R??f;g2G? ?? ??????a;b;c;d2R???? ???

8x2R;f(x) =ax+b??g(x) =cx+d

(f+g)(x) =ex+f e=a+c2R??f=b+d2R ????f+g2G? ????h2F\G? ?? ??????a;b2R???? ???

8x2R;h(x) =ax+b

???h2G? ??h2F????h(0) =b= 0??h0(0) =a= 0????h(x) = 0????h= ~o?

F\G=~0?

????h2 C1(R;R)? ??????a=h0(0)2R?b=h(0)?g:x7!ax+b??f=hg? ?? ????f(0) =h(0)b= 0??f0(0) =h0(0)a= 0????f2F?

F+G=C1(R;R)?

F C([1;1];C)??~02F???R1

10dt= 0?

??????;2C??f;g2F? ?? ? Z 1

1(f+g)(t)dt=Z

1f(t)dt+Z

1g(t)dt= 0

????f+g2F? ??????;2C??f;g2G? ?? ?f+g2G??? ?? ??? ????? ??? ????? ??? ???????h2F? ?? ?Z1

1h(t)dt=Z

1Cdt= 2C= 0?? ????h=~0? ?????

F\G=~0?

????h2 C([1;1];C)? ??????C=R1 C ??f=hg?

1f(t)dt=R1

1h(t)dtC= 0????

f2F?

F+G=C([1;1];C)?

HKn?~0 = (0;:::;0)2H???0 ++ 0 = 0?

??????;2K??x= (x1;:::;xn)2H?~y= (y1;:::;yn)2H? ?? ? x+~y= (x1+y1;:::;xn+yn) (x1+y1) ++ (xn+yn) =(x1++xn) +(y1++yn) = 0 ????x+~y2H? ????v2H\Vect(u)? ?? ???? ??????v=u= (;:::;)???v2Vect(u)? ??v2H????++= 0????= 0?? ????v= 0? ?????

H\Vect(u) =f0g?

????v= (v1;:::;vn)2Kn? ??????=1n (v1++vn)?~y=u??x=v~y? x

1++xn= (v1) ++ (vn) = (v1++vn)n= 0

????x2H? ?????

H+ Vect(u) =Kn?

????f2F\G? ?? ???? ??????f=:sin+:cos? ?? ????f(0) =f(=2) =f()????? ?==????== 0????f= 0? ?=f(0)f()2 ?h=sin+cos?? g=fh? ?? ?f=g+h????g2F??h2G? ??? ?? ??? ?? ??? x3=x2x1?? ???x3=x1? af

1+bf2+cf3+df4= 0?

8x2[0;2];(a+bx)cosx+ (c+dx)sinx= 0?

????x= 0??x=?? ??????? ?? ??????? ? a= 0 a+b= 0 ????a=b= 0? ????x=2 ??x=32 c+d=2 = 0 c+ 3d=2 = 0 ????c=d= 0?

8x2R;0+1ex++nenx= 0?

8x2R;1ex++nenx= 0

1+2ex++ne(n1)x= 0?

2=:::=n= 0?

(1+1(1++n)):~x1++ (n+n(1++n)):~xn=~0 8>< :(1+1(1++n)) = 0 (n+n(1++n)) = 0? (1++n)(1 + (1++n)) = 0?

1==n= 0?

??1++n=1?????1~y1++n~yn=~0?

1++n6=1?

1(e1+a) ++p(ep+a) = 0E?

?? ?1e1++pep=(1++p):a? ??1++p6= 0????? a=1e1++pep

1++p2Vect(e1;:::;ep)?

??1++p= 0?????1e1++pep= 0E????1=:::=p= 0? x7!sinx??x7!cosx?

1fa1++nfan= 0? ???? ????i2 f1;:::;ng? ??i6= 0?????

????n= 1? ??

1fa1++n+1fan+1= 0 (1)

aquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

[PDF] espaces-vectoriels.pdf Montrer que E × E est

F\G=F+G()F=G?

FG=)F+ (G\H) = (F+G)\(F+H)?

Vect(u;v) =(2;+;2);2R?

1f(t)dt= 0

C([1;1];C)?

H=(x1;x2;:::;xn)2Knx1+x2++xn= 0

F=f2Ef(0) =f(=2) =f()??G= Vect(sin;cos)?

1(x) = cosx?f2(x) =xcosx?f3(x) = sinx??f4(x) =xsinx?

F(R;R)?

FG=F0G0=E??F0G?

FF0(G\G0) =E?

E=F0 Fn?

0;b02R??u= (x;y)?v= (x0;y0)????x;y;x0;y02E? ?? ?

1:u=u?

FRN?0 = (0)n2N2F???8n2N;0 =n:0 + 0?

FE??0E2F???

E= 0:u1++ 0:un?

8i2 f1;:::;ng;ui=1u1++nun

1??i=j

0??????

E?0 = 00????02 C????02?

80? ?? ?h=fg????f;g2 C?

8 <0? ?? ?h= ()g(f)????()g;()f2 C?

F+ (G\H)F+G??F+ (G\H)F+H????

F+ (G\H)(F+G)\(F+H)?

02G\G0?

Vect(A\B)Vect(A)\Vect(B)?

Vect(u;v)Vect(x;y)?

F C1(R;R)??~o2F?

8x2R;f(x) =ax+b??g(x) =cx+d

8x2R;h(x) =ax+b

F\G=~0?

F+G=C1(R;R)?

F C([1;1];C)??~02F???R1

10dt= 0?

1(f+g)(t)dt=Z

1f(t)dt+Z

1g(t)dt= 0

1h(t)dt=Z

1Cdt= 2C= 0?? ????h=~0? ?????

F\G=~0?

1f(t)dt=R1

1h(t)dtC= 0????

F+G=C([1;1];C)?

HKn?~0 = (0;:::;0)2H???0 ++ 0 = 0?

H\Vect(u) =f0g?

1++xn= (v1) ++ (vn) = (v1++vn)n= 0

H+ Vect(u) =Kn?

1+bf2+cf3+df4= 0?

8x2[0;2];(a+bx)cosx+ (c+dx)sinx= 0?

8x2R;0+1ex++nenx= 0?

8x2R;1ex++nenx= 0

1+2ex++ne(n1)x= 0?

2=:::=n= 0?

1==n= 0?

1++n6=1?

1(e1+a) ++p(ep+a) = 0E?

1++p2Vect(e1;:::;ep)?

1fa1++nfan= 0? ???? ????i2 f1;:::;ng? ??i6= 0?????

1fa1++n+1fan+1= 0 (1)