LEÇON N˚ 32 : Relations métriques dans le triangle rectangle
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Relation métrique et trigonométrique dans un triangle
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Relations métriques et trigonométriques dans les triangles
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Première épreuve orale du CAPES de Mathématiques. Session 2023. Liste des Relations métriques et angulaires dans le triangle. 16. Solides de l'espace ...
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1) Relations metriques et trigonometriques
Consequence : a) ABC est rectangle en A si et seulement si A appartient au cercle de diametre [BC]. b) ABC est un triangle isocele en A si et suelemnt si la
LEÇON N? 32 : Relations métriques dans le triangle rectangle
32.1 Relations métriques. Définition 1 : Un triangle ABC est dit rectangle en A s'il admet un angle droit en A (autrement dit si (AB) ? (AC)).
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Relation métrique et trigonométrique dans un triangle
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1) Relations metriques et trigonometriques
Consequence : a) ABC est rectangle en A si et seulement si A appartient au cercle de diametre [BC]. b) ABC est un triangle isocele en A si et suelemnt si la
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LEÇONS À LORAL DU CAPES DE MATHÉMATIQUES
14 Relations métriques et angulaires dans le triangle. 191. 15 Solides dans l'espace : représentations et calculs de volume.
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26 Relations métriques dans le triangle I Théorème de Pythagore généralisé (formule du côté ou d'Al-Kashi) 1°) Formule Dans un triangle ABC quelconque
Applications.
Niveau : 1
ere SPre requis :
- Dans un triangle ABC,ˆ ˆˆA B Cπ+ + =
- Produit scalaire - Relation trigonometrique - Projection orthogonale - Theoreme de l"angle inscritOn se place dans un plan affine euclidien
? ( pas neccessairement orienté)Soit ABC un triangle non aplati.
ˆ ˆˆ, ,A B Cles mesures dans ][0,π des angles non orientés opposés aux cotés [][][], , , , ,B C A C A B.1) Relations metriques et trigonometriques
a) Formule d"AL-KASHITheoreme 1:
2 2 2 2 2 22 2 2ˆ2 .cos( )
ˆ2 .cos( )
ˆ2 .cos( )
a b c bc A b c a ac B c a b ab CPreuve :
2 2 2 2 2 2
2 2 2ˆ( ) ( ) 2 .
2 .cos( , )
A a BC BA AC AC AB AC AB AB AC a b c cb AB AC= = + = - = + -= + -Une preuve similaire pour les autres egalités.
Theoreme : (de pythagore)
ABC est rectangle en A
? 2 2 2a b c= +Remarque :
2 2 21. ( )2AB AC b c a= + -???? ????
BA Cac bÂB^
C b) Inegalité triangulaireLe theoreme 1 implique
2 2 2ˆcos( )
2 b c aAbc Or ][ˆ0,Aπ? donc 2 2 2 1 12 b c a bc 2 2 22 20 2 2
bc bc b c a bc ie b c a b c> ? - < + - <D"où
b c a b c- < < +Remarque : c"est une preuve que A,B,C aligné
?ABC triangle aplati c) Formule de la medianeOn note H le pied de la hauteur issue de M
On note I le milieu de [AB]
Theroeme de la mediane :
Soient
AetB deux points distincts du plan.
Alors pour tout point M du plan, on a :
1) 2 2.4ABMAMB MI= -???? ????
2) 22 2 222
ABMA MB MI+ = +
3)2 22 . 2 .MA MB IM AB IH AB- = =???? ???? ???? ????
Preuve :
1) 20. ( ).( ) .( ) .MAMB MI IA MI IB MI MI IA IB IAIB= + + = + + +
22 2 2.4
ABMAMB MI IA MI= - = -???? ????
2)2 2 2 2( ) ( )MA MB MI IA MI IB+ = + + +???? ??? ???? ???
2 2 2 2 2 2 22 2 .( ) 2 2MA MB MI MI IA IB IA IB MI IA+ = + + + + = +???? ??? ???
22 2 222
ABMA MB MI+ = +
3)2 2 2 2( ) ( )MA MB MI IA MI IB- = + - +???? ??? ???? ???
2 2 2 2 2 22 . 2 .MA MB MI IA MI IA MI IB MI IB- = + + - - -???? ??? ???? ???
2 22 .( ) 2 . 2 . 2 .MA MB MI IA IB MI BA IM AB IH AB- = - = = =???? ??? ??? ???? ???? ???? ???? ???? ????
M B HA IConsequence :
a) ABC est rectangle en A si et seulement si A appartient au cercle de diametre [BC]. b) ABC est un triangle isocele en A si et suelemnt si la mediane issue de A est la hauteur issue de A. A B C I A B CI=H Demonstration :
a)ABC rectangle en A ?2 2 2AB AC BC+ =
? 2 2122AI BC= car
22 2 222
BCAB AC AI+ = +
? 2 24 2BC AI BC AI= ? = ?( )A C I? de diametre [BC] b)ABC isocele en A ?2 20AB AC AB AC= ? - =
? 2 . 0 . 0IH BC IH BC I H= ? = ? =???? ???? ???? ???? d) Formule des sinus Theoreme : Soit S la surface du triangle ABC. On a1 1 1ˆ ˆˆsin( ) sin( ) sin( )2 2 2S bc A ac B ab C= = =
Preuve : 1
er cas : si ˆCest aigu 12S BC AH= ×
Or ˆsin( )AHCAC=d"où 1ˆsin( )2S BC AC C= × × 2 e cas : siˆCest obtu 12S BC AH= ×
Or ? ?ˆsin( ) sin( ) sin( )AHC HAC HACACπ= - = =D"où
1ˆsin( )2S BC AC C= × ×
De meme pour les autres angles.
A B H CTheoreme :
2ˆ ˆ ˆ2sin( )sin( ) sin( )a b c abcRSBA C= = = = où R est le rayon du cercle circonscrit au
triangle ABC.Preuve :
1 1 1ˆ ˆˆsin( ) sin( ) sin( )2 2 2S bc A ac B ab C= = =
Doncˆ ˆˆ2 sin( ) sin( ) sin( )S A B C
abc a b c= = =2 2 2 2 2
2 2 2 22 2( ) 2 .
2 2 cos( , )
² 2 (1 cos2 ) ( " )
² 4 sin
a BC BO OC BO OC BOOC a R R OB OC a R A theo de l angle inscrit a R A= = + = + += -D"où
2ˆsin
aRA=Corollaire :
4abc RS=
e) Formule de Héron Theoreme : Soit p le demi perimetre du troangle ABC i.e 2p a b c= + + Alors ( )( )( )S p p a p b p c= - - -Preuve :
2 2 2ˆcos
2 b c aAbc ( )( )ˆ1 cos 2 b c a a b cAbc ( ( ))( )ˆ1 cos 2 a b c a b cAbc Or 2 22 24 ( )( )( )ˆ ˆ ˆ ˆsin 1 cos (1 cos )(1 cos )p p a p b p cA A A Ab c
Par la formule des sinus, on obtient
2 22 24ˆsinSAb c=
D"où
2( )( )( )S p p a p b p c= - - -
f) Cercle inscrit Theoreme : Dans ABC, on a S pr=où rest le rayon du cercle inscrit dans ABCConsequence : ( )( )( )p a p b p crp- - -=
2) Relations trigonometrique
Proprietes : Avec les notations precedentes :
1)ˆ ˆˆsin sin sin
2 a b c pA B CR R 2)3 34ˆ ˆˆsin .sin .
8 8 2 ²
abc RS SA B sinCR R R= = = 3) ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆtan tan tan tan .tan .tanA B C A B C+ + =Preuve
1)Avec la formule des sinus
2)3 34ˆ ˆˆsin .sin . . .
2 2 2 8 8 2 ²
ora b c abc RS SA B sinCR R R R R R= = = = 3)ˆ ˆˆA B Cπ+ + =
ˆtan( ) tan( ) tan( )
ˆtan tanˆtan( )ˆˆ1 tan tan
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆtan tan tan tan tan tan A B CA B C C
A B CA BA B C A B C
+ = - +(pour les angles non plat non droit)3) Applications
a) Puits de petroleON construit un puit de petrole
A 530m du coin A du champ, a 210 M du coin C opposé, a 105m du coin BA quelle distance se trouve-t-il du 4
e coin ? PD= ?Resolution :formule de la mediane,
b) Carrés autour d"un triangle On considere un triangne ABC. On construit les carres ABEF et ACGH exterieurement au triangle.(plutot dire comme sur la figure » sinon le jury va tiquer sur exterieur)Montrer que FC=BH
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