[PDF] [PDF] Résolution par radicaux - Laboratoire de Mathématiques dOrsay

View - Download [PDF] Résolution par radicaux - Laboratoire de Mathématiques dOrsay

Previous PDF

Next PDF

Resolution par radicaux

Daniel PERRIN

Ce texte reprend le theme d'un TER (Travail d'

Etude et de Recherche

de master) pose a Orsay en 2006. Je me suis appuye sur la redaction de

Gwendoline Deveaux, que je remercie ici.

Dans ce TER, on utilise un peu de theorie de Galois. Les rudiments en sont rappeles dans l'annexe 1.

Table des matieres

1 Introduction historique 2

2 Groupes resolubles 4

2.1 Les denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Extensions radicales, extensions resolubles 6

3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Les denitions principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Quelques proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Le theoreme de Galois 10

4.1 L'enonce du theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.3 La preuve du theoreme, le sens direct . . . . . . . . . . . . . . 12

4.4 Le sens reciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Exemple 1 : l'equation de degre 3 17

5.1 Le cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.2 La resolvante de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.3 le calcul des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.4 Que faisait Cardan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.5 Retrouver le calcul du discriminant . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

5.6 Le cas \irreductible" de l'equation de degre 3 . . . . . . . . . 20

6 Exemple 2 : l'equation de degre 4 22

6.1 Le cadre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.2 La resolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6.3 Le calcul des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.4 Le calcul du groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7 Un probleme sur les equations de degre528

7.1 Le groupeD5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.2 La resolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7.3 Calcul du groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.4 Un exemple d'equation resoluble . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8 L'equation generale de degren31

8.1 L'equation generique de degren. . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8.2 L'equation generale de degren. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

9 Annexe 1 : un peu de theorie de Galois 34

9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9.2 Le groupe de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

9.3 Cl^oture normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

9.4 Separabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

9.5 Le theoreme de l'element primitif . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9.6 Le theoreme de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10 Annexe 2 : Discriminant 40

10.1 Denition et propriete caracteristique . . . . . . . . . . . . . . 40

10.2 Calcul du discriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1 Introduction historique

Sur ce theme, on pourra consulter [1] et [2].

Jusqu'au XIX-ieme siecle, la resolution des equations algebriques, c'est- a-dire des equations polynomialesanxn+an1xn1++a1x+a0= 0, est pratiquement synonyme d'algebre. Sans doute la resolution des equations de degre 1 est-elle connue depuis la nuit des temps, m^eme s'il faut attendre les mathematiciens arabes pour la formuler en termes d'equations et de manipulations (le motal-jabrdesigne d'ailleurs le passage d'un membre a l'autre d'une equation). Les Babyloniens savent, sur des exemples, resoudre des equations du second degre et des equations bicarrees. C'est aussi le cas 2 des Grecs, avec des methodes geometriques, et des Arabes. Ces derniers detiennent en substance la formule avec la racine carree du discriminant. Le plus important progres ensuite a lieu au debut du XVI-ieme siecle avec la resolution, par les algebristes italiens (Scipion del Ferro, Tartaglia, Cardan) de l'equation du troisieme degre par les formules dites maintenant de Cardan, par exemple pour l'equationx3+ax=b: x=3sb 2 +r b2 2+a3 3+3sb 2 r b2 2+a3 3: Cette expression, qui fait intervenir des racines carrees et cubiques est l'objec- tif de ce qu'on appelle uneresolution par radicauxde l'equation proposee, sujet qui constitue l'objet essentiel de ce texte. Dans la foulee de ces travaux, Ferrari, un eleve de Cardan parvient a resoudre en 1545 les equations de degre 4 en les ramenant a des equations de degres 2 et 3. C'est aussi en etudiant le cas \irreductible" de l'equation de degre 3 que Bombelli invente les imaginaires. Des lors, les mathematiciens (notamment Leibniz) tentent de passer aux degres plus grands, sans succes. Deux autres themes sont a signaler : le lien entre coecients et racines, reconnu par Viete et le fait qu'un polyn^ome de degrenadmettenracines (eventuellement multiples, eventuellement imaginaires) annonce par Girard, demontre par D'alembert (avec une preuve incomplete) et denitivement etabli par Gauss. En 1770, deux memoires, l'un de Lagrange et l'autre de Van der Monde reprennent le cas des equations de degre4, en expliquant1le succes des methodes des italiens et cette analyse conduit a penser que les m^emes methodes ne peuvent fonctionner en degre plus grand. C'est Abel qui montre en 1826 que l'equation generale de degre 5 ne peut ^etre resolue par radicaux apres des tentatives incompletes de Runi (1799) et de Cauchy (1815). Mais c'est a Galois que revient le merite d'achever ce travail en introduisant le groupe (de permutation des racines) qui porte son nom et qui permet de donner un critere pour qu'une equation soit resoluble par radicaux. Le but de ce texte est de montrer le theoreme de Galois qui fait le lien entre equations resolubles et groupes resolubles, de donner quelques exemples d'equations resolubles ou non resolubles et de prouver que l'equation generique

de degren5 n'est pas resoluble par radicaux.1. Lagrange parle de lametaphysique de la resolution des equations du troisieme et du

quatrieme degre. 3

2 Groupes resolubles

2.1 Les denitions

La notion de groupe resoluble { qui, comme son nom l'indique, est liee a la resolution des equations { generalise celle de groupe abelien. En verite, il y a deux generalisations possibles de la notion de groupe abelien, l'une, fondee sur le centre, est celle de groupe nilpotent, l'autre, sur les commutateurs, celle de groupe resoluble. Rappelons une denition :

2.1 Denition.SoitGun groupe. Lecommutateurdex;y2Gest

l'element[x;y] =xyx1y1. Bien entendu,xetycommutent si et seulement si [x;y] = 1 etGest commutatif si et seulement si tous ses commutateurs sont triviaux. La notion suivante est celle de groupe derive :

2.2 Denition.SoitGun groupe. Legroupe derivedeGest le sous-groupe

D(G)deGengendre par les commutateurs deG. On denit par recurrence la suite des groupes derives par la formuleDn(G) =D(Dn1(G)).

2.3Remarques.1) L'operationDest croissante : si l'on aHGon a

D(H)D(G).

2) Pour obtenir un exemple ou le mot \engendre" est essentiel, le lecteur

resoudra l'exercice suivant.

2.4Exercice.On considere le groupeG=SL(2;R).

1) Montrer qu'on aD(G) =G, donc queId est un produit de commu-

tateurs (consulter [7] au besoin).

2) Montrer queId n'est pas un commutateur dansG. Pour cela, on sup-

pose qu'on aId =MNM1N1avecM;N2Get on resout les questions suivantes. a) Montrer queNest conjugue deNdansG, en deduire qu'on a TrN=

0, puisN2+Id = 0 et queNest conjugue dansGL(2;R) deB=0 1

1 0 b) Montrer qu'on peut supposerN=B. c) Montrer que siMverieB=MBM1on a detM <0 et conclure.

La proposition suivante est evidente :

2.5 Proposition.Le groupe derive deGest un sous-groupe distingue dansG

et m^eme caracteristique (i.e. invariant par tout automorphisme). Le quotient G=D(G)est le plus grand quotient abelien deG(i.e. siNest un sous-groupe distingue deGet siG=Nest abelien, on aD(G)N). Le groupeGest abelien si et seulementD(G)est reduit a l'element neutre. 4 On peut maintenant denir la notion de groupe resoluble.

2.6 Proposition-Denition.SoitGun groupe. Les conditions suivantes

sont equivalentes :

1) Il existen2Ntel queDn(G) =f1g.

2) Il existe une suite de sous-groupesG0=f1g G1 Gn=G

tels que chaqueGiest distingue dansGet que chaque quotientGi+1=Gipour i= 0;:::;n1est abelien.

3) Comme 2) mais en supposant seulement queGiest distingue dans

G i+1. On dit queGestresolubles'il verie les proprietes ci-dessus. Demonstration.On montre 1) =)2) en posantGi=Dni(G) et 2) =)

3) est trivial. Pour 3) =)1) on montre par recurrence descendante suri

qu'on aDni(G)Gi. Pour le pas de recurrence, on aDni(G)Gi, donc D n(i1)(G)D(Gi) par la croissance deD, puisD(Gi)Gi1par 2.5.

2.2 Exemples

2.7 Proposition.1) Pourn2on aD(Sn) =An.

2) Pourn5on aD(An) =An.

3) Le groupeS2est abelien, les groupesS3etS4sont resolubles. Les

groupesSnetAnne sont pas resolubles pourn5.

Demonstration.Voir [7] Ch. 1x8.

2.3 Proprietes

2.8 Proposition.1) SiGest resoluble, tout sous-groupe et tout quotient de

Gest resoluble.

2) SiNetHsont resolubles et siGest extension deNparH(i.e. il

existe un sous-groupe distingue deGisomorphe aNdont le quotient est isomorphe aH), alorsGest resoluble. Demonstration.1) SupposonsGresoluble et soitHun sous-groupe deG. Comme on aDk(H)Dk(G) il est clair queHest resoluble. SoitNun sous-groupe distingue deGetp:G!G=Nla projection. On verie qu'on aD(G=N) =p(D(G)) (car on ap(ghg1h1) =p(g)p(h)p(g)1p(h)1) et, plus generalementDk(G=N) =p(Dk(G)), ce qui montre que le quotient est resoluble.

2) SiH=G=Nest resoluble, il admet une suite de sous-groupe distingues

H iHa quotientsHi+1=Hiabeliens. Sipest la projection deGsurH, les 5 c Hi:=p1(Hi) sont distingues dansGavec des quotients[Hi+1=cHi'Hi+1=Hi abeliens et, commeNest resoluble, on complete cette suite avec desNi distingues dansNa quotients abeliens, ce qui montre queGest resoluble2.

2.9 Proposition.Un groupe simple et resoluble est isomorphe aZ=pZpour

ppremier. Demonstration.Rappelons qu'un groupeGest simple s'il n'est pas reduit af1get si ses seuls sous-groupes distingues sont lui-m^eme etf1g. SiGest simple on a doncD(G) =GouD(G) =f1g. Dans le premier cas, on a D n(G) =GetGn'est pas resoluble. Dans le second il est abelien, donc a des sous-groupes distingues de tout cardinal diviseur dejGjet, comme il est simple, ce cardinal est donc premier.

2.10Remarque.Il resulte de ce qui precede que, dans la caracterisation

2) de 2.6, on peut supposer que les quotients sont non seulement abeliens,

mais cycliques d'ordre premier. En revanche on ne peut pas imposer cette condition dans la caracterisation 3) comme en temoigne l'exemple deA4 dont l'unique sous-groupe distingue est le groupeV4de Klein forme des doubles transpositionsi, groupe dont les seuls sous-groupes (distingues) sont engendres par lesiqui ne sont pas distingues dansA4.

3 Extensions radicales, extensions resolubles

3.1 Notations

Les rudiments de theorie des corps utilises ici (corps de rupture et de decomposition, etc.) peuvent ^etre trouves dans [7] ou [9]. Tous les corps consideres dans ce texte sont supposes commutatifs et, sauf mention expresse du contraire, de caracteristique 0. Une extension de corps est simplement une inclusionKL. On parle parfois de l'extensionL=K. Toutes les extensions sont supposees nies (i.e.

Lest unK-espace vectoriel de dimension nie).

Une tour est une suite de telles inclusionsK0K1 Kn. Le corps de decomposition d'un polyn^omeP2K[X] surKest note D K(P). C'est un corps engendre par les racines deP, il est unique a isomor-

phisme pres.2. On notera qu'ici c'est la caracterisation 3) qui donne le resultat car les sous-groupes

distingues dansNne le sont pas necessairement dansG. 6

3.2 Les denitions principales

Dans ce paragraphe, on formalise la denition de la resolution par radi- caux.

3.1 Denition.Une extensionKLest diteradicales'il existe une

tour

3:K=K0K1 Kn=Lavec, pour touti= 1;:::;n,

K i=Ki1(i)ouiverienii=ai2Ki1, avecni2N.

3.2Remarque.A chaque pas le nombre rajoutei=nipa

iest bien un radical et la presence de plusieurs extensions dans la tour signie que les elements deLs'obtiennent a partir deKpar adjonction successives de radicaux. On obtient ainsi par exemple des elements du type suivant : 3 p11

5s76p3

3 p2 +7q23 + 3p7:

3.3 Denition.Une extensionKLest diteresoluble(sous-entendu par

radicaux), s'il existe une extensionMdeLtelle queKMsoit radicale.

3.4 Denition.SoitP2K[X]un polyn^ome. On dit que l'equationP(x) = 0

estresoluble par radicauxsi l'extensionKDK(P)est resoluble.

3.5Remarques.1) Une equation est resoluble par radicaux si toutes ses ra-

cines s'ecrivent a l'aide de radicaux comme on l'a vu en 3.2. On pourrait ima- giner une denition plus faible ou l'on impose seulement qu'une des racines soit de cette forme. PourPirreductible, on verra que ces deux denitions reviennent au m^eme, voir 3.9.

2) La dierence entre extensions resolubles et radicales est un peu plus

subtile. On la comprendra mieux en regardant l'exemple des equations de degre 3 ou la dierence tient a la presence ou non de racines cubiques de l'unite, voir 5.7.

3) En caracteristiquep, la bonne notion fait intervenir non seulement

les equations radicalesxna= 0, mais aussi les equations de la forme x pxa= 0, voir [4] Ch. VIII,x6.

3.3 Quelques proprietes

3.3.1 Deux premiers resultats

3.6 Proposition.SoientKLMdes extensions.

1) SiM=Kest radicale,M=Ll'est aussi.

2) SiL=KetM=Lsont radicales,M=Kl'est aussi.3. Que l'on pourra dire radicale.

7 Demonstration.1) Si les radicauxiengendrent la tour surKils l'engendrent a fortiorisurL.

2) Il sut d'empiler les tours deL=KetM=L.

3.7Remarque.En revanche, siM=Kest radicale,L=Kne l'est pas necessairement,

voir 5.8.

3.8 Proposition.SoitL=Kune extension radicale etMune cl^oture normale

deLsurK(voir 9.5). Alors l'extensionM=Kest radicale. Demonstration.Rappelons4que siL=K(x1;:::;xm), si on appellePile polyn^ome minimal dexisurKet si on poseP=P1Pm, une cl^oture normale est un corps de decompositionM=DK(P). La demonstration se fait par recurrence sur le nombrend'etages d'une tour radicale deL=K. Pourn= 0 on aK=L=Met le resultat est evident. Supposons donc le resultat etabli pourn10 et passons an. On a une tourK=K0K1 Kn1Kn=LavecKi=Ki1(i) oui verienii=ai2Ki1. En particulierL=Kn1() avecr=a2Kn1. La cl^oture normaleLn1deKn1est de la formeDK(Q) et, par l'hypothese de recurrence, elle est radicale surK. CommeM=Kest normale,Ln1s'injecte dansM. SoitPle polyn^ome minimal5desurK. On a alorsM=DK(PQ) et, si=1;:::;ssont les racines dePdansM, on aM=Ln1(1;:::;s). Comme le groupe de GaloisG:= Gal(M=K) opere transitivement sur lesi (voir 9.14), il existegi2Gtel quegi() =i. On a doncri=gi()r= g i(r) =gi(a) et commeaest dansLn1et queLn1=Kest normale, le conjuguegi(a) est dansLn1. On voit que lesisont des radicaux d'elements deLn1, de sorte que l'extensionLn1Mest radicale et donc aussiM=K en vertu de 3.6.

3.9Remarque.Ce resultat permet de repondre a la question soulevee en

3.5.1 : si l'une des racinesd'un polyn^omeirreductiblePs'exprime sous

forme radicale, alors la propriete vaut pour toutes. En eet, l'hypothese si- gnie queK() est inclus dans une extensionLradicale, dont la cl^oture normaleMest aussi radicale. Mais, commeM=Kest normale, elle contient

les autres racines deP, qui sont donc aussi radicales.4. Attention, cette demonstration n'est pas completement evidente et est assez

emblematique des dicultes de la theorie de Galois pour les debutants.

5. Attention, il faut prendre le polyn^ome minimal surKsous peine de perdre des

conjugues. 8

3.3.2 Quelques resultats auxiliaires

La problematique de ce paragraphe est la suivante. On suppose qu'on a deux extensionsKLetKMet il s'agit de construire un corpsNqui coie les deux, c'est-a-dire tel que l'on aitLNetMN. Attention, tel quel, ce n'est pas toujours possible. Par exemple, si on prendk=Ret siLetMsont les sous-corpsR(i) etR(j) du corps des quaternionsH, il n'existe pas de surcorps commutatifNqui les contienne tous les deux (sinon, l'equationx2+1 = 0 aurait au moins quatre racinesi;jdansN). Il faut donc ^etre plus precis et utiliser un homomorphisme de corps (necessairement injectif, on parle de plongement). Le lemme est alors le suivant :

3.10 Lemme.SoientKLetKMdeux extensions. Il existe un corps

NcontenantMet un plongementj:L!Nqui est l'identite surK. Demonstration.Puisqu'on a suppose que les corps sont de caracteristique zero, on peut supposerL=K(x) par le theoreme de l'element primitif, voir 9.10. SoitPle polyn^ome minimal dexsurKet posonsN=DM(P). C'est un corps contenantMet, comme il contient toutes les racines deP, il contient un corps de rupture dePsurK, qui est isomorphe aLpar un

K-isomorphisme (voir [7], Ch. III, 1.28).

L'intervention d'un plongement est innocente du point de vue de la radi- calite, comme le montre le lemme suivant :

3.11 Lemme.SoitKLune extension radicale etj:L!L0unK-

isomorphisme. AlorsKL0est radicale. Demonstration.Il sut de transporter la tour par l'isomorphismej.

3.12 Corollaire.SoientKLetKMdeux extensions avecL;M

contenus dansN. On suppose queM=Kest radicale et on noteLMle sous- corps deNengendre parLetM. Alors l'extensionLLMest radicale. Demonstration.On a la tour radicaleKK(1) K(1;:::;n) = Met elle donne la tour radicaleLL(1) L(1;:::;n) =LM. Nous aurons besoin du resultat suivant (utilise par Abel dans son memoire) :

3.13 Lemme.SoitKMune extension radicale avecK6=M. Il existe

une tourK=K0K1 Kr=Mtelle que, pour chaquei= 1;:::;n, K isoit de la formeKi=Ki1(i)avecpii=ai,ai2Ki1etpipremier. Demonstration.On se ramene au cas ouM=K() avecn=a,a2Ket nentier,n >1. Sinn'est pas premier, on prend un facteur premierpden, on considere=n=pet on ap=a. On a donc decompose l'extension en KK()K() et on conclut en raisonnant par recurrence surn(puisque n=p=). 9

3.3.3 La troisieme proposition

3.14 Proposition.On considere des extensionsKLM. AlorsM=K

est resoluble si et seulement siL=KetM=Lsont resolubles. Demonstration.SiM=Kest resoluble,Mest plongee dans une extension radicaleNdeK. Il en resulte aussit^ot queL=Kest resoluble et, commeN=L est radicale par 3.6,M=Lest aussi resoluble. Inversement, si les deux etages sont resolubles, on peut plongerLdans L

0avecL0=Kradicale etMdansM0avecM0=Lradicale. On applique alors

3.10 aLM0etLL0: il existeN0avecM0N0et un plongement

j:L0!N0, d'imageL00, qui est l'identite surL. On applique ensuite 3.12 avecLL00etLM0, tous contenus dansN0, qui montre queL00M0est radicale surL00. Mais, par 3.11,L00est radicale surK, doncL00M0aussi par transitivite. CommeMest contenue dansL00M0, elle est donc resoluble.

4 Le theoreme de Galois

4.1 L'enonce du theoreme

L'enonce du theoreme met en parallele les deux acceptions de resoluble :

4.1 Theoreme. (Galois)SoitKLune extension galoisienne. Alors

l'extension est resoluble si et seulement si son groupe de Galois l'est.

4.2 Un exemple

Le theoreme de Galois permet de donner des exemples d'equations non resolubles par radicaux.

4.2 Proposition.L'equationx56x+3 = 0n'est pas resoluble par radicaux

surQ. Demonstration.Le critere d'Eisenstein assure queFest irreductible surQ. Pour voir que l'equation n'est pas resoluble, il sut de montrer que le groupe de Galois de cette equation estS5, dont on a vu en 2.7 qu'il est non resoluble. Comme l'etude de la fonctionx7!x56x+ 3 montre que le polyn^omeFa exactement trois racines reelles, cela resulte du lemme suivant :

4.3 Lemme.Soitpun nombre premier3,F2Q[X]un polyn^ome

irreductible de degrep. On suppose queFadmet, dansC,p2racines reelles et2racines imaginaires conjuguees. Alors on aGal(F)'Sp. 10 Demonstration.(du lemme) On considere la conjugaison complexe. C'est un automorphisme de corps, qui xeQet laisse invariant le corpsDQ(F). De plus, commeFadmetp2 racines reelles (invariantes par) et deux imagi- naires conjuguees (echangees par),, vue comme permutation des racines, est une transposition. Par ailleurs, comme le polyn^omeFest irreductible, le groupe Gal(F) est transitif sur les racines deF(voir 9.14). Son cardinal est donc multiple dep, donc il contient un element d'ordrep, qui, commep est premier, est necessairement unp-cycle. Mais on sait qu'unp-cycle et une transposition engendrentSpet on a le resultat.

4.4Remarques.1) L'exemple ci-dessus fournit des exemples d'equations de

tout degren5 non resolubles par radicaux au sens ou toutes leurs racines ne sont pas radicales. Il sut en eet de prendrexn5(x56x+3) = 0. Bien entendu, c'est une tricherie honteuse ...

2) Plus serieusement, on peut montrer que le groupe de Galois de l'equation

x nx1 = 0 est toujours egal aSn, mais c'est beaucoup plus dicile, voir [8] pour l'irreductibilite du polyn^ome et [5] pour le calcul du groupe de Ga- lois. Pour un exemple plus accessible (de degre premier), le lecteur traitera le tres bel exercice suivant (emprunte a [3]x3.6 Exercice 7).

4.5Exercice.Soitpun nombre premier. Le but de l'exercice est de construire

un polyn^omeP2Q[X], irreductible de degrepet de groupe de GaloisSp, de sorte que l'equationP(x) = 0 n'est pas resoluble par radicaux pourp5.

1) Traiter les casp= 2;3. On suppose desormaisp5.

2) On considere le polyn^ome (de degrep) :

Q(X) = (X2+m)(X2)(X4)(X2(p2))

oumest un entier pair positif. a) Montrer que les nombresQ(1),Q(3),Q(5), ...,Q(2p3) sont tous plus grands que 2 en valeur absolue et de signes alternes. b) On poseP(X) =Q(X)2. Montrer queP(X) admet au moinsp2 racines reelles. c) On rappelle que, si le polyn^omeXn+a1Xn1+a2Xn2++anadmet les racinesx1;:::;xn, on aPn i=1x2i=a212a2. En deduire que la somme des carres des racines est la m^eme pourPetQet qu'elle est negative simest assez grand. d) Montrer quePadmet exactement deux racines complexes conjuguees. e) Montrer quePest irreductible (utiliser le critere d'Eisenstein) etquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

[PDF] exercices radicaux 3ème

[PDF] calcul surface taxable

[PDF] définition surface de plancher code urbanisme

[PDF] surface de plancher logement collectif

[PDF] surface de plancher garage

[PDF] surface taxable garage

[PDF] ou trouver la surface taxable de sa maison

[PDF] technique pose carrelage mural pdf

[PDF] les outils du carreleur pdf

[PDF] technique pose carrelage sol pdf

[PDF] pose de carrelage mural dans un angle

[PDF] qualité de pose de carrelage pdf

[PDF] pose carrelage angle rentrant

[PDF] cours carrelage pdf

[PDF] carrelage dangle