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Recueil d"annales en Math´ematiques

Terminale S - Enseignement obligatoire

Probl `emes d"analyse

Fr´ed´eric Demoulin

1

Derni`ere r´evision : 8 aoˆut 2005

1 frederic.demoulin@voila.fr

Annales Terminale SProbl`emes d"analyse

Tableau r´ecapitulatif des exercices

?indique que cette notion a ´et´e abord´ee dans l"exercice

F.R. : fonctions rationnelles; E.D. : ´equations diff´erentielles;S.F. : suites de fonctions; S.N. : suites num´eriques

1Am´erique du NordJuin 2004????

2AsieJuin 2004???

3Centres ´etrangersJuin 2004?????

4IndeAvril 2004????

5Nouvelle-Cal´edonieMars 2004???

6Am´erique du SudNov 2003???

7Nouvelle-Cal´edonieNov 2003?????

8Antilles-GuyaneSept 2003????

9FranceSept 2003????

10Polyn´esieSept 2003???

11Am´erique du NordJuin 2003????

12Antilles-GuyaneJuin 2003???

13AsieJuin 2003???

14Centres ´etrangersJuin 2003?

15FranceJuin 2003??

16La R´eunionJuin 2003???

17LibanJuin 2003???

18Polyn´esieJuin 2003????

19IndeAvril 2003???

20Nouvelle-Cal´edonieMars 2003???

21Am´erique du SudNov 2002???

22Nouvelle-Cal´edonieNov 2002???

23Antilles-GuyaneSept 2002???

24FranceSept 2002???

25Polyn´esieSept 2002???

26Am´erique du NordJuin 2002???

27Antilles-GuyaneJuin 2002????

28AsieJuin 2002??

29Centres ´etrangersJuin 2002?????

30FranceJuin 2002???

31La R´eunionJuin 2002????

32LibanJuin 2002

33Polyn´esieJuin 2002????

Fr´ed´eric DemoulinPage 1

Annales Terminale SProbl`emes d"analyse

Exercice 1 Am´erique du Nord, Juin 2004

Partie A

On donne un entier naturelnstrictement positif, et on consid`ere l"´equation diff´erentielle : (En)y?+y=xn n!e-x.

1. On fait l"hypoth`ese que deux fonctionsgeth, d´efinies et d´erivables surR, v´erifient, pour toutxr´eel :

g(x) =h(x)e-x. (a) Montrer quegest solution de (En) si et seulement si, pour toutxr´eel : h ?(x) =xn n!. (b) En d´eduire la fonctionhassoci´ee `a une solutiongde (En), sachant queh(0) = 0.

Quelle est alors la fonctiong?

2. Soit?une fonction d´erivable surR.

(a) Montrer que?est solution de (En) si et seulement si?-gest solution de l"´equation : (F)y?+y= 0. (b) R´esoudre (F). (c) D´eterminer la solution g´en´erale?de l"´equation (En). (d) D´eterminer la solutionfde l"´equation (En) v´erifiantf(0) = 0.

Partie B

Le but de cette partie est de montrer que :

lim n→+∞n k=01k!= e (on rappelle que par convention 0! = 1).

1. On pose, pour toutxr´eel,

f

0(x) = e-x, f1(x) =xe-x.

(a) V´erifier quef1est solution de l"´equation diff´erentielle :y?+y=f0.

(b) Pour tout entier strictement positifn, on d´efinit la fonctionfncomme la solution de l"´equation

diff´erentielley?+y=fn-1v´erifiantfn(0) = 0. En utilisant la partieA, montrer par r´ecurrence que, pour toutxr´eel et tout entiern?1 : f n(x) =xn n!e-x.

2. Pour tout entier natureln, on pose :

I n= ?1 0 f n(x) dx.(on ne cherchera pas `a calculerIn)

(a) Montrer, pour tout entier naturelnet pour toutx´el´ement de l"intervalle [0; 1], l"encadrement :

0?fn(x)?xn

n!.

En d´eduire que 0?In?1

(n+ 1)!, puis d´eterminer la limite de la suite (In).

Fr´ed´eric DemoulinPage 2

Annales Terminale SProbl`emes d"analyse

(b) Montrer, pour tout entier naturelknon nul, l"´egalit´e : I k-Ik-1=-1 k!e-1. (c) CalculerI0et d´eduire de ce qui pr´ec`ede que : I n= 1-n k=0e -1k!. (d) En d´eduire finalement : lim n→+∞n k=01k!= e.

Exercice 2 Asie, Juin 2004

Partie A -

´Etude d"une fonctionf

On appellefla fonction d´efinie sur l"intervalleI= -12; +∞ par : f(x) = ln(1 + 2x).

1. Justifier quefest strictement croissante sur l"intervalleI.

2. D´eterminer la limite def(x) quandxtend vers-1

2.

3. On consid`ere la fonctiongd´efinie sur l"intervalleIparg(x) =f(x)-x.

(a)

´Etudier les variations degsur l"intervalleI.

(b) Justifier que l"´equationg(x) = 0 admet deux solutions : 0 et une autre, not´eeβ, appartenant `a

l"intervalle [1; 2]. (c) En d´eduire le signe deg(x), pourxappartenant `a l"intervalleI.

4. Justifier que pour tout r´eelxappartenant `a l"intervalle ]0;β[,f(x) appartient aussi `a ]0;β[.

Partie B -

´Etude d"une suite r´ecurrente

On appelle (un)n?0la suite d´efinie parun+1=f(un) etu0= 1.

1. D´emontrer par r´ecurrence que pour tout entier natureln, unappartient `a ]0;β[.

2. D´emontrer par r´ecurrence que la suite (un)n?0est croissante.

3. Justifier que la suite (un)n?0est convergente.

Partie C - Recherche de la limite de la suite (un)n?0

1. Montrer que pour tout r´eelx?1,f?(x)?2

3.

2. Recherche de la limite de la suite (un)?0

(a) D´emontrer que pour tout entier natureln, u nf?(t) dt?2

3(β-un).

Fr´ed´eric DemoulinPage 3

Annales Terminale SProbl`emes d"analyse

(b) En d´eduire que pour tout entier natureln, β-un+1?23(β-un), puis `a l"aide d"un raisonnement

par r´ecurrence que 0?β-un? ?2 3 ?n (c) Quelle est la limite de la suite (un)n?0?

Exercice 3 Centres ´etrangers, Juin 2004

On s"int´eresse `a des courbes servant de mod`ele `a la distribution de la masse salariale d"une entreprise. Les

fonctionsfassoci´ees d´efinies sur l"intervalle [0; 1] doivent v´erifier les conditions suivantes :

(1)f(0) = 0 etf(1) = 1; (2)fest croissante sur l"intervalle [0; 1] (3) Pour tout r´eelxappartenant `a l"intervalle [0; 1],f(x)?x.

Le plan est rapport´e au rep`ere orthonormalR= (O;-→ı ,-→?), unit´e graphique 10 cm.

Partie A -

´Etude d"un mod`ele

On appellegla fonction d´efinie sur l"intervalle [0; 1] par : g(x) =xex-1.

1. Prouver quegv´erifie les conditions (1) et (2).

2. Montrer queg(x)-x=x

e(ex-e) et en d´eduire quegv´erifie la condition (3).

3. Tracer les droites d"´equationsy=xetx= 1 et la courbe repr´esentative degdans le rep`ereR.

Partie B - Un calcul d"indice

Pour une fonctionfv´erifiant les conditions (1), (2), (3), on d´efinit un indiceIf´egal `a l"aire exprim´ee en

unit´e d"aire, du domaine plan d´elimit´e par les droites d"´equationsy=x,x= 1 et la courbe repr´esentative

def.

1. Justifier queIf=

?1 0 [x-f(x)]dx. 2. `A l"aide d"une int´egration par parties, calculer l"indiceIgassoci´e `ag.

3. On s"int´eresse aux fonctionsfnd´efinies sur l"intervalle [0; 1] par :

f n(x) =2xn 1 +x

o`unest un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. On admet que ces fonctions v´erifient les conditions

(1), (2), (3) et on se propose d"´etudier l"´evolution de leur indiceInlorsquentend vers l"infini.

(a) On poseIn= ?1 0 [x-fn(x)] dxetun= ?1 0 f n(x) dx. Prouver queIn=1 2-un. (b) Comparer tn+1

1 +tettn1 +tsur l"intervalle [0; 1]; en d´eduire que la suite (un) est d´ecroissante.

(c) Prouver que pour tout r´eeltappartenant `a l"intervalle [0; 1] : 0?tn

1 +t?tn.

Fr´ed´eric DemoulinPage 4

Annales Terminale SProbl`emes d"analyse

(d) En d´eduire que pour tout entier natureln?2, 0?un?2n+ 1. (e) D´eterminer alors la limite deInquandntend vers l"infini.

Exercice 4 Inde, Avril 2004

Partie A -

´Etude d"une fonction auxiliaire

Soit?la fonction d´efinie surRpar?(x) = (x2+x+ 1)e-x-1.

1. (a) D´eterminer les limites de?en-∞et en +∞.

(b) ´Etudier le sens de variation de?puis dresser son tableau de variation surR.

2. D´emontrer que l"´equation?(x) = 0 admet deux solutions dansR, dont l"une dans l"intervalle [1; +∞[,

qui sera not´eeα.

D´eterminer un encadrement d"amplitude 10

-2deα.

3. En d´eduire le signe de?(x) surRet le pr´esenter dans un tableau.

Partie B -

´Etude de la position relative de deux courbes et calcul d"aire Sur le graphique ci-dessous sont trac´ees les courbes repr´esentatives de deux fonctionsfetg.

Les fonctionsfetgsont d´efinies surRpar :

f(x) = (2x+ 1)e-xetg(x) =2x+ 1 x2+x+ 1.

Leurs courbes repr´esentatives dans un rep`ere orthogonal (O;-→ı ,-→?) sont not´eesCfetCg.

1. D´emontrer que les deux courbes passent par le pointAde coordonn´ees (0; 1) et admettent en ce point

la mˆeme tangente.

2. (a) D´emontrer que, pour tout nombre r´eelx:

f(x)-g(x) =(2x+ 1)?(x) x2+x+ 1 o`u?est la fonction ´etudi´ee dans la partieA. (b) `A l"aide d"un tableau, ´etudier le signe def(x)-g(x) surR. (c) En d´eduire la position relative des courbesCfetCg.

3. (a) Montrer que la fonctionhd´efinie surRpar :

h(x) = (-2x-3)e-x-ln ?x2+x+ 1 est une primitive surRde la fonctionx?→f(x)-g(x).

(b) En d´eduire l"aireA, exprim´ee en unit´es d"aire, de la partie du plan d´elimit´ee par les deux courbes

C fetCget les droites d"´equationsx=-1

2etx= 0.

Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie `a 10 -4de cette aire.

Fr´ed´eric DemoulinPage 5

Annales Terminale SProbl`emes d"analyse

-1 0 1 2 3 -1-0,50,00,51,01,5 Exercice 5 Nouvelle-Cal´edonie, Mars 2004 (non relu)

Partie A

On consid`ere la fonctionfd´efinie surRpar :

f(x) = 1 + e-x-2e-2x

etCsa courbe repr´esentative dans un plan rapport´e `a un rep`ere orthogonal (O;-→ı ,-→?), (unit´es graphiques :

3 cm sur l"axe des abscisses et 8 cm sur l"axe des ordonn´ees).

1. (a) Soit le polynˆomePd´efini surRparP(X) = 1 +X-2X2.

´Etudier le signe deP(X).

(b) En d´eduire le signe def(x) surR. (c) Que peut-on en d´eduire pour la courbeC?

2. D´eterminer la limite de la fonctionfen +∞. Qu"en d´eduire pour la courbeC?

3. V´erifier quef(x) = e-2x

?e2x+ ex-2 ?, puis d´eterminer la limite defen-∞.

4. (a) Soitf?la fonction d´eriv´ee de la fonctionf, calculerf?(x).

(b) Montrer quef?(x) a le mˆeme signe que (4-ex), puis ´etudier le signe def?(x). (c) Dresser le tableau de variation def. On montrera que le maximum est un nombre rationnel.

Fr´ed´eric DemoulinPage 6

Annales Terminale SProbl`emes d"analyse

5. (a) D´emontrer que la courbeCet la droiteDd"´equationy= 1 n"ont qu"un point d"intersectionA

dont on d´eterminera les coordonn´ees. (b) ´Etudier la position de la courbeCpar rapport `a la droiteD.

6. D´eterminer une ´equation de la tangenteT`a la courbeCau pointA.

7. Tracer les droitesDetT, puis la courbeC.

Partie B -

´Etude d"une suite

1. Calculer l"aire, en unit´es d"aire, de la partie de plan limit´ee par la courbeC, l"axe des ordonn´ees et la

droiteD.

2. On consid`ere la suite (un) d´efinie surN?par :

u n= ?n+ln2 (n-1)+ln2[f(x)-1] dx (a) D´emontrer que la suite (un) est `a termes positifs. (b) Donner une interpr´etation g´eom´etrique de (un).

3. (a) En utilisant le sens de variation def, montrer que, pour toutn?2 :

six?[(n-1) + ln2;n+ ln2] alorsf(n+ ln2)-1?f(x)-1?f[(n-1) + ln2]-1. (b) En d´eduire que, pour toutn, n?2, on a : f(n+ ln2)-1?un?f[(n-1) + ln2]-1. (c) D´emontrer que la suite (un) est d´ecroissante `a partir du rang 2. (d) Montrer que la suite (un) est convergente.

4. Soit la suite (Sn) d´efinie pourn >0, par :

S n=u1+u2+u3+...+un. (a)

´EcrireSn`a l"aide d"une int´egrale.

(b) Interpr´eter g´eom´etriquementSn. (c) CalculerSnet d´eterminer la limite de la suite (Sn).

Exercice 6 Am´erique du Sud, Novembre 2003

On consid`ere la fonctionfd´efinie surRpar :

f(x) =1 ex+ e-x

et on d´esigne par Γ sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthogonal (O;-→ı ,-→?).

Partie A

1. ´Etudier la parit´e def. Que peut-on en d´eduire pour la courbe Γ?

2. D´emontrer que, pour tout r´eelxpositif ou nul, e-x?ex.

3. (a) D´eterminer la limite defen +∞.

(b)

´Etudier les variations defsur [0; +∞[.

Fr´ed´eric DemoulinPage 7

Annales Terminale SProbl`emes d"analyse

4. On consid`ere les fonctionsgethd´efinies sur [0; +∞[ parg(x) =1exeth(x) =12ex.

Sur le graphique ci-dessous sont trac´ees, dans le rep`ere (O;-→ı ,-→?), les courbes repr´esentatives deg

eth, not´ees respectivement Γ1et Γ2. (a) D´emontrer que, pour tout r´eelxpositif ou nul,h(x)?f(x)?g(x). (b) Que peut-on en d´eduire pour les courbes Γ, Γ

1et Γ2?

Tracer Γ sur le graphique en pr´ecisant sa tangente au point d"abscisse 0.

0 1 2 3 4 5 6

Partie B

Soit (In) la suite d´efinie surNparIn=

?n+1 n f(x) dx.

1. Justifier l"existence deInet donner une interpr´etation g´eom´etrique deIn.

2. (a) D´emontrer, que pour tout entier natureln, f(n+ 1)?In?f(n).

(b) En d´eduire que la suite (In) est d´ecroissante. (c) D´emontrer que la suite (In) est convergente et determiner sa limite.

Partie C

Soit (Jn) la suite d´efinie surNparJn=

?n 0 f(x) dx.

Fr´ed´eric DemoulinPage 8

Annales Terminale SProbl`emes d"analyse

1. En utilisant l"encadrement obtenu dans la questionA.4.(a), d´emontrer que, pour tout entier natureln:

1 2 ?1-e-n ??Jn?1-e-n?1.

2. D´emontrer que la suite (Jn) est croissante.

En d´eduire qu"elle converge.

3. On note?la limite de la suite (Jn) et on admet le th´eor`eme suivant :

"Siun,vnetwnsont trois suites convergentes de limites respectivesa,betcet si, `a partir d"un certain rang on a pour toutn,un?vn?wn, alorsa?b?c».

Donner un encadrement de?.

4. Soitula fonction d´efinie surRpar :

u(x) =1

1 +x2.

On notevla primitive deusurRtelle quev(1) =π

4. On admet que la courbe repr´esentative devadmet en +∞une asymptote d"´equationy=π 2. (a) D´emontrer que, pour tout r´eelx, f(x) =ex (ex)2+ 1. (b) D´emontrer que, pour tout r´eelx, fest la d´eriv´ee de la fonctionx?→v(ex). (c) En d´eduire la valeur exacte de?.

Exercice 7 Nouvelle-Cal´edonie, Novembre 2003

Les trois parties sont dans une large mesure ind´ependantes. Pour tout entier natureln, on d´efinit surRla fonction num´eriquefnpar : f

0(x) =1

1 +x2et pournentier naturel non nul,fn(x) =xn1 +x2.

On note Γ

nla courbe repr´esentative defndans le plan rapport´e `a un rep`ere orthonormal (O;-→ı ,-→?), unit´e

graphique : 4 cm.

On d´esigne parInl"int´egraleIn=

?1 0 f n(t) dt.

Partie A

1. (a)

´Etudier les limites def1en +∞et en-∞. Quelle est la cons´equence graphique de ces r´esultats?

(b)

´Etudier les variations def1.

(c) Tracer la courbe Γ 1. (d) CalculerI1.

2. (a)

´Etudier les limites def3en +∞et en-∞. (b)

´Etudier les variations def3.

(c) Tracer la courbe Γ

3sur le mˆeme dessin qu"au1.(c).

3. CalculerI1+I3. En d´eduire la valeur deI3.

4. Calculer, en unit´es d"aire, l"aire du domaine limit´e par les courbes Γ

1, Γ3et les droites d"´equation

x= 0 etx= 1.

Fr´ed´eric DemoulinPage 9

Annales Terminale SProbl`emes d"analyse

Partie B

Pour cette partie, on dessinera la figure demand´ee dans un nouveau rep`ere orthonormal (O;-→ı ,-→?), unit´e

graphique : 4 cm.

1. (a)

´Etudier les limites def0en +∞et en-∞. (b)

´Etudier les variations def0.

2. Soit (an) la suite d´efinie, pournentier naturel non nul, par :

a n= ?n 01

1 +t2dt.

(a) Interpr´eter graphiquementan. (b) Montrer que la suite (an) est croissante. (c) Montrer que pour tout r´eelt:1

1 +t2?1 et en d´eduire quea1?1.

(d) Montrer que pour tout r´eeltnon nul :1

1 +t2?1t2et en d´eduire que pour tout entier natureln

non nul, ?n 11

1 +t2dt?1-1n.

(e) Montrer, en utilisant les questions pr´ec´edentes, que pour tout entier naturelnnon nul,an?2.

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