[PDF] I Suites arithmétiques II Suites géométriques III Suites arithmético

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BCPST?.?Lycee Pierre de Fermat

Annee????-????ToulouseChapitre n

o5 :

Suites r

ecurrentes classiquesI Suites arithmetiques Denition :Soitrun reel. Une suite arithmetique de raisonrest une suite reelle (un)n2Nqui verie pour tout entier naturelnla relation de recurrenceu

n+1=un+r:Expression deunen fonction denPropriete :Si (un)n2Nest une suite arithmetique de raisonret de premier termeu0, alors l'expression

deunen fonction denest donnee par :8n2N;un=u0+nr:Une suite arithmetique est donc denie par sa raisonret son premier termeu0.

Demonstration.Recurrence ou somme telescopique.Somme des premiers termes Propriete :Soit (un)n2Nune suite arithmetique de raisonret de premier termeu0. Soitnun entier naturel quelconque. Alorsn X k=0u k= (n+ 1)u0+un2 :Demonstration. Exemple :Montrer que si (un)n2Nest une suite arithmetique de raisonr, on a 1. q uelsq ues oientl esen tiersn aturelsketp,up+k=up+kr. 2. q uelsq ues oientl esen tiersn aturelsnetp,p+nP k=p+1uk=up+1+up+n2 n.II Suites geometriques Denition :Soitqun reel. Une suite geometrique de raisonqest une suite reelle (un)n2Nqui verie pour tout entier naturelnla relation de recurrenceu n+1=qun:Remarque :Siq= 0, alorsun= 0 pour toutn2N. Siu0= 0, alorsun= 0 pour toutn2N. Si l'on n'est

pas dans un des deux cas precedents, alorsun6= 0 pour toutn2N(preuve par recurrence ou raisonnement par

minimalite).

Expression deunen fonction denPropriete :Si (un)n2Nest une suite geometrique de raisonqet de premier termeu0, alors l'expression

deunen fonction denest donnee par :8n2N;un=qnu0:Une suite geometrique est donc denie par sa raisonqet son premier termeu0.

Demonstration.Recurrence ou produit telescopique (attention a ne pas quotienter par 0!).Somme des premiers termes

Propriete :Soit (un)n2Nune suite geometrique de raisonqet de premier termeu0. Soitnun entier naturel quelconque.

Si la raison est dierente de 1, alorsn

X k=0u k=u01qn+11q=u0qn+11q1:si la raison vaut 1, alors la suite est constante etn X k=0u k= (n+ 1)u0:Exemple :Soit (un) une suite reelle telle queu0>0 et veriant :8n2N; un+1=u3n. 1. Mo ntrer( parr ecurrence)qu ecet tesu iteest at ermesst rictementp ositifs. 2. Mo ntrerq ue(l n(un))n2Nest une suite geometrique. 3.

En d eduireu neex pressionunen fonction den.

III Suites arithmetico-geometriquesDenition :Soientaetbdeux reels. Une suite arithmetico-geometrique associee aaetbest une suite

reelle (un)n2Nqui verie pour tout entier naturelnla relation de recurrenceu

n+1=aun+b:Remarque :Sia= 1, on retrouve une suite arithmetique et sib= 0, c'est une suite geometrique que l'on

reconna^t.bcpst?.?|????-????| Lycee Pierre deFermat1Suites recurrentes

Expression deunen fonction den

On considere que l'on n'est pas dans un cas trivial, c'est-a-direa6= 1 etb6= 0. Pour trouver l'expression deunen fonction den, on introduit une suite intermediaire. On pose :

8n2N; vn=un`:

Le reel`va ^etre choisi de maniere a simplier le plus possible l'expression de la suitev. Avec la bonne valeur,

vsera une suite geometrique. On a v n+1=un+1`=aun+b`=a(vn+`) +b`=avn+ (a1)`+b: En choississant`tel que (a1)`+b= 0,i.e.`=b1a(ce qui est possible cara6= 1), on obtientvn+1=avn. La suitevest donc une suite geometrique de raisona. D'ou, pour toutn2N, on avn=anv0et en revenant a la suiteu, on trouveun`=an(u0`), d'ou u nb1a=an(u0b1a), et doncun=anu0+b1an1a. On a donc exprime le terme general de la suite (un)n2Nen fonction den. Une telle suite est donc determinee par les reelsaetbet le terme initialu0. Remarque :L'equation pour trouver`peut aussi s'ecrire a`+b=`: En notantfla fonction ane denie (surRouC) parf(x) =ax+b, l'equation devientf(`) =`. On dit que` est un point xe de la fonctionf.

L'expression du terme general de la suite (un)n2Nn'est pas a conna^tre par cur. Mais la methode est a savoir

absolument. Il faut pouvoir : Retrouver la formulation de la suite (vn)n2Na partir de la suite (un)n2Navec la bonne valeur de`. Montrer que cette suite (vn)n2Nest une suite geometrique.

Retrouver l'expression du terme general de la suite (un)n2Na partir du terme general d'une suite geome-

trique.Exemple :Soit (un)n2Nla suite denie par 8< :u 0= 1;

8n2N; un+1= 3un4:

Determinons le terme generalunen fonction den.

Resolvons l'equation 3`4 =`. On trouve`= 2. Ainsi, pour toutn2N, on a 8< :3un4 =un+1

324 = 2

En soustrayant ces deux equations, on trouve, pour toutn2N, (un+12) = 3(un2). On introduit la suite vdenie parvn=un2 pour toutn2N. La suitevest une suite geometrique de raison 3 et de premier terme1.

On en deduit donc que

8n2N; vn=3n;

et par consequent, en revenant vers la suiteu, on a :

8n2N; un=vn+ 2 =3n+ 2:Exemple :Soit (un)n2Nla suite denie par

8< :u 0= 2;

8n2N; un+1= 2un+ 3:

Determiner le terme generalunen fonction den.

IV Suites recurrentes lineaires d'ordre 2 a coecients constantsDenition :Soientaetbdeux reels. Une suite recurrente lineaire d'ordre 2 a coecients constantsaet

best une suite reelle (un)n2Nqui verie pour tout entier naturelnla relation de recurrenceu

n+2=aun+1+bun:Une telle suite est determinee par les reelsaetbet les termes initiauxu0etu1(exercice).

Remarque :On se limite au casa6= 0 etb6= 0 pour que l'etude soit interessante. Pour determiner l'expression du terme general de la suite (un)n2Nen fonction den, on introduit une

equation particuliere, appeleeequation caracteristique, associee a la relation de recurrenceun+2=aun+1+bun:x

2=ax+b:De maniere classique pour determiner les solutions de l'equation caracteristique, on calcule le discriminant

=a2+ 4bet on distingue plusieurs cas.

Premier cas :>0.

L'equation possede donc deux solutions distinctes

x 1=ap 2 etx2=a+p 2

Soientetdeux reels. En posant pour tout entiern,

v n=xn1+xn2; on s'apercoit que v n+2=xn+21+xn+22 =€axn+11+bxn1Š+€axn+12+bxn2Š =a€xn+11+xn+12Š+b(xn1+xn2) =avn+1+bvn:

Donc toutecombinaison lineairedes suites geometriques (xn1)n2Net (xn2)n2Nverie la relation de recurrence

initiale. L'idee est alors de choisir correctementetpour qu'on retrouve les termes initiauxu0etu1: 8 :v 0=u0 v

1=u1()8

:+=u= 0 x

1+x2=u1()8

:=u0 (x1x2) =u1u0x2()8 >:=u1u0x2x 1x2 =u0x1u1x 1x2 Au nal, on a donc reussi a exprimer le terme general de la suiteuen fonction den:8n2N;un=u1u0x2x

1x2xn1+u0x1u1x

1x2xn2:bcpst?.?|????-????| Lycee Pierre deFermat2Suites recurrentes

Deuxieme cas :<0.

L'equation possede maintenant deux solutions complexes conjugueeszetz. Avec le point de vue trigonome-

trique, on peut ecrirez=eietz=ei. Le raisonnement vu auparavant s'applique aussi ici et donc

8n2N;un=neni+neni;avec=u1u0z

zz et=u0zu1zz

Avec cette ecriture, il n'est pas facile de ce rendre compte que la suiteuest une suite reelle. Modions un peu

l'ecriture pour que cela apparaisse clairement : u n=neni+neni =n(cos(n) +isin(n)) +n(cos(n)isin(n)) =n((+)cos(n) +i()sin(n)): Or,=u 1u0z zz =u 1u0z zz =u1u0zzz=u0zu1zz les coecientsetsont donc des complexes conjugues. Par consequent, (+) est un reel et () est un

imaginaire pur. En denitive, en posantA=+etB=i(), on a l'expression deunsous forme reelle :8n2N;un=n(Acos(n) +Bsin(n)):

A partir de cette expression, on peut directement chercherAetBen utilisant les deux premiers termes de la

suite (un)n2N.

Troisieme cas : = 0.

Le discriminant etant nul, l'equation caracteristique ne possede qu'un seule solutionr=aÀ

26= 0. D'apres ce

qu'on a dit avant, la suite geometrique (rn)n2Nverie la relation de recurrence. Contrairement au cas precedent,

on ne conna^t qu'une seule suite veriant cette relation, ce qui n'est pas assez pour faire varier les parametres

de maniere a faire co ncider les deux premiers termes.Etudions alors la suite (nrn)n2N. Pour tout entiern, on a (n+ 2)rn+2=nrn+2+ 2rn+2 =n(arn+ 1 +brn) +2aa rn+2 =narn+1+nbrn+a1r rn+2 =a(n+ 1)rn+1+bnrn:

Donc la suite (nrn)n2Nverie elle aussi la relation de recurrence. Comme dans le premier cas, il est aise de

montrer que toute combinaison lineairevn=rn+nrn;de ces deux suites verie elle aussi la relation de recurrence etudiee. Reste alors a choisir correctement les coecients pour que les termes initiaux co ncident : v

0=u0etv1=u1. On resout le systeme correspondant :

8< :v 0=u0 v

1=u1()8

:=u= 0 r+r=u1()8 :=u0 =u1r u0 u u0‹‹ r n:Recapitulatif Theoreme :Soientaetbdeux reels non nuls et (un)n2Nune suite veriant pour tout entier natureln la relation de recurrence suivante : u n+2=aun+1+bun: Le discriminant de l'equation caracteristiquex2axb= 0 est note . Premier cas : >0. On notex1etx2les deux racines distinctes du trin^ome. Alors il existe un unique

couple de reels (,) tel que8n2N;un=xn1+xn2:Second cas : <0. On notez=eiune des deux racines complexes (conjugues) du trin^ome. Alors il

existe un unique couple de reels (A;B) tel que8n2N;un=n(Acos(n) +Bsin(n)):Troisieme cas : = 0. On noterl'unique solution du trin^ome. Alors il existe un unique couple de reels

(;) tel que8n2N;un= (+n)rn:Dans les trois cas, en pratique, c'est en resolvant un systeme a l'aide des termes initiauxu0etu1que l'on

determine precisement les valeurs des deux coecients.

Encore une fois, toutes les formules rencontrees dans la demonstration de ce theoreme ne sont pas a conna^tre

par cur. Face a une suite recurrente lineaire d'ordre 2, il faut pouvoir : Ecrire l'equation caracteristique associee (et la resoudre).

Donner l'expression du terme general de la suite (i.e.conna^tre les formules du theoreme) avec les valeurs

exactes pourx1,x2,,our.

Retrouver les deux coecients (etouAetB) a partir des deux premiers termes de la suite.Exemple :Soit (un)n2Nla suite denie par

8>>< >:u 0= 0; u 1= 1;

8n2N; un+2= 6un+19un:

Determinons le terme generalunen fonction den.

L'equation caracteristique associee est 0 =x26x+ 9 = (x3)2, dont l'unique solution vaut 3. On sait donc que le terme general de la suiteunest de la forme

8n2N; un= (+n)3n:

On resout alors le systeme donne par les termes initiaux : 8< :0 = (+ 0)30

1 = (+ 1)31()8

:= 0

3(+) = 1()8

:= 0 =13

En conclusion,

8n2N; un=13

n3n=n3n1:bcpst?.?|????-????| Lycee Pierre deFermat3Suites recurrentes

Exemple :Soit (un)n2Nla suite denie par

8>>< >:u 0= 1; u 1= 2;

8n2N; un+2= 2un+12un:

Determinons le terme generalunen fonction den.

L'equation caracteristique associee estx22x+ 2 = 0. Son discriminant vaut4 et les deux solutions complexes conjuguees sont x

1=22i2

= 1i=p2ei4 etx2= 1 +i=p2ei4 On sait donc que le terme general de la suiteunest de la forme

8n2N; un=p2

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