[PDF] Mod`eles stochastiques de taux dintérêts

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Mod`eles stochastiques de taux d"int´erˆets

Table des mati`eres1 Concepts fondamentaux7

forward

2 Mod`eles de taux courts17

3 Les mod`eles multifactoriels29

4 Le cadre Heath-Jarrow-Morton(HJM) 35

5 Les mod`eles de march´e Libor 43

A Formule de Feynman-Kac53

B Changement de num´eraire55

C Sujet de Travaux Pratiques : Mod`ele de Hull & White 57

Introduction

Chapitre 1Concepts fondamentaux1.1 Taux de base "spot"1.1.1 D´efinitions et notations des taux de base

D´efinition 1.1.

-R(t,T)(T-t)

D´efinition 1.2.

D´efinition 1.3.

1/(T-t)

(T-t)

D´efinition 1.4.

1.1.2 Conventions

Actuel/365

Actuel/360

30/360

1.1.3 Taux spot de r´ef´erence dans la zone euro

Eonia 1 consult´e au 22 novembre 2010. 1 % 1.5 % 2 % 2.5 % 3 % 3.5 % 4 % 4.5 % 5 % 5.5 % 6 %

Euribor 1Y

Figure

http://www.euribor-ebf.eu

Euribor

2

1.1.4 Structure par terme

courbe des tauxstructure par terme des taux

2.http://www.euribor-ebf.eu/assets/files/Euribor_tech_features.pdf, con-

sult´e le 22 novembre 2010.

Figure

1.2 Taux `a terme (forward)

forward rate agreement FRA FRA forward

D´efinition 1.5.

FRA

D´efinition 1.6.

T t S T

1.3 Taux swap

1.3.1 D´efinition du contrat swap

swap i iii-1 i i ii-1i jambepatte leg SR

SR β

i=α+1

FRAi-1i

SR β

i=α+1iii-1i-1i i=α+1 ii-1ii αβ

SR αβ β

i=α+1 ii

1.3.2 D´efinition du taux swap

taux swap forwardα,β

βi=α+1ii

1.3.3 Lien avec les taux forward simples

k αk j=α+1jj-1k j=α+1 jj-1j

α,β βj=α+11

1+τjL(t,Tj-1,Tj)

j-1j α,β

1.4 Produits d´eriv´es simples

1.4.1 Caps et floors

cap i=α+1 iαiαi-1i+ floor i=α+1 iαiαi-1i+ i capletfloorlet i-1i i ii-1i+

1.4.2 Swaptions

swaptions

α SP

SP β

i=α+1αiii-1αi-1i i=α+1 iαiαi-1i i=α+1 iαi

1.5 Evaluation par arbitrage dans un mod`ele

de taux tttt 0 0trt tttt

Relation fondamentale

-?t

0rudu Q

-?T

0rudut

Q -?T trudut Q

Chapitre 2Mod`eles de taux courts2.1 Le mod`ele de Vasicek2.1.1 D´efinition du mod`ele et distribution du taux court

Q ttt 0Q

0 Q t

Proposition 2.1.La solution de l"EDSs"´ecrit :

-κ(t-s)-κ(t-s) t s -κ(t-u)u

D´emonstration. tκt

Corollaire 2.2.est distribu´e normalement conditionnellement `as, , de moyenne et variance : E

Qts s-κ(t-s)-κ(t-s)

Var Qts 2 -2κ(t-s)

D´emonstration.

t s -κ(t-u)u s t s -2κ(t-u)

2.1.2 Prix des obligations z´ero-coupon

Proposition 2.4.Dans le mod`ele de Vasicek, le prix `a la datedu z´ero- coupon de maturit´es"´ecrit : -B(t,T)r(t) avec 2 222
-κ(T-t)

D´emonstration.

Q -?T trudut t T ts t t Q t-κ(T-t) 2 2 -κ(T-t)-2κ(T-t) Q -?T trsdst

Q-I(t,T)t

Q t T t T t -κ(u-t) T t -κ(u-t) T t u t -κ(u-s)s 1 t-κ(T-t) T t -κ(T-s)s Proposition 2.5.Dans le mod`ele de Vasicek, le taux z´ero-coupon de matu- rit´es"´ecrit `a la date: ∞ t∞-κ(T-t)

23-κ(T-t)2

avec ∞2 2

1. du type (Protter 2004, Th´eor`eme 64).

∞ T→∞ t ∞

2.1.3 Limites du mod`ele de Vasicek

endog`ene

2.2 Le mod`ele de Cox-Ingersoll-Ross (CIR)

2.2.1 D´efinition du mod`ele et distribution du taux court

Q tt tt 2 2 Proposition 2.6.Dans le mod`ele CIR, le taux courtsuit une loi du2 d´ecentr´ee.

D´emonstration.

N? t

Q 0 j

j j j

1 2 d-1 d

0 d j=1 2j t tt 2 td i=1 t 0 iu i t t Q 3 j j 2

4β-βt d 12βt0

2

2. (Feller 1951) est la r´ef´erence originale souvent cit´ee pour cette condition, voir aussi

(Lamberton & Lapeyre 1998).

3. Karatzas & Shreve (2000, Theorem 3.16).

Qts s-κ(t-s)-κ(t-s)

Qts s2

-κ(t-s)-2κ(t-s) 2-κ(t-s)2

2.2.2 Prix des obligations z´eros-coupon

4 R+R Q -?T trudut t 22
Proposition 2.7.Dans le mod`ele CIR, le prix du z´ero-coupon de maturit´e s"´ecrit `a la date -B(t,T)r(t) avec

2(T-t)

γ(T-t)

2κθ

σ2

γ(T-t)

γ(T-t)

2 2

D´emonstration. mod`eles

affines de taux -B(t,T)(T-t)

4. Voir l"annexe A ou Oksendal (2003, Theorem 8.2.1).

2.2.3 Prix d"une option sur z´ero-coupon

Proposition 2.8.Dans le mod`ele CIR, le prixCIRZC`a la date d"une option d"achat, au prixet `a la date , d"une obligation z´ero- coupon de maturit´e s"´ecrit : CIRZC χ2

22γ(T-t)

χ2

22γ(T-t)

avec 2 2

2γ(T-t)

2 et o`uχ2est la fonction de r´epartition de la loi du2d´ecentr´ee.

2.3 Le mod`ele de Hull et White (ou Vasicek

´etendu)

Q t tt R M M M M Proposition 2.9.Le mod`ele de Hull et White reproduit exactement la courbe des taux z´ero-coupon de march´e si l"on pose M

M 2-2at

D´emonstration.

M tat -κ(t-s) t s -a(t-u) t s -a(t-u)u 5 t R+ R 22
-B(t,T)r(t)

5. Voir l"annexe A ou Oksendal (2003, Theorem 8.2.1).

22
-a(T-t) T t 2 222
T 0 0 2 T 0 22220
2 2 22
2-2aT M Proposition 2.10.Dans le mod`ele de Hull et White, le taux court s"´ecrit : -a(t-s)-a(t-s) t s -a(t-u)u avec M 2 2-at2

D´emonstration.

t s auatas

Remarque.

∂fM ∂T

Qts s-a(t-s)-a(t-s)

Qts 2 -2a(t-s) Proposition 2.11.Dans le mod`ele de Hull et White, le prixdu z´ero-coupon de maturit´e`a la dates"´ecrit -B(t,T)r(t) avec M M

M2-2at2

-a(T-t)

D´emonstration.

t s M M T t M

2.3.1 Prix d"une option sur z´ero-coupon

Proposition 2.12.Dans le mod`ele de Hull & White, le prixHWZC `a la dated"une option d"achat, au prixet `a la date , d"une obligation z´ero-coupon de maturit´e s"´ecrit :

HWZC 12

avec

1P(t,S)

KP(t,T)

122t,T

t,T 21t,T
t,T -2a(T-t) et o`uest la fonction de r´epartition de la loi normale centr´ee r´eduite.

D´emonstration. HWZC

HWZC Q

-?T trudu+t

Q 6

QT QT Q-?T trudu

6. Voir l"annexe B.

HWZC QT-B(T,S)rT+t

TQT t 2 -2a(T-t) -B(T,S)rT t t,T

2.4 Une remarque sur les mod`eles affines

-B(t,T)r(t) affine Proposition 2.13.Si un mod`ele de taux court s"´ecrit sous la forme tttt avecet2fonctions affines de, alors ce mod`ele est `a structure affine.

D´emonstration.

Chapitre 3Les mod`eles multifactoriels3.1 Quelques observations empiriques 12

Figure

Figure

3.2 Les mod`eles taux longs - taux courts in-

valid´es t 11tt1t1 tt22t2t2t2 tt11 t2 t2

3.3 Un mod`ele gaussien `a deux facteurs

Q 0 1 2

12 12t

d´eterministe 0 M -a(t-s)-b(t-s) t s -a(t-u)1 t s -a(t-u)2

Qts -a(t-s)-b(t-s)

Qts 2 -2a(t-s) 2-2b(t-s) -2(a+b)(t-s) Proposition 3.1.Dans le mod`ele gaussien `a deux facteurs, le prix `a la datede l"obligation z´ero-coupon de maturit´es"´ecrit T 0 -a(T-t) -b(T-t) o`u 2 2 -a(T-t)-2a(T-t) 2 2 -b(T-t)-2b(T-t) -a(T-t)-b(T-t)-(a+b)(T-t) M Proposition 3.2.Le mod`ele gaussien `a deux facteurs est calibr´e sur la courbeM de prix d"obligations z´ero-coupon observ´es sur le march´e si et seulement siest d´efinie par : M2

2aT222bT2aTbT

D´emonstration.

Proposition 3.3.Dans le mod`ele gaussien `a deux facteurs calibr´e par l"´equa- tion, le prix`a la datede l"obligation z´ero-coupon de maturit´e s"´ecrit ab where M M i -i(T-t)

Chapitre 4Le cadreHeath-Jarrow-Morton(HJM)

4.1 D´efinition du cadre

P N? ?t Mquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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