CALCUL PROPOSITIONNEL
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Saturer l'ensemble C = {C1 Cn} en rajoutant les clauses que l'on peut déduire `a partir des deux r`egles (coupure et factorisation) du syst`eme formel de
Calculpropositionnel - syntaxeetsémantique
SYNTAXE
Exercice1.1.Considérezlesformules ducalculpropositionnel suivantes : 1 :=r!(p¬(("q)#¬r)); 2 :=p"(r"((¬q)#¬p)); 3Pourchaque formule!
i 1 2 31.dessinezsonarbresyntaxique;
2.énumérezsessous-formules ;
3.énumérezlessymboles propositionnelsayantune occurrencedans!
iSÉMANTIQUE
Exercice1.2.1.Quellessont lesvaluationsquidonnentmême valeurà p"qetp#q?2.Énumérezles modèlesdelaformule(p"q)%(p#q).
3.Estceque cetteformuleest (in)satisfaisable, valide?
Exercice1.3.Onconsidèreles formules!=p"(¬q#(q#p))et"=(p!q)%(¬p!¬q).1.Soitvunevaluation. Déterminer,sipossible,v(!)etv(")danschacundes quatrecas suivants :
(a)onsait quev(p)=0etv(q)=1; (b)onsait quev(p)=0; (c)onsait quev(q)=1; (d)onnesai triensur v(p)etv(q).2.Cesdeux formulessont-ellessatisfaisables? Destautologies?
3.L'ensemble{!,"}est-ilconsistant? C'est-à-dire,existet'ilunev aluationtelleque v(!)=v(")=1?
Exercice1.4.Uneformule!estditecontingentelorsqu'elleestsatisf aisableetnon unetautologie.Diresiles formulessuiv antessontinsatisfiables,contingentes,ouencoredestautologies :1.(p#q)#p
2.p#(q#p)
3.(p"q)%(p#¬q)
Exercice1.5.Soit!uneformuledu calculpropositionnel.1.Quepeut-on diredemod(!)lorsque!estcontingente ?
2.Soient!et"deuxformulespropositionnelles. Quepensez-vous desaffirmations suivantes :
(a)si!estcontingente,alors ¬!l'estégalement ; (b)si!et"sontcontingentes,alors !!"et!""sontcontingentes; (c)si!!"estinsatisfiablealors !et"sontinsatisfiables; (d)si!!"estunetautologie alors!et"sontdestautologies. (e)si!!"estunetautologie alors!estunetautologie, ou"estunetautologie.Exercice1.6.Montrezqu'une formule!estunetautologie sietseulement si¬!n'estpassatisf aisable.Onsuppose
donnéun algorithmequivérifier siuneformule estunetautologie ;construireun autrealgorithmepour vérifiersi une
formuleest satisfaisable. Exercice1.7.Proposezuneformule !ayantlatable devéritésui vante: pqr! 0001 0011 01000111
1000
1010
1100
1111
Exercice1.8.Danscete xercice,on identifiel'ensemble{0,1}aucorpsZ/2Z.
1.Exprimerlesopérations+et&àl'aidedes connecteurs",!,¬;
2.Exprimerlesconnecteurs",!,¬àl'aidedes opérations+et&;
3.Montrerqu'àtouteformulepropositionnelle !dontlesv ariablessontq
1 ,...q n ,onpeut associerun polynômeànindéterminéesPtelque!=P(a
1 ,...,a n 1 ),...,v(q n4.Endéduireune méthodepour déterminersideux formulessontlogiquement équivalentes, ousiune formule
estunetautologie. Exercice1.9.Prouvezleséquivalences logiquessuiv antes: !""'""!!!"'"!!(Commutativité) 1 2 1 2 1 2 1 2 (Associativité) ("!'!"('!)!!'!!)'!(Élementsneutres) !"!'!!!!'!(Idempotence) !"(!!")'!!!(!"")'!(Absorption) !")')"!')!!('(!!'((Elémentabsorbant) 1 2 1 2 1 2 1 2 )(Distributivité)¬¬!'!(Involution)
¬(!"")'¬!!¬"¬(!!")'¬!"¬"(LoisdeDe Morgan) !#"'¬"#¬!(Contraposition) 1 2 3 1 2 3 (Curryfication) AMU-L3Infor matiqueCoursLogiqueetCalculabilité-2017 TDn o 2CalculPropositionnel -Conséquenceslogiques
Rappels,notations.Danstoutecette planche,!et"désignentdeuxensembl esquelconques(finisou non,éventuellement vides)deformules.Demême,!et"dénotentdeuxformules propositionnellesquel- conques.Danscetteplanche, onnoteraaussi :
Taut={!!F
cp |mod(!)=Val},NonSat={!!F cp |mod(!)=!},Cons(!)={!!F
cp Tautestl'ensembledestautologies, NonSatest l'ensembledesformules non-satisfaisables,et Cons(!)est l'ensembledesconséquences logiquesde!.Pourrappel,si AetBsontdeuxensembles, alors
- pourprouver queA"B,onmontre que"pourtout élémenta,sia!Aalorsa!B" - pourprouver queA=Bonmontreque A"BetqueB"A - a!A#Bssia!Aeta!B - a!A$Bssia!Aoua!B Exercice2.1.Onconsidèrel'ensemble deformulespropositionnelles "={p%q%r,p&q,q&r}1.Trouverunmodèlede".Combieny a-t-ildemodèles ?
2.Lesformules q&p,p,rsontellesdes conséquenceslogiquesde "?
Exercice2.2.Onsedonne "unensemblefini satisfaisablede formules,uneformule !conséquencede", uneformule"quin'estpas uneconséquence de".1.Onajouteune tautologie#à".Est-ce que!et"sontdesconséquences logiquesde"${#}?
Donnezunepreuv eformelle.
2.Mêmequestion si#estuneformule insatisfaisable.
Exercice2.3(Modélisation).Ondisposede troiscasesalignées, notées1,2,3deg aucheàdroite, etde
pionsdeformes différentes: triangle,rondou carré.Lespionspeuvent-êtreplacés dansles cases.Pour
chaquei!{1,2,3}onnotec i l'assertion: "lacaseicontientunpion carré»,et onfait demêmepour les autresformes.1.Modélisez,avec desformulesducalculpropositionnel,lesdeuxassertionssui vantes: "ilya un
pionrondimmédiatement àdroited'un pioncarré»et"chaquecasecontient un(et unseul)pion ».
2.Donnezlesmodèles del'ensemble composéparces deuxformules.Que peut-onendéduirequant
aupionsitué danslacase 2?Exercice2.4.Démontrer:
1.!|=!ssi!${¬!}|='.
2.!${!}|="ssi!|=!&".
3.!("ssiCons(!)=Cons(").
Exercice2.5.Démontrer:
1.!""impliquemod(")"mod(!)(vuencours) ;
2.!""impliqueCons(!)"Cons(");
3.!"Cons(!);
4.mod(Cons(!))= mod(!)(partiellementvu encours);
5.mod(!)=mod(")ssiCons(!)=Cons(");
6.Cons(Cons(!))=Cons(!);
7.mod(!)"mod(")ssiCons(")"Cons(!).
Exercice2.6.Démontrer,pourtouteformule !:
1.Taut"Cons(!).
2.!!TautentraîneCons(!)=Taut.
3.!!NonSatentraîneCons (!)=F
cp4.!!TautentraîneCons("${!})=Cons(").
5.!!NonSatentraîneCons ("${!})=Cons(!).
Exercice2.7.Unensemblede formules"estditcompletssi "estconsistantet, pourtout !!F cp ,"|=!ou"|=¬!1.Montrezque"estcompletssi ilaun etunseul modèle.
2.Donnezl'ex empled'unensemblecompletetd'unensemblenoncomplet.
3.Sivestuneune valuation, onappellethéoriedev,eton noteT H(v),l'ensembledes formulessatis-
faitesparv.Autrement dit,TH(v)={!!F cp |v(!)=1}.Montrezque, pourtout v!Val,TH(v) estcomplet.4.Montrezque Cons(TH(v))"TH(v).
5.Donnezl'e xempled'unensemblecompletquin'estpasdelaforme TH(v).
Exercice2.8.Soit"unensemble complettelque Cons(")"".Prouvez que:1.!!"ssi¬!)!",
2.!*"!"ssi$!"et"!",
3.!%"!"ssi$!"ou"!".
AMU-L3Infor matiqueCoursLogiqueetCalculabilité-2017 TDn o 3 CalculPropositionnel -Équivalences,algorithmes,modélisationSoient!,"!F
cp etq!PROP;lasubstitution, dansla formule!,dela variableqparlaformule ", notée! [q""] ,sedéfinit parinduction surlastructure d'uneformuleselon lescassui vants: p [q""] ",sip=q, p,sinon, [q""] [q""] [q""] ,ou#!{%,&,'},(¬#) [q""] [q""]Exercice3.1.(Substitution).Ecriv ezexplicitement!
[p""]quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9[PDF] le resultat dune multiplication est
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