Equation dune tangente
Sur le graphique ci-dessous la courbe bleue représente une fonction f et la droite ? est tangente à la courbe au point A d'abscisse a. La variation d'abscisse
Gradient – Théorème des accroissements finis
Le calcul différentiel s'applique au calcul des équations des tangentes aux La formule de la différentielle ... Calcul du gradient. grad f (x y) =.
3e Tangente dun angle aigu dans un triangle rectangle
On applique donc la formule de la tangente. Page 3. IV) Application au calcul de la mesure d'un angle. Pour
Thème 15: Dérivée dune fonction les règles de calcul
recherche de la pente de la tangente en chaque point P(x ; f (x)) d'une courbe donnée. systématiquement la formule ci-dessus. Nous nous contenterons.
Approximation linéaire
Il vaut donc mieux savoir calculer cette tangente. Cette tangente Le calcul de la tangente ... Sur la deuxi`eme pseudo-formule on ”voit” la linéarisée.
Trigonométrie circulaire
Ce théorème fondamental permet en particulier de calculer l'une des deux lignes Les formules n'utilisant que la tangente sont valables pour x ...
Chapitre 1 : 2D Courbes Paramétrées et coordonnées polaires
Pour trouver la tangente à une courbe polaire r = f(?) on Calculer le vecteur tangent à la courbe d'équation r = a (où a est une constante positive).
Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs
Notes du cours MTH1101 – Calcul I Plan tangent et approximation linéaire ... On peut alors utiliser l'une des formules d'approximation suivantes.
Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor
En effet il suffit de calculer P(2 + h) pour expliciter la formule : Pour déterminer la position de la courbe par rapport à cette tangente
5. Calcul des Aciers Transversaux
Calcul des Aciers Transversaux 5.2 Calcul des contraintes tangentes ... à la traction n'est pas nulle un terme 03.ftj.k est introduit dans la formule.
[PDF] Equation dune tangente - lycee-valin
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a a pour équation: y = f(
[PDF] Trigonométrie circulaire
Les formules en sinus et cosinus sont valables pour tout réel x Les formules n'utilisant que la tangente sont valables pour x n'appartenant pas à ? 2 + ?Z
[PDF] PCSI2 Formulaire de trigonométrie tan(x) = sin(x) cos(x) définie si x
Formules d'addition cos(a + b) = cos(a) cos(b) ? sin(a) sin(b) cos(a ? b) On dispose également de relations avec la tangente de l'angle moitié
[PDF] cos²x + sin²x = 1 tan x = sin x cos x - Mathsenligne
Le sinus et la tangente d'un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à l'aide du quart de cercle trigonométrique On établira les formules :
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II) Formule de la tangente d'un angle aigu : 1) Notation : La tangente de l'angle ? se note tan ? 2) Formules : Dans un triangle rectangle
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La tangente à la courbe (C) au point A a pour équation : Exemple 1 : Calculer la dérivée de la fonction ( ) = + + ? Pour ?
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19 nov 2014 · La fonction tangente est périodique de période ? 1 3 Équations trigonométriques 2 Formules d'addition et de différence
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Partie 2 : Cosinus sinus et tangente 1) Formules de trigonométrie Méthode : Calculer un angle à l'aide de cosinus sinus ou tangente
[PDF] Cours de trigonométrie (troisième) - Automaths
On peut prouver l'existence du sinus et de la tangente de la même façon qu'en Il n'est pas toujours facile de retenir les trois formules ci-dessus
Quel est la formule pour calculer la tangente ?
La tangente TA au point A d'abscisse a de Cf a pour équation y=f?(a)x+p car, par définition, f?(a) est le coefficient directeur de cette droite.Comment calculer tan avec sin et cos ?
Le sinus et la tangente d'un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à l'aide du quart de cercle trigonométrique. On établira les formules : cos²x + sin²x = 1 ; tan x = sin x cos x On n'utilisera pas d'autre unité que le degré décimal.- De même, la tangente s'utilise dans les triangles rectangles. Dans le cas d'un triangle rectangle ABC rectangle en B, la tangente de l'angle A est égale à la longueur du côté opposé à l'angle A divisée par la longueur du côté adjacent à l'angle A, donc tan A = BC/BA.
Gradient - Théorème
des accroissements finisLe calcul différentiel s"applique au calcul des équations des tangentes aux courbes et des plans tangents aux
surfaces. Il permet aussi d"approcher les fonctions de plusieurs variables par des formules linéaires.
1. Gradient
Le gradient est un vecteur dont les coordonnées sont les dérivées partielles. Il est très important en physique
et a des nombreuses applications géométriques, car il indique la direction perpendiculaire aux courbes et
surfaces.1.1. Rappel de la définitionDéfinition 1.
Soitf:Rn→Rune fonction admettant des dérivées partielles. Legradientenx= (x1,...,xn)∈Rn,
noté gradf(x), est le vecteur gradf(x) =.Les physiciens notent souvent∇f(x)pour gradf(x). Le symbole∇se lit " nabla ».
Pour une fonctionf(x,y)de deux variables, au point(x0,y0), on a donc gradf(x0,y0) = ∂f∂x(x0,y0)Exemple 1.
Sif(x,y) =x2y3alors gradf(x,y) =2x y3
3x2y2 . Au point(x0,y0) = (2,1), on a gradf(2,1) =4 12Sif(x,y,z) =x2sin(yz)alors gradf(x,y,z) =
2xsin(yz) x2zcos(yz)
xSif(x1,...,xn) =x2
1+x22+···+x2
nalors gradf(x1,...,xn) = 2x1... GRADIENT- THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS1. GRADIENT2Remarque.Le gradientestun élémentdeRnécritcomme un vecteurcolonne. C"estla transposée de la matrice jacobienne
qui est ici un vecteur ligne. Parfois, pour alléger l"écriture, on peut aussi écrire le gradient sous la forme
d"un vecteur ligne.1.2. Rappel du lien avec la différentielle
Lien avec la différentielle.
Le gradient est une autre écriture possible de la différentielle. Sifest différentiable enx∈Rnet sih∈Rn,
alors :df(x)(h) =〈gradf(x)|h〉où〈· | ·〉désigne le produit scalaire. Pourf:R2→Ret(x0,y0),(h,k)∈R2, cela s"écrit :
df(x0,y0)(h,k) =〈gradf(x0,y0)|hk〉=h∂f∂x(x0,y0)+k∂f∂y(x0,y0).La différentielledf(x)est une application linéaire deRndansRetgradf(x)est la transposée de sa matrice
dans la base canonique. On pourrait donc aussi écrire le produit de matrices df(x)(h) =gradf(x)T·h.
Lien avec la dérivée directionnelle.
Sifest différentiable enx∈Rnet siv∈Rn, alors : D vf(x) =df(x)(v) =〈gradf(x)|v〉.1.3. Tangentes aux lignes de niveau
Soitf:R2→Rune fonction différentiable et soitk∈R. On considère les lignes de niveauf(x,y) =k,
c"est-à-dire l"ensemble des(x,y)∈R2qui vérifient l"équationf(x,y) =k.Proposition 1. Le vecteur gradientgradf(x0,y0)est orthogonal à la ligne de niveau de f passant au point(x0,y0).Sur ce premier dessin, vous avez (en rouge) la ligne de niveau passant par le point(x0,y0). En ce point est
dessiné (en vert) un vecteur tangentvet la tangente à la ligne de niveau. Le vecteur gradient (en bleu) est
orthogonal à la ligne de niveau en ce point.xy gradf(x0,y0)vT (x0,y0) GRADIENT- THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS1. GRADIENT3En chaque point du plan part un vecteur gradient. Ce vecteur gradient est orthogonal à la ligne de niveau
passant par ce point.xyPrécisons la notion de tangente :
On se place en un point(x0,y0)où les deux dérivées partielles ne s"annulent pas en même temps, c"est-à-
diregradf(x0,y0)n"est pas le vecteur nul. ConsidéronsC, la ligne de niveau defqui passe par ce point
(x0,y0). Le théorème des fonctions implicites (qui sera vu plus tard) montre qu"il est possible de trouver
une paramétrisation deCau voisinage de(x0,y0). Notonsγ:[-1,1]→R2,t7→γ(t) = (γ1(t),γ2(t))
cette paramétrisation, en supposant queγ(0) = (x0,y0). Latangenteà la courbeCen(x0,y0)est la droite passant par le point(x0,y0)et de vecteur directeur le vecteur dérivéγ′(0) = (γ′1(0),γ′
2(0)).
Un vecteurvestorthogonal(ounormalsivn"est pas nul) à la courbeCen(x0,y0)s"il est orthogonal à la tangente en ce point, c"est-à-dire si〈v|γ′(0)〉=0.On peut maintenant prouver la proposition.
Démonstration.
Notonsk=f(x0,y0). AlorsCest la ligne de niveauf(x,y) =k. Dire queγ(t)est une paramétrisation deC(autour de(x0,y0)), c"est exactement dire que : ∀t∈[-1,1]fγ(t)=kCommef◦γest une fonction constante, alors sa dérivée est nulle. La formule de la différentielle d"une
composition s"écrit J f(γ(t))×Jγ(t) =0 et donc ici∂f∂x(γ(t))∂f∂y(γ(t)) 1(t) 2(t) =0.Ent=0, on trouve exactement
ce qui signifie que le gradient est orthogonal au vecteur tangent.Dans la pratique, c"est l"équation de la tangente qui nous intéresse :
Proposition 2.
L"équation de la tangente à la ligne de niveau de f en(x0,y0)estGRADIENT- THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS1. GRADIENT4∂f∂x(x0,y0)(x-x0)+∂f∂y(x0,y0)(y-y0) =0pourvu que le gradient de f en ce point ne soit pas le vecteur nul.
Démonstration.C"est l"équation de la droite dont un vecteur normal estgradf(x0,y0)et qui passe par
(x0,y0).Exemple 2(Tangente à une ellipse). Trouvons les tangentes à l"ellipseEd"équationx2a 2+y2b2=1 (aveca,b>0).xy
gradf(x0,y0)T(x0,y0)acostbsinta bPar les lignes de niveau.
Cette ellipseEest la ligne de niveauf(x,y) =1de la fonctionf(x,y) =x2a 2+y2b2. Les dérivées partielles
defsont : ∂f∂x(x0,y0) =2x0a2∂f∂y(x0,y0) =2y0b
2 Donc l"équation de la tangente à l"ellipseEen un de ces points(x0,y0)est 2x0a2(x-x0)+2y0b
2(y-y0) =0.
Mais comme
x2 0a 2+y2 0b2=1 alors l"équation de la tangente se simplifie enx0a
2x+y0b
2y=1.Par une paramétrisation.
Une autre approche est de paramétrer l"ellipseEparγ(t) = (acost,bsint),t∈[0,2π[. Le vecteur
dérivé étantγ′(t) = (-asint,bcost), la tangente enγ(t)est dirigée par le vecteur(-bcost,-asint).
L"équation de la tangente enγ(t)est donc
-bcost(x-acost)-asint(y-bsint) =0. En posantx0=acostety0=bsint, on retrouve l"équation ci-dessus. GRADIENT- THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS1. GRADIENT5Exemple 3.
Soitf(x,y) =x3-y2-x. Nous allons calculer l"équation des tangentes aux courbes de niveau def.Calcul du gradient.gradf(x,y) =3x2-1
-2yPoints où le gradient s"annule.P1=
-p3 3 ,0 ,P2= +p3 3 ,0 .On calculef(P1) = +2p39,f(P2) =-2p3
9. AinsiP1est sur la ligne de niveauf(x,y) = +2p3
9etP2sur
cellef(x,y) =-2p3 9 Équation de la tangente.En dehors de ces deux points, les courbes de niveau ont une tangente. Au point(x0,y0), l"équation est (3x20-1)(x-x0)-2y0(y-x0) =0.
Voici quelques lignes de niveau def. Le pointP1est le point isolé du niveau rouge et il n"y a pas de tangente
en ce point. Le pointP2est le point double du niveau vert et il n"y a pas de tangente en ce point (en fait on
pourrait dire qu"il y a deux tangentes).1.4. Lignes de plus forte penteConsidérons les lignes de niveauf(x,y) =kd"une fonctionf:R2→R. On se place en un point(x0,y0).
On cherche dans quelle direction se déplacer pour augmenter le plus vite la valeur def.Proposition 3.
Le vecteur gradientgradf(x0,y0)indique la direction de plus forte pente à partir du point(x0,y0).Autrement dit,si l"on veut passer le plus vite possible du niveauaà un niveaub>a,à partir d"un point donné
(x0,y0)de niveauf(x0,y0) =a, alors il faut démarrer en suivant la direction du gradient gradf(x0,y0).
GRADIENT- THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS1. GRADIENT6xy(x0,y0)f=af=bgradf(x0,y0)Comme illustration, un skieur voulant aller vite choisit la plus forte pente descendante en un point de la
montagne : c"est la direction opposée au gradient.Démonstration.
La dérivée suivant le vecteur non nulvau point(x0,y0)décrit la variation defautour dece point lorsqu"on se déplace dans la directionv. La direction selon laquelle la croissance est la plus forte
est celle du gradient def. En effet, on a D vf(x0,y0) =〈gradf(x0,y0)|v〉=∥gradf(x0,y0)∥·∥v∥·cosθoùθest l"angle entre le vecteurgradf(x0,y0)et le vecteurv. Le maximum est atteint lorsque l"angleθest
nul, c"est-à-dire lorsquevpointe dans la même direction que gradf(x0,y0).1.5. Surfaces de niveau
On a des résultats similaires pour les surfaces de niveauf(x,y,z) =kd"une fonctionfdifférentiable.
Rappelons que le plan deR3passant par(x0,y0,z0)et de vecteur normaln= (a,b,c)a pour équation cartésienne :a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0) =0.De même qu"il existe une droite tangente à une ligne de niveau, il existe unplan tangentà une surface de
niveau.Proposition 4.Le vecteur gradientgradf(x0,y0,z0)est orthogonal à la surface de niveau defpassant au point(x0,y0,z0).
Autrement dit, l"équation du plan tangent à la surface de niveau de f en(x0,y0,z0)est∂f∂x(x0,y0,z0)(x-x0)+∂f∂y(x0,y0,z0)(y-y0)+∂f∂z(x0,y0,z0)(z-z0) =0pourvu que le gradient de f en ce point ne soit pas le vecteur nul.
GRADIENT- THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS1. GRADIENT7xyzgradf(x0,y0,z0)(x0,y0,z0)f(x,y,z) =kPlus généralement, pourf:Rn→R,gradf(x0)est orthogonal à l"espace tangent à l"hypersurface de niveau
f(x) =kpassant par le pointx0∈Rn.Exemple 4.
Pour quelles valeurs dekla surface de niveaux2+y2-z2=kadmet-elle un plan tangent horizontal (c"est-à-dire parallèle au plan(z=0))?Solution.On posef(x,y,z) =x2+y2-z2.
Calcul du gradient.gradf(x,y,z) =
2x 2y Gradient nul.Le gradient est le vecteur nul uniquement au point(0,0,0), donc au niveauk=0. En ce point, il n"y a pas de plan tangent. Plan tangent horizontal.Le plan tangent est horizontal exactement lorsque le gradient est un vecteur colinéaire à001
(et n"est pas le vecteur nul). Il faut donc∂f∂x=0et∂f∂y=0, ce qui implique icix=0et
y=0. Analyse.En un tel point(0,0,z), on af(x,y,z) =-z2, donc le niveaukest strictement négatif.Synthèse.Réciproquement, étant donnék<0, alors aux points(0,0,±p|k|), le vecteur gradient est
vertical, donc le plan tangent est horizontal.Conclusion.
Pourk>0, il n"y a pas de plan tangent horizontal. La surfacef(x,y,z) =kest unhyperboloïde à une nappe. Pourk=0, il n"y a pas de plan tangent horizontal. Le point(0,0,0)est singulier. La surface f(x,y,z) =0 est uncône. Pourk<0, il y a deux points ayant un plan tangent horizontal. La surfacef(x,y,z) =kest un hyperboloïde à deux nappes.De gauche à droite : l"hyperboloïde à une nappe, le cône, l"hyperboloïde à deux nappes.
GRADIENT- THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS1. GRADIENT8Les trois surfaces ensemble, comme des surfaces de niveau def(avec une découpe pour voir l"intérieur).1.6. Plan tangent au graphe d"une fonctionSoitf:U⊂R2→Rdifférentiable. On s"intéresse maintenant au graphe def. Rappelons que c"est la surface
Attention! Il ne faut pas confondre le graphe d"une fonctionf:R2→Ravec les surfaces de niveau de
fonctionsf:R3→R.Proposition 5.Soitf:U⊂R2→Rdifférentiable. Soit(x0,y0)∈Uet soitM0= (x0,y0,f(x0,y0))un point du graphe
Gfde f . Le plan tangent au grapheGfen M0a pour équation :z=f(x0,y0)+∂f∂x(x0,y0)(x-x0)+∂f∂y(x0,y0)(y-y0)
GRADIENT- THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS1. GRADIENT9xyz (x0,y0)z 0GfDémonstration.On introduit la fonctionFdéfinie parF(x,y,z) =z-f(x,y), pour tout(x,y,z)∈U×R.
Le graphe defest la surfaceGf={(x,y,z)∈U×R|F(x,y,z) =0}. Ainsi,Gfest aussi une surface de niveau deF. On calcule : Notez que ce vecteur n"est jamais nul et donc une équation du plan tangent en(x0,y0,z0)est : ∂f∂x(x0,y0)(x-x0)+∂f∂y(x0,y0)(y-y0)-(z-z0) =0 où on a notéz0=f(x0,y0).Exemple 5.Soitf(x,y) =3x2-2y3.
1. T rouverl"équation du plan tangent au graphe de fau-dessus de(x0,y0).On a∂f∂x(x,y) =6x,∂f∂y(x,y) =-6y2. Donc l"équation du plan tangent au point(x0,y0,f(x0,y0))est :
z=3x2 0-2y30+6x0(x-x0)-6y2
0(y-y0)
ou encore6x0x-6y2
0y-z=3x2
quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] calcul tangente en ligne
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