[PDF] Cinétique - Torseur cinétique- Torseur dynamique - Énergie cinétique

View - Download Cinétique - Torseur cinétique- Torseur dynamique - Énergie cinétique

Previous PDF

Next PDF

Cinetique

Torseur cinetique- Torseur dynamique -

Energie cinetique

Papanicola

Lycee Jacques Amyot

7 octobre 2012Sommaire

Torseur cinetique

Denition

Resultante cinetique

Changement de point

Solide indeformable

Torseur dynamique

Denition

Changement de point de

reduction

Relation entreet

Solide indeformable

Energie cinetique

Denition

Solide indeformable

cas particuliers

Caracteristiques cinetiques d'un

ensemble de solide

Torseur cinetique d'un ensemble

de solides

Torseur dynamique d'un

ensemble de solidesEnergie cinetique d'un ensemble de solidesTorseur cinetique

Denition

CE=R=8

pE=R=Z p2E# VP=Rdm

A;E=R=Z

p2E# AP^# VP=Rdm9 A(1) Le torseur cinetique est le torseur des quantites de mouvement d'un systeme materiel E dans son mouvement par rapport au referentiel

R.Torseur cinetique

Denition

CE=R=8

pE=R=Z p2E# VP=Rdm

A;E=R=Z

p2E# AP^# VP=Rdm9 A I # VP=R: Vitesse du point P du systeme materiel E dans son mouvement par rapport au referentielR; I # pE=R=Z p2E# VP=Rdm: Resultante cinetique de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR; I # A;E=R=Z p2E# AP^# VP=Rdm: Moment cinetique au point A de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR.

Torseur cinetique

Resultante cinetique

Soit O un point lie au referentielRetGle centre d'inertie de l'ensemble materielE, par denition du centre d'inertie : m

E# OG=R

P2E# OPdm.

En derivant par rapport au temps dansR:

m Eddt # OG R =ddt Z

P2E# OPdm

R Compte tenu du principe de conservation de la masse, on peut inverser la derivation par rapport au temps et l'integration sur la masse : m Eddt # OG R =Z P2E ddt # OP R dm: On reconna^t la vitesse du point G et celle du point P par rapport au referentielR: pE=R=Z p2E# VP=Rdm=mE# VG=R(2)Torseur cinetique

Changement de point

Le champ des moments cinetiques

# A;E=Rest equiprojectif, on peut donc ecrire :

B;E=R=# A;E=R+# BA^# pE=R(3)

soit B;E=R=# A;E=R+# BA^mE# VG=R:(4)Torseur cinetique

Cas du solide indeformable

L'hypothese de solide indeformable, permet d'associer les proprietes du champ des vecteurs vitesses d'un solide aux proprietes du torseur cinetique. Ainsi, pour P et A deux points lies au solide : # VP2S=R=# VA2S=R+#

S=R^# AP(5)

avec S=R: le vecteur rotation du solide S par rapport au referentiel

Rd'ou le torseur.

CS=R=8

pS=R=Z p2S# VP2S=Rdm

A;S=R=Z

p2S# AP^# VP2S=Rdm9

A(6)Torseur cinetique

Cas du solide indeformable - resultante cinetique

La resultante cinetique devient :

pS=R=Z p2S# VP=Rdm=ms# VG2S=R:(7)

Torseur cinetique

Cas du solide indeformable - moment cinetique

Determinons le moment cinetique :

A;S=R=Z

p2S# AP^# VP2S=Rdm=Z p2S# AP^# VA2S=R+#

S=R^# AP

dm Z p2S# APdm ^# VA2S=R+Z p2S# AP^#

S=R^# AP

dm avec : Z p2S# APdm=ms# AGet Z p2S# AP^#

S=R^# AP

dm=I

A(S)#

S=R

A;E=R=ms# AG^# VA2S=R+I

A(S)#

S=R:(8)Torseur cinetique

Cas du solide indeformable

Resultante cinetique

pS=R=Z p2S# VP=Rdm=ms# VG2S=R:(9)

Moment cinetique

A;E=R=ms# AG^# VA2S=R+I

A(S)#

S=R:(10)Torseur cinetique

Cas du solide indeformable - Cas particulier

AG

G;E=R=I

G(S)#

S=R A xe

A;E=R=I

A(S)#

S=R

Mvt de translation

A;E=R=ms# AG^# VA2S=RTorseur dynamique

Denition

Le torseur dynamique est le torseur des quantites d'acceleration d'un systeme materiel E dans son mouvement par rapport aR:

DE=R=8

AE=R=Z

p2E# P=Rdm

A;E=R=Z

p2E# AP^# P=Rdm9 A(11)

Torseur dynamique

Denition

I # P=R: acceleration du point P de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR; I # AE=R=Z p2E# P=Rdm: resultante dynamique de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR, on montre aussi que# AE=R=mE# G=R; (12) I # A;E=R=Z p2E# AP^# P=Rdm: moment dynamique en A de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR.Torseur dynamique

Changement de point de reduction

Le champ des moments dynamiques est un champ de torseur. Pour changer de point de reduction on utilise donc la relation generale des torseurs :# B;E=R=# A;E=R+# BA^mE# G=S:(13)Torseur dynamique

Relation entreet

A;E=R=Z

p2E# AP^# VP=Rdm, on peut ecrire en derivant ddt # A;E=R R =2 6 4ddt Z p2E#

AP^# VP=Rdm3

7 5 R=Z p2E ddt # AP^# VP=R R dm Z p2E ddt # AP R ^# VP=Rdm+Z p2E# AP^ddt # VP=R R dm Z p2E ddt # OP# OA R ^# VP=Rdm+Z p2E# AP^# P=Rdm Z p2E # VP=R# VA=R ^# VP=Rdm+Z p2E# AP^# P=Rdm ddt # A;E=R R =Z p2E#

AP^# P=RdmZ

p2E# VA=R^# VP=RdmTorseur dynamique

Relation entreet

ddt # A;E=R R =Z p2E#

AP^# P=RdmZ

p2E# VA=R^# VP=Rdm I Z p2E# AP^# P=Rdm=# A;E=R; I Z p2E#

VA=R^# VP=Rdm=# VA=R^Z

p2E#

VP=Rdm=mE# VA=R^# VG=R.

D'ou la relation cherchee entre le moment dynamique et le moment cinetique : # A;E=R=ddt # A;E=R R +mE# VA=R^# VG=R(14) A un point geometrique quelconque et G le centre d'inertie de cet ensemble materiel.

Torseur dynamique

Relation entreet

Finalement

# A;E=R=ddt # A;E=R R +mE# VA=R^# VG=R

Cas particuliers

I

AG :# G;E=R=ddt

# G;E=R R I

A xe de R :# A;E=R=ddt

# A;E=R R

Determination du moment dynamique

Il est en general plus facile de determiner le moment cinetique que le moment dynamique (le champ des vitesses est en general connu) puis de deriver. On choisira de le calculer en un point caracteristique. Pour obtenir le moment dynamique en un autre point on utilise la relation liant les moments d'un torseur.Torseur dynamique

Cas du solide indeformable

Pour un solide, a partir de la relation de composition des vitesses des points du solide :# VP2S=R=# VQ2S=R+#

S=R^# QP:

Resultante dynamique :

# AS=R=mS# G2S=R(15)

Moment dynamique en A point geometrique :

A;S=R=ddt

# A;S=R R +mS# VA=R^# VG2S=R(16)Attention

Cette derniere relation est a manipuler avec precaution, en eet# VA=Rn'est pas toujours facile a evaluer pour un point quelconque,

on se limitera donc a calculer le moment dynamique uniquement en des points avec des proprietes particulieres.Torseur dynamique

Cas du solide indeformable

Cas particuliers

I

A est confondu avec G, alors :

G;S=R=ddt

# G;S=R R ; (17) I

A est un point xe de R, alors :

A;S=R=ddt

# A;S=R R :(18) Puis on utilisera la relation de changement de point des torseurs.

B;S=R=# A;S=R+# BA^mS# G=S:(19)

Energie cinetique

Denitions

Masse ponctuelle

L 'energiecin etique elementaired' unp ointP

aecte de la massedmdans son mouvement par rapport a un repere R est donnee par : dT

P=R=12

# VP=R2dm(20)

Ensemble materiel

L 'energiecin etiqued 'unen semblem aterielE en

mouvement par rapport a un repere R est alors : T

E=R=12

Z

P2E# VP=R2dm(21)

L'unite de l'energie cinetique est le Joule.

Energie cinetique

Cas du solide indeformable

Soit un solide S de masse m, de centre d'inertie G, en mouvement par rapport a un repereR, A un point lie au solide. On peut alors ecrire l'energie cinetique du solide dans son mouvement par rapport au referentielR: T

S=R=12

Z

P2E# VP2S=R2dm:(22)

Energie cinetique

Cas du solide indeformable

Determinons l'energie cinetique d'un solide :

T

S=R=12

Z P2E# VP2S=R2dmavecVVPS=R=# VA2S=R+#

S=R^# AP

12 Z P2E # VA2S=R+#

S=R^# AP

2dm 12 Z

P2E# VA2S=R2dm+Z

P2E

S=R^# AP

2dm T

S=R=12

Z

P2E# VA2S=R2dm+Z

P2E# VA2S=R#

S=R^# AP

dm 12Z P2E

S=R^# AP

2dm

Energie cinetique

Cas du solide indeformable

T

S=R=12

Z

P2E# VA2S=R2dm+Z

P2E# VA2S=R#

S=R^# AP

dm 12 Z P2E

S=R^# AP

2dm

VA2S=Ret#

S=Rindependant dedm

12 mS# VA2S=R2+# VA2S=R# S=R^Z

P2E# APdm

12 Z P2E

S=R^# AP

S=R^# AP

dm

On reconna^t le produit mixte (

#u^#v)#winvariant par permutation circulaire avec #u=#

S=R,#v=# APet#w=#

quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

[PDF] torseur cours

[PDF] torseur statique exercices corrigés

[PDF] torseur couple

[PDF] comoment de deux torseurs

[PDF] mouvement parabolique terminale s

[PDF] casio graph 35+ statistique 2 variable

[PDF] côté adjacent triangle rectangle

[PDF] trigonométrie 5ème secondaire

[PDF] calcul trigonométrique pdf tronc commun

[PDF] sonde jj retrait

[PDF] sonde jj effet secondaire

[PDF] sonde jj douleur insupportable

[PDF] pose sonde jj arret travail

[PDF] sonde double j indication

[PDF] sonde double j soins infirmiers