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Support de cours de préparation au concours de Professeur des Ecoles

Denis Vekemans

1 1

Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ;

France

Table des matières1 Introduction3

1.1 Une brève présentation de l"épreuve du concours ... . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Auto-promo ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Les nombres7

2.1 Arithmétique dans l"ensemble des entiers naturels . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 L"ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.3 Diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.4 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.5 Les nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.6 Plus grand commun diviseur de deux entiers naturels . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.7 Plus petit commun multiple de deux entiers naturels . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Principes de numération dans l"ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Les techniques opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2 Les critères de divisibilité dans la base décimale . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.1 La loi interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.2 La loi associative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.3 L"élément neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.4 L"élément symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.5 La loi commutative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.6 La distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.7 Ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.8 Le développement décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 La géométrie25

3.1 La géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Droites, demi-droites, segments (définitions) . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2 Droites perpendiculaires, droites parallèles . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.3 Médiatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.4 Cercles (définitions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.5 Angles (définitions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.6 Angles et droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.7 Bissectrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.8 Angles et cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.9 Polygones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Les théorèmes de Thalès et Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.1 Le théorème de Thalès . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1

3.2.2 Le théorème de Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Les transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.1 Les translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.2 Les rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.3 Les symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.4 Les isométries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.5 Les homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.6 Les triangles et les transformations . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 La géométrie dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4.1 Droites et plans dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4.2 Les polyèdres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.3 D"autres figures dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.4 Différents modes de représentation dans l"espace . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 La proportionnalité et les fonctions68

4.1 Les propriétés relatives à la proportionnalité . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2 Les fonctions linéaires et affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

A Logique76

A.1 Le vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 76

A.2 Les opérateurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

A.3 Plusieurs types de démonstrations usuels . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

A.4 "Il faut" et "Il suffit" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

B Mesures79

B.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

B.2 Longueur, aire et volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

B.2.1 Sur la droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 79

B.2.2 Sur le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 80

B.2.3 Dans l"espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 80

C Aires et volumes81

C.1 Aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 81

C.2 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 81

D Approximation82

D.1 Valeur approchée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

D.2 Valeur approchée par troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

D.3 Valeur approchée par défaut ou par excès . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

D.3.1 UNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 82

D.3.2 LA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 83

D.4 Valeur arrondie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

E Problèmes algébriques85

E.1 Equations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

E.2 Systèmes d"équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

E.2.1 Equations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2 Chapitre 1Introduction1.1 Une brève présentation de l"épreuve du concours ...

Epreuve écrite de mathématiques.

Le candidat doit résoudre trois ou quatre exercices, puis répondre à une ou deux questions complé-

mentaires sur la mise en oeuvre en situation d"enseignementd"une ou plusieurs notions abordées dans

l"énoncé. Durée de l"épreuve : 3 heures. Coefficient : 3.

L"épreuve est notée sur 20 : 12 points sont attribués à la résolution des exercices et 8 points aux questions

complémentaires.

L"épreuve permet de mettre en évidence chez le candidat, d"une part, la maîtrise des savoirs disciplinaires

nécessaires à l"enseignement des mathématiques à l"école primaire et la qualité du raisonnement logique,

ainsi que l"aptitude à utiliser les outils mathématiques, àinterpréter des résultats dans les domaines

numérique et géométrique et à formuler avec rigueur sa pensée par différents modes d"expression et de

représentation, d"autre part, la connaissance des objectifs, des programmes et des principaux documents

d"accompagnement de l"enseignement des mathématiques à l"école primaire, ainsi qu"une bonne aptitude

à les mettre en relation avec la pratique de la classe.

Les questions complémentaires trouvent obligatoirement leur origine dans les exercices proposés. Elles

peuvent porter sur :

1. la place et le niveau de traitement d"une notion dans les programmes en vigueur pour l"enseignement

du premier degré;

2. la conception et la mise en oeuvre d"une séquence d"apprentissage;

3. l"identification de sources possibles d"erreurs repérées dans des travaux d"élèves;

4. des scénarios possibles pour des séances faisant appel aux TICE.

Programme de mathématiques

- Le nombre et les nombres (entiers, décimaux, rationnels, réels) et les relations entre diverses repré-

sentations (fractionnaire, décimale, scientifique). - Opérations sur les nombres. - Représentations des relations entre les nombres : égalité,ordre, approximation. - Notions de proportionnalité (fonction linéaire).

- Mesures (longueur, masse, durée, vitesse, aire, volume) en relation avec les sciences expérimentales.

- Éléments simples de géométrie plane (droite, angles, figures classiques et propriétés principales, sy-

métries, homothéties, rotations) et de géométrie dans l"espace (quelques solides usuels et propriétés

3 principales).

- Éléments sur l"utilisation des calculatrices électroniques et d"outils informatiques simples (tableurs).

- Représentation et interprétation simple de données (tableaux, diagrammes, graphiques).

Pour la session de 2006, c"est l"épreuve décrite ci-dessus qui attend le candidat, mais le présent support

de cours utilise des sujets qui étaient proposés jusqu"à la session 2005 et où il s"agissait d"une épreuve écrite

qui devait être traitée en trois heures et qui était composéede deux parties : une partie disciplinaire notée

sur douze points dont huit sur les connaissances mathématiques et quatre sur l"analyse de productions

d"élèves et une partie didactique notée sur huit points.

Une interprétation du nouveau texte pourrait être la suivante : le candidat peut s"attendre à trois (ou

quatre) exercices dont

- un comportant une ou deux questions complémentaires relatives à des productions d"élèves;

- un comportant trois ou quatre questions relatives à l"analyse ou à la conception d"une séquence de

classe; - et un (ou deux) exercice(s) sans question complémentaire.

On peut diviser le programme en trois grands axes disciplinaires : les nombres, la géométrie et la

proportionnalité.

1.2 Auto-promo ...

Les sites :

- http ://vekemans.free.fr/WWWPE - http ://tice.lille.iufm.fr/cream/ , Rubrique4. Enseignement à Distance (Professeurs des Ecoles), - http ://www.univ-lille1.fr/irem/activites/

RubriquePréparation au CAPE,

regroupent ce cours et ces exercices, mais on peut aussi trouver sur ces sites les corrigés des exercices, des

analyses de productions corrigées, et des volets didactiques corrigés. 4

Bibliographie

[1] Roland Charnay et Michel Mante,Préparation à l"épreuve de mathématiques du concours de professeur des écoles, tome

1 et tome 2 Hatier Concours, 1998.

[2] Alain Descaves,Les Mathématiques au concours de Professeurs des Ecoles, Hachette, 2004.

[3] Muriel Fénichel et Marcelle Pauvert ,L"épreuve de mathématiques au concours de professeur des écoles - Notions

fondamentales et exercices corrigés -, Bordas, 2003. Les Annales du Concours externe de Recrutement des Professeurs d"Ecole Mathématiques , ARPEME, une édition par session; pour commander, voir le site (http ://www.arpeme.com/).

[4] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 1995, Sujets et Corrigés,

COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des mathématiques à l"école élémentaire), 1995.

[5] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 1996, Sujets et Corrigés,

COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des mathématiques à l"école élémentaire), 1996.

[6] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 1997, Sujets et Corrigés,

COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des mathématiques à l"école élémentaire), 1997.

[7] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 1998, Sujets et Corrigés,

COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des mathématiques à l"école élémentaire), 1998.

[8] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 1999, Sujets et Corrigés,

COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des mathématiques à l"école élémentaire), 1999.

[9] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 2000, Sujets et Corrigés,

COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des mathématiques à l"école élémentaire), 2000.

[10] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 2001, Sujets et Corrigés,

COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des mathématiques à l"école élémentaire), 2001.

[11] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 2002, Sujets et Corrigés,

COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des mathématiques à l"école élémentaire), 2002.

[12] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 2003, Sujets et Corrigés,

COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des mathématiques à l"école élémentaire), 2003.

[13] Concours externe de Recrutement des Professeurs des Ecoles,MATHEMATIQUES, Annales 2004, Sujets et Corrigés,

COPIRELEM (Commission Permanente des IREM pour l"enseignement des mathématiques à l"école élémentaire),

2004.

A propos des programmes ...

Ministère de l"Éducation nationale,Qu"apprend-on à l"école maternelle?CNDP, 2002. Disponible au format PDF sur

le site du CNDP (http ://www.cndp.fr/archivage/valid/66855/66855-9473-11767.pdf). 5

Ministère de l"Éducation nationale,Qu"apprend-on à l"école élémentaire?CNDP, 2002. Disponible au format PDF sur

le site du CNDP (http ://www.cndp.fr/archivage/valid/66853/66853-9477-11766.pdf).

Mathématiques : documents d"accompagnement.

Utiliser les calculatrices en classe (C2 et C3). Disponible au format PDF sur le site du CNDP (http ://www.eduscol.education.fr/D0048/calculatrice.pdf). Calcul mental. Disponible au format PDF sur le site du CNDP (http ://www.eduscol.education.fr/D0048/calcul mental.pdf). Articulation Ecole/Collège. Disponible au format PDF sur le site du CNDP (http ://www.eduscol.education.fr/D0015/C3

6.pdf).

Calcul posé. Disponible au format PDF sur le site du CNDP (http ://www.eduscol.education.fr/D0048/calcul pose.pdf). Les problèmes pour chercher. Disponible au format PDF sur le site du CNDP (http ://www.eduscol.education.fr/D0048/pb pourchercher.pdf).

Vers les mathématiques : Quel travail en maternelle?. Disponible au format PDF sur le site du CNDP

(http ://www.eduscol.education.fr/D0048/vers lesmath.pdf). Des solutions personnelles vers les solutions expertes. Disponible au format PDF sur le site du CNDP (http ://www.eduscol.education.fr/D0048/Solutions.pdf). Grandeurs et mesure à l"école élémentaire. Disponible au format PDF sur le site du CNDP (http ://www.eduscol.education.fr/D0048/Grandeurs.pdf). Espace et géométrie au cycle 2. Disponible au format PDF sur le site du CNDP (http ://www.eduscol.education.fr/D0048/Espace.pdf). L"INTEGRALITE DE CES DOCUMENTS D"ACCOMPAGNEMENT DES PROGRAMMES... (http ://www.cndp.fr/textes 6

Chapitre 2Les nombres2.1 Arithmétique dans l"ensemble des entiers naturels2.1.1 L"ensemble des entiers naturels

Définition naïve:0est un entier naturel; et, sinest un entier naturel, alorsn+ 1aussi.

Ainsi, comme0est entier naturel,0 + 1 = 1aussi; puis, comme1est entier naturel,1 + 1 = 2aussi; puis, comme0est

entier naturel,2 + 1 = 3aussi;... Remarque: l"ensemble des entiers naturels est de cardinal infini.

2.1.2 Multiples

Définition: on dit queaest multiple debs"il existe un entier naturelktel quea=k×b.

Exemple:21est multiple de7. En effet,21 = 3×7.

Exercices non corrigés:

Exercice 1

-10est-il multiple de4?1 -252est-il multiple de9?2 - Quel est l"ensemble des multiples de5?3 - Soitnun entier naturel.0est-il un multiple den?4

Théorème 2.1

Propriété additive : siaest multiple decetbest multiple dec, alors,a+best multiple dec. Exemple:21et49sont multiples de7; et,21 + 49 = 70l"est par conséquent.

Démonstration

Il existe un entier naturelktel quea=k×c(caraest multiple dec). Il existe un entier naturelltel queb=l×c(carb

est multiple dec). Ainsi, par somme,a+b=k×c+l×c= (k+l)×c. Puis,a+best multiple dec(on a pu trouver un

entier naturelk+lqui, multiplié parc, donnea+b).

Théorème 2.2

Propriété de transitivité : siaest multiple debetbest multiple dec, alors,aest multiple dec.

Exemple:63est multiple de21et21est multiple de7; puis,63est multiple de7, par conséquent.

Démonstration

Il existe un entier naturelktel quea=k×b(caraest multiple deb). Il existe un entier naturelltel queb=l×c(carb

1Non,10 = 2,5×4, mais2,5n"est pas un entier naturel.

2Oui, car252 = 28×9et28est bien un entier naturel.

30,5,10,15,...Cet ensemble est de cardinal infini.

4Oui, car0 = 0×n.

7

est multiple dec). Ainsi, par substitution,a=k×b=k×(l×c) = (k×l)×c(par associativité de la multiplication). Puis,

aest multiple dec(on a pu trouver un entier naturelk×lqui, multiplié parc, donnea).

Exercices non corrigés:

Exercice 2

- Vrai ou faux (justifié) : siaest multiple debetaest multiple dec, alors,aest multiple deb+c.5

- Vrai ou faux (justifié) : siaest multiple dec, sibest multiple decet sia≥b, alors,a-best multiple dec.6

- Vrai ou faux (justifié) : je connais un multiple de14qui ne soit pas un multiple de7.7

- Vrai ou faux (justifié) : je connais un multiple de7qui ne soit ni un multiple de14, ni un multiple de21, ni le nombre

7, lui-même.8

2.1.3 Diviseurs

Définition: on dit queaest diviseur debs"il existe un entier naturelktel queb=k×a.

Exemple:8est diviseur de56. En effet,56 = 7×8.

Exercices non corrigés:

Exercice 3

-5est-il diviseur de25?9 -18est-il diviseur de9?10 - Quel est l"ensemble des diviseurs de48?11 - Soitnun entier naturel non nul.0est-il diviseur den?12

Remarque importante: siaest un multiple deb, alorsbest un diviseur dea; réciproquement, sibest un diviseur dea,

alorsaest un multiple deb.

Théorème 2.3

Propriété additive : sicest diviseur deaetcest diviseur deb, alors,cest diviseur dea+b.13

Théorème 2.4

Propriété de transitivité : sicest diviseur debetbest diviseur dea, alors,cest diviseur dea.14

Exercices non corrigés:

Exercice 4

- Vrai ou faux (justifié) : sicest diviseur dea, sibest diviseur deaet sic≥b, alors,c-best diviseur dea.15

- Vrai ou faux (justifié) : je connais un diviseur de24qui ne soit pas un diviseur de12, ni24, lui-même.16

- Vrai ou faux (justifié) : je connais un diviseur de124qui ne soit pas un diviseur de248.17

5Faux!21est multiple de3et de7, mais pas de3 + 7 = 10.

6Vrai! En effet, il existe un entier naturelktel quea=k×c(caraest multiple dec); il existe un entier naturelltel queb=l×c(carbest

multiple dec); ainsi, par somme,a-b=k×c-l×c= (k-l)×c. Puis,a-best multiple dec(on a pu trouver un entier naturelk-l[Remarque :

c"est un entier relatif, comme différence de deux entiers relatifs et il est positif cara-betcle sont.] qui, multiplié parc, donnea-b).

7Faux! D"après la propriété de transitivité, comme14est multiple de7, tout multiple de14, l"est de7.

8Vrai! Par exemple,35,49,...

9Oui, car25 = 5×5, et5est bien un entier naturel.

10Non, car9 =1

2×18et12n"est pas un entier naturel.

111,2,3,4,6,8,12,16,24, et48. Cet ensemble est de cardinal fini.

12Non, car0×k= 0?=n.

13C"est exactement la propriété additive vue dans la section précédente.

14C"est exactement la propriété de transitivité vue dans la section précédente.

15Faux!7et3sont des diviseurs de21, mais pas7-3 = 4.

16Vrai!8.

17Faux! D"après la propriété de transitivité, comme124est diviseur de248, tout diviseur de124, l"est de248.

8

2.1.4 Division euclidienne

Définition: poura(entier naturel quelconque) etb(entier naturel non nul quelconque), il existe un entier naturelqet

un entier naturelrtels que a=b×q+r, où

Dans ce cas, on parle de division euclidienne dea(le dividende) parb(le diviseur) oùqest un quotient etrun reste.

Théorème 2.5

Dans la division euclidienne deaparb, le quotient et le reste sont définis de façon unique.

Note: le quotient provenant de la division euclidienne deaparbest souvent appelé quotient euclidien pour le distinguer

du quotienta/b.

Exemple: dans la division euclidienne de356par15, le quotient est23et le reste est11; cela s"écrit :356 = 23×15+11.

L"algorithme d"Euclide pour la division euclidienne

Le voici sur l"exemple de la division euclidienne de3562par23. Il permet d"obtenir le reste (20) et le quotient (154) de

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