Tronc Commun Série 1 : Calcul vectoriel
Tronc Commun. Série 1: Calcul vectoriel. 2. Montrer que MN = 3. Montrer que AM + AP AN. AP. BC. = Exercice 2: Soient A; B; C et M quatre points du plan.
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PROF : ATMANI NAJIB. Tronc CS. Exercice 1 : on considére les vecteurs : et. Simplifier les vecteurs : U et V. Solution : U BC AC BA AB BC CA AB AB.
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Tronc CS. Calcul vectoriel dans le plan. PROF : ATMANI NAJIB Soient les vecteurs u et v deux vecteurs du plan et A un point du plan.
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Soit u et v deux vecteurs du plan. u et v sont orthogonaux si et seulement si : ?. u v = 0. Le vecteur nul 0 est orthogonal à tous les vecteurs
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Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel
I.3.5 Double produit vectoriel Chapitre 1 : Rappel sur le calcul vectoriel. Fatima BOUYAHIA ... Une direction perpendiculaire au plan formé par les.
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A quelle condition un plan vectoriel et une droite vectorielle de R3 sont-ils supplémentaires ? Trouver un vecteur non-nul commun aux deux plans.
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Comment calculer les vectoriels ?
On obtient le vecteur unitaire en divisant le vecteur initial par son module : Notion de vecteur lié et vecteur glissant : a/ les vecteurs liés sont notés l'origine A est fixé ; b/ Si le point d'application se déplace sur la droite, le vecteur est dit vecteur glissant.Comment calculer les vecteurs U et V ?
(a) L'addition vectorielle. On définit l'addition ou somme de deux vecteurs ?u et ?v, comme le vecteur dont les composantes sont obtenues par addition des composantes correspondantes des deux vecteurs ?u et ?v. On note ?u+v le vecteur somme. ?u+?v=(ux+vx,uy+vy).Comment multiplier deux vecteurs ?
Si les composantes cartésiennes des vecteurs ?u et ?v sont respectivement (a, b) et (c, d), alors ?u??v=ac+bd.- Ensuite, la norme du produit vectoriel �� vectoriel �� est donnée par la norme de �� multipliée par la norme de �� multipliée par le sinus de l'angle �� entre �� et ��. Donc, pour répondre à cette question, nous devons appliquer cette équation générale à nos deux vecteurs �� majuscule et �� majuscule.
Cours de Mécanique des Systèmes de
Solides Indéformables
M. BOURICH (ENSAM)
Deuxième édition 2014
AVANT²PROPOS
Ce manuel est un cours de base de la mécanique des systèmes de solides indéformables,
SMUPLŃXOLqUHPHQP GHVPLQp MX[ pPXGLMQPV GH OM GHX[LqPH MQQpH GH O·eŃROH 1MPLRQMOH GHV 6ŃLHQŃHV $SSOLTXpHV
de Marrakech. La première édition du présent manuel est constituéH GX ŃRXUV TXH Ó·ML MVVXUp HQPUH 2004
et 2010, en deuxième année SMP à la faculté poly-disciplinaire de Safi. Cette seconde édition respecte le
ŃRQPHQX GX GHVŃULSPLI GH OM PpŃMQLTXH GHV V\VPqPHV GH VROLGHV LQGpIRUPMNOHV GH OM ILOLqUH (*7 GH O·eŃROH
Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech, accréditée.L'objectif de ce cours est d'apporter une contribution à l'acquisition d'une culture scientifique de
base permettant une meilleure compréhension des lois du mouvement et la maîtrise dans le maniement
des outils de la mécanique.FOMTXH ŃOMSLPUH V·RXYUH SMU OM SUpŃLVLRQ GHV RNÓHŃPLIV HP GHV ŃRPSpPHQŃHV YLVpHVB I·LQPURGXŃPLRQ GH
pourra relater les événements PMUTXMQPV GH O·OLVPRLUH GH OM PpŃMQLTXHBConformément au descriptif de la mécanique des systèmes de solides indéformables, le cours est
articulé en sept chapitres :Calcul vectoriel-Torseurs,
Cinématique du solide,
Géométrie des masses,
Cinétique du solide,
Dynamique du solide,
Liaisons-Forces de liaison,
0RXYHPHQP G·XQ VROLGH MXPRXU G·XQ SRLQP RX G·XQ M[H IL[HVB
3RXU O·pOMNRUMPLRQ GH ŃH ŃRXUV SRO\ŃRSLp Ó·ML XPLOLVp GH QRPNUHXVHV UHVVRXUŃHV SpGMJRJLTXHV
citées en bibliographie : ouvrages, sites Web et le polycopié de mon cher enseignant Monsieur M.
Hasnaoui.
Gageons que ce cours constituera un précieux outil pédagogique pour les étudiants, tant pour une
SUpSMUMPLRQ HIILŃMŃH GHV H[MPHQV TXH SRXU O·MŃTXLVLPLRQ G·XQH VROLGH ŃXOPXUH VŃLHQtifique.
M.Bourich
Illustration de couverture :
GALILÉE (Galileo Galilei, 1564-1642)
(Source : https://www.delcampe.net)Mathématicien, philosophe et astronome italien. Il utilisa le premier, en 1610, un système optique
pour observer le ciel et révolutionna l'observation de l'Univers. Il découvrit l'inégalité de la surface de la
Lune, les 4 étoiles (satellites) autour de Jupiter, Saturne au triple corps (les anneaux), les phases de
Vénus, et résolut la Voie Lactée en étoiles.Il fut un des précurseurs de la mécanique classique (celle de Newton), introduisant l'usage des
mathématiques pour l'explication des lois de la physique. Il établit la loi de la chute des corps dans le vide,
et donna une première formulation du principe de relativité. Il défendit ardemment les thèses
héliocentriques de Copernic. Contraire aux Saintes Ecritures, le livre écrit sur le sujet fut interdit et les
exemplaires saisis et brûlés.A 70 ans (en 1634), jugé par l'église catholique, il fut accusé d'hérésie et dut prononcer un serment
d'abjuration pour ne pas être condamné à mort sur le bûcher. L'Église l'a réhabilité seulement en 1992.
Table des matières
AVANT²PROPOS ................................................................................................................................................................................................... 2
PLAN D·ÉTUDE D·UN SYSTÈME MÉCANIQUE ............................................................................................................................................................... 7
CALCUL VECTORIEL - TORSEURS...................................................................................................................................................................... 10
I² Approche historique ........................................................................................................................................................................... 10
II² Définitions ........................................................................................................................................................................................... 10
1 ² Espace vectoriel ........................................................................................................................................................................... 10
2 - Espace vectoriel Euclidien .......................................................................................................................................................... 10
II- Espace Affine-Espace Métrique ....................................................................................................................................................... 10
1 ² Espace affine ................................................................................................................................................................................. 10
2 - Espace métrique ............................................................................................................................................................................ 11
III² Vecteurs-0RPHQP G·XQ YHŃPHXU ...................................................................................................................................................... 11
1- Introduction ...................................................................................................................................................................................... 11
2- Vecteur lié-Vecteur glissant ........................................................................................................................................................ 11
3 - Opérations sur les vecteurs ....................................................................................................................................................... 11
4- 0RPHQP G·XQ YHŃPHXU HQ XQ SRLQP............................................................................................................................................... 12
IV- Torseurs .............................................................................................................................................................................................. 13
1 - Introduction .................................................................................................................................................................................... 13
2- Application antisymétrique ......................................................................................................................................................... 13
3- Champ antisymétrique ................................................................................................................................................................. 14
4- Torseurs .......................................................................................................................................................................................... 15
CINÉMATIQUE DU SOLIDE ................................................................................................................................................................................. 20
I. Approche historique ........................................................................................................................................................................... 20
II. Espace Repère-Solide rigide ........................................................................................................................................................... 20
1- Espace repère ................................................................................................................................................................................ 20
2- GpILQLPLRQ G·XQ VROLGH ULJLGH ........................................................................................................................................................ 20
III. Notion des Champs des Vitesse et des Accélérations ............................................................................................................... 21
1-Introduction ...................................................................................................................................................................................... 21
2-FOMPS GHV YLPHVVHV G·XQ VROLGH .................................................................................................................................................. 21
3- FOMPS GHV MŃŃpOpUMPLRQV G·XQ VROLGH ....................................................................................................................................... 21
IV. Mouvements de translation-rotation-tangent ............................................................................................................................ 22
1- Mouvement de translation ........................................................................................................................................................... 22
2- 5RPMPLRQ G·XQ VROLGH MXPRXU G·XQ M[H IL[H ................................................................................................................................ 22
3- Mouvement hélicoïdal .................................................................................................................................................................. 23
4- 0RXYHPHQP JpQpUMO G·XQ VROLGH : Mouvement tangent ......................................................................................................... 23
IV- Composition des Mouvements ....................................................................................................................................................... 24
1- Dérivation vectorielle ................................................................................................................................................................... 24
2- Composition des vitesses ........................................................................................................................................................... 25
3- Composition des vecteurs rotations ....................................................................................................................................... 25
4- Composition des accélérations ................................................................................................................................................. 26
V- Cinématique des solides en contact............................................................................................................................................. 26
1- Vitesse de glissement ................................................................................................................................................................... 27
2- Roulement et pivotement ............................................................................................................................................................ 28
VI- 0RXYHPHQP SOMQ G·XQ VROLGH ............................................................................................................................................................ 28
1- Définition ......................................................................................................................................................................................... 28
2- Centre instantané de rotation (C.I.R.) ...................................................................................................................................... 29
3- Base et roulante-Étude analytique ........................................................................................................................................... 29
GÉOMÉTRIE DES MASSES ................................................................................................................................................................................. 35
I. Approche historique ...........................................................................................................................................................................35
II. Masse - Centre de Masse .................................................................................................................................................................35
1- Définition .........................................................................................................................................................................................35
2- Centre de masse ......................................................................................................................................................................... 36
3- Théorème de Guldin .................................................................................................................................................................... 36
Les méthodes pratiques de recherche de G dans le cas de corps homogènes : ............................................................... 36
4- Centre de masse de volume ou de surface homogènes présentant un axe de révolution ......................................... 38
HHHB 0RPHQP G·LQHUPLH - 2SpUMPHXU G·LQHUPLH ....................................................................................................................................... 38
1- Définitions ...................................................................................................................................................................................... 38
2- 0RPHQP G·LQHUPLH .......................................................................................................................................................................... 39
Les relations entre ces grandeurs :On peut écrire .................................................................................................................. 39
3- 2SpUMPHXU G·LQHUPLH HQ XQ SRLQP 2 ............................................................................................................................................. 40
IV- 0MPULŃH G·LQHUPLH-0MPULŃH SULQŃLSMO G·LQHUPLH............................................................................................................................... 41
1- 0MPULŃH G·LQHUPLH ............................................................................................................................................................................. 41
2- 0MPULŃH SULQŃLSMOH G·LQHUPLH ....................................................................................................................................................... 42
V- Théorème de Huygens ...................................................................................................................................................................... 43
1- 5HOMPLRQ HQPUH OHV RSpUMPHXUV G·LQHUPLH G·XQ V\VPqPH HQ GHX[ SRLQPV .............................................................................. 43
2- Théorème de Huygens .................................................................................................................................................................... 1
VI- Exemple de corps homogènes classiques ............................................................................................................................. 44
CINÉTIQUE DU SOLIDE ...................................................................................................................................................................................... 49
I. Introduction ........................................................................................................................................................................................... 49
II. Définitions des cinq quantités cinétiques ...................................................................................................................................... 49
III. Torseur Cinétique ............................................................................................................................................................................... 49
1- Quantité de Mouvement ................................................................................................................................................................ 49
2- Moment Cinétique ........................................................................................................................................................................ 50
IV. Torseur Dynamique [D] ..................................................................................................................................................................... 52
1. Quantité d'accélération (résultante dynamique) .................................................................................................................... 52
2- Moment dynamique ......................................................................................................................................................................53
3- Autres résultats ........................................................................................................................................................................... 54
V. Énergie Cinétique ................................................................................................................................................................................ 56
1- Introduction ................................................................................................................................................................................... 56
2- GHX[LqPH POpRUqPH GH .±QLJ .................................................................................................................................................. 56
DYNAMIQUE DU SOLIDE .................................................................................................................................................................................... 60
I. Approche historique............................................................................................................................................................................ 60
II. Principe Fondamental de la Dynamique - Théorèmes Généraux .............................................................................................. 60
1- Introduction ................................................................................................................................................................................... 60
2- Torseur des forces appliquées à (S) ...................................................................................................................................... 60
3- Classification des forces ............................................................................................................................................................. 61
4- Principe fondamental de la dynamique (PFD) ou axiome de la dynamique ..................................................................... 61
5- 7OpRUqPH GHV LQPHUMŃPLRQV RX POpRUqPH GH O·MŃPLRQ HP GH OM UpMŃPLRQ ............................................................................ 62
III- Changement de repère - Repère galiléen ................................................................................................................................... 63
1- Position du Problème ................................................................................................................................................................... 63
2- 7RUVHXU G\QMPLTXH G·HQPUMvQHPHQP-Torseur dynamique de Coriolis .............................................................................. 63
IV. Travail et puissance ........................................................................................................................................................................... 64
1- 3XLVVMQŃH G·XQ ŃRXSOH MSSOLTXp j XQ VROLGH ............................................................................................................................. 64
2- 3XLVVMQŃH G·XQ PRUVHXU GH IRUŃHV MSSOLTXpHV j XQ VROLGH .................................................................................................. 64
3- Puissance du torseur des forces appliquées à un système matériel (S) ...................................................................... 65
4- 7OpRUqPH GH O·pQHUJLH ŃLQpPLTXH .............................................................................................................................................. 66
LIAISONS - FORCES DE LIAISON ...................................................................................................................................................................... 70
I. Introduction ........................................................................................................................................................................................... 70
II. Liaisons-Actions de contact .............................................................................................................................................................. 70
1- Définition ......................................................................................................................................................................................... 70
2- Liaisons ........................................................................................................................................................................................... 70
3- Liaison holonome ........................................................................................................................................................................... 71
4- Action de contact ........................................................................................................................................................................... 71
III. Lois de Coulomb ................................................................................................................................................................................... 71
1- Approche historique ...................................................................................................................................................................... 71
2- Réaction normale ......................................................................................................................................................................... 72
3- Réaction tangentielle ................................................................................................................................................................... 72
4- Vitesse de rotation de pivotement-roulement ....................................................................................................................... 73
5- Puissance totale des actions de contact ................................................................................................................................ 73
H9B ([HPSOH G·MSSOLŃMPLRQ PRXYHPHQP G·XQH VSOqUH VXU XQ SOMQ LQŃOLQp..................................................................................... 74
MOUVEMENT D·UN SOLIDE AUTOUR D·UN POINT OU D·UN AXE FIXES ................................................................................................................ 79
I- Approche historique ............................................................................................................................................................................ 79
II- 5RPMPLRQ G·XQ 6ROLGH MXPRXU G·XQ 3RLQP )L[H $QJOHV G·(XOHU .................................................................................................... 79
1- $QJOHV G·(8I(5 ............................................................................................................................................................................... 79
2- Moment cinétique en O du solide : ........................................................................................................................................... 80
3- Moment dynamique en O: ........................................................................................................................................................... 80
4- Énergie cinétique: ........................................................................................................................................................................ 80
III- Exemple de la toupie symétrique sur sa pointe fixe O ............................................................................................................... 81
9HB 6ROLGH PRNLOH MXPRXU G·XQ M[H IL[H ........................................................................................................................................... 84
1. Exemple ............................................................................................................................................................................................ 84
2. Énergie cinétique .......................................................................................................................................................................... 85
3. Mouvement du centre de gravité ............................................................................................................................................. 85
BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................................................................................................ 87
Mécanique des systèmes de solides indéformablesM.BOURICH 7
PLAN D·ÉTUDE D·UN SYSTÈME MÉCANIQUE Définir le système mécanique étudié : (S)Étude cinématique :
vecteurs rotation vecteurs vitesses veteurs accélérations "BGéométrie de masse :
masseŃHQPUH GH PMVVH G·LQHUPLH
PMPULŃH G·LQHUPLH ""
Étude cinétique :
déterminer les torseurs des actions mécaniques extérieures agissant sur (S) et les ramener en des points judicieusement choisisÉtude dynamique :
application des théorèmes généraux au système (S)5pVROXPLRQ GH V\VPqPH GLIIpUHQPLHO SRXU O·RNPHQPLRQ GHV
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