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Physique des Plasmas & de la Fusion

Rappels sur l'operateurr(nabla)

roch smets | 2015 2

Table des matieres

1 Notes sur les equations tensorielles 5

1.1 Les symboles de Kronecker et de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Formules vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 De Vlasov a la hierarchie des equations

uides . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Les moments de la fonction de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5 Les equations

uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 L'operateurr11

2.1rdans les 3 systemes de coordonnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

2.2 Formules vectorielles avecr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2.3 Theoremes du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4 Theoremes de Gauss-Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.5 Theoreme de Kelvin-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.6 Identites de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 3

4Table des matieres

| 1 |

Notes sur les equations tensorielles

Dans ces notes, j'adopte la convention anglo-saxonne pour noter les vecteurs : les caracteres gras. Il s'impose donc aussi aux symboles, comme le nabla. Dans la section suivante qui traite des tenseurs, on utilisera aussi ce formalisme pour les tenseurs de tous ordres. Ce choix peut etonner car cette convention ne permet pasa prioride determiner l'ordre des tenseurs. mais le contexte le permet souvent, et il permet de ne pas surcharger l'ecriture des tenseurs d'ordres eleves, avec des collections de eches.

1.1 Les symboles de Kronecker et de Levi-Civita

Le symbole de Kronecker. Il se noteouijen notation indicee. C'est un tenseur d'ordre

2 et de dimension 3 (mais on peut aussi le denir a 2 dimensions) donne par

=0 B @1 0 0 0 1 0

0 0 11

C

A(1.1)

on l'appelle aussi tenseur unite. Ainsi,ij= 1 sii=jetij= 0 sii6=j. Le symbole de Levi-Civita. Il se note"ou"ijken notation indicee. C'est un tenseur d'ordre 3 et de dimension 3. Il peut s'exprimer a l'aide du determinant i1i2i3 j1j2j3 k1k2k3 (1.2) Les elements de ce tenseur ne peuvent donc valoir que -1, 0 ou +1. Ainsi,"ijk= +1 si (i;j;k)2 f(1;2;3);(2;3;1);(3;1;2)g,"ijk=1 si (i;j;k)2 f(3;2;1);(2;1;3);(1;3;2)g, ijk= 0 autrement (si 2 indices sont egaux). Le symbole de Levi-Civita est utile dans l'ecriture sous forme indicee d'un produit vectoriel. Ainsi,A=BCs'ecrit sous forme indiceeAi="ijkBjCk. Cette ecriture n'est pas unique, on peut faire ce que l'on veut comme permutation directe sur les indices de", ou m^eme indirecte en ajoutant un signe moins. Ainsi,Ai=Ck"ijkBjou encoreBj"jikCk. Sous forme vectorielle, cela s'ecrit doncA=C:":Bou encoreA=B:":C 5

61. Notes sur lesequations tensorielles1.2 Formules vectorielles

SoitAetBdeux vecteurs.

Propriete1.Le produit scalaire est commutatif

A:B=B:A(1.3)

Propriete2.Le produit vectoriel est anti-commutatif

AB=BA(1.4)

Par contre, les produits scalaires ou vectoriels avec des tenseurs, ne satisfont pas a ces reglesa priori. Pour que cela soit le cas, il faut que le ou les tenseurs soient symetriques.

Propriete3.(Produit mixte)

A:(BC) =B:(CA) =C:(AB) (1.5)

C'est une permutation que l'on utilise souvent. Attention a garder une permutation des vecteursA,BetCdans le bon ordre.

Propriete4.(Double produit vectoriel)

A(BC) =A:(CBBC) (1.6)

C'est une forme que l'on rencontre assez peu, mais qui me semble moins dangereuse que le moyen mnemotechnique \bac moins cab"... car dans cette expression, rien ne vous dit ou doivent se trouver les parantheses, qui sont indispensables. La notation ci-dessus implique une ecriture tensorielle, mais elle n'a rien de complique, et facilite m^eme souvent les calculs.

Propriete5.(Produit mixte, bis repetita)

(AB):(CD) = (A:C)(B:D)(A:D)(B:C) (1.7) On peut utiliser le symbole de Levi-Civita pour developper le membre de gauche an de redemontrer cette expression.

1.3 De Vlasov a la hierarchie des equations

uides Pour traiter un sujet relatif a la physique des plasmas, Nous allons travailler sur les equations uides pour decrire un plasma. Il s'agit en fait d'une hierarchie innie

1.4. Les moments de la fonction de distribution7d'equations. Ainsi, la premiere est la plus importante, la seconde permet de mieux preciser

l'etat du plasma, mais en contenant moins d'informations,et caetera. En fait, la denition des moments uides (eq. 1.9 a 1.13) montre que plus un moment est d'ordre eleve, plus il renseigne sur la \queue" de la fonction de distribution du plasma. Une fonction de dis- tribution devant ^etre temperee, on en deduit que plus on est loin dans la \queue", moins il y a d'informations.

Vous verrez en theorie

uide que lesequations uides s'obtiennent a partir de l'equation cinetique de Vlasov

1qui gouverne l'evolution de la fonction de distributionf:

@f@t +w:rf+qm (E+wB):rwf= 0 (1.8) pour les particules de vitesse individuellew.

1.4 Les moments de la fonction de distribution

On denit les moments d'ordre 0, 1, 2 et 3 de la fonction de distribution par les integrales suivantes : n=Z f dv(1.9) V=n1Z fwdw(1.10) P=mZ f(wV)(wV)dw(1.11) Q=mZ f(wV)(wV)(wV)dw(1.12) R=mZ f(wV)(wV)(wV)(wV)dw(1.13)

On obtient alors la densite, la vitesse

uide, le tenseur de pression, le ux de chaleur generalise et le cumulant d'ordre 4. En hydrodynamique, on separe souvent pour le mo- ment d'ordre 2 un tenseur de la formepque l'on appelle la pression (scalaire) et un tenseur que l'on note souventet que l'on appelle le tenseur des contraintes. De m^eme, on rencontre souvent le vecteur ux de chaleurqqui est une contraction du ux de chaleur generalise deni parq=Q:. Le moment d'ordre 4 s'appelle le cumulant d'ordre 4. Notez que les produits qui interviennent sont des produits dyadiques (ou tensorielles). n,V,P,Q,Rsont donc des tenseurs d'ordre 0, 1, 2, 3 et 4, respectivement. On obtient

alors l'equation d'evolution de ces moments en integrant l'equation de Vlasov que l'on1.i.e.l'equation de Boltzmann sans terme de collision

81. Notes sur lesequations tensoriellesmultiplie par 1,mw,m(wV)(wV) etm(wV)(wV)(wV). On obtient ainsi

les equations uides d'ordre 0, 1, 2 et 3, respectivement. Bien evidemment, cette liste n'est en rien exhaustive, et l'on peut calculer les moments d'ordre superieur 2.

1.5 Les equations

uides Nous allons donner les quatre premieres equations, m^eme si la plupart du temps, on utilise que les trois premieres. Mais libre a vous, de calculer les suivantes... si par exemple vous ^etes un jour coince sur une ^le deserte.

Equation d'ordre 0

@n@t +r:(nV) = 0 (1.14)

Sous forme indicee, cette equation s'ecrit

@n@t +ri(nVi) = 0 (1.15) ouriest la composanteide l'operateurr. Cette forme s'obtient immediatement, car il n'y a qu'un produit scalaire a developper. Dans cette equation, comme dans les autres, on adopte la convention de Einstein, ou encore convention de sommation sur l'indice repete.

Equation d'ordre 1

@nmV@t +r:(nmVV+P) =nq(E+VB) (1.16)

Sous forme indicee, cette equation s'ecrit

@nmV i@t +mViVjrjn+nmVirjVj+nmVjrjVi+rjPji) =nq(Ei+"ijkVjBk) (1.17) Dans cette equation, la forme indicee necessite d'introduire le symbole de Levi-Civita. Faites alors attention a l'ordre des indices, car le produit vectoriel est anti-symetrique. De m^eme, bien que le tenseurVVsoit symetrique, dans le developpement du second terme de l'eq. (1.16), il faut prendre garde a la maniere dontragit surV. Par contre, la denition dePdonnee par l'eq. (1.11) montre que le tenseur de pression est symetrique; l'ordre des indices n'importe donc pas.

Equation d'ordre 22. Je n'ai jamais lu de travaux scientiques traitant d'un moment d'ordre strictement superieur a 4

1.6. Exercices9@P@t

+r:(VP+Q) + [P:rV+

P]S= 0 (1.18)

ou =qB=mest la gyrofrequence (vectorielle) et ou on a introduit l'operateur de symetrisation du tenseur d'ordre 2, qui s'ecrit en notation indicee [Tij]S=Tij+Tji. Dans cette expression, il y a le produit vectoriel d'un vecteur par un tenseur d'ordre

2. Vous pouvez retrouver son expression simplement. Un vecteur est un ensemble de

scalaires,i.e.un tenseur d'ordre 1 est une famille de tenseurs d'ordre 0. De m^eme, un tenseur d'ordre 2 est une famille de tenseurs d'ordre 1. Ainsi, le tenseurABde terme A iBjpeut se voir comme un vecteur dont chaque composante est elle-m^eme un vecteur. D'ailleurs, en langage C, un tableau a deux dimensions se represente souvent en utilisant un pointeur de pointeur. Fort de cette remarque, on peut calculer la forme du produit vectoriel d'un vecteur par un tenseur d'ordre 2. Vous conviendrez pour cela que le resultat est un tenseur d'ordre 2. SiA=BCouBest un tenseur d'ordre 1 etCun tenseur d'ordre 2, alorsAest aussi d'ordre 2, et A il="ijkBjCkl(1.19) Dans cette expression,Cn'est pas forcement symetrique. Il faut dans l'equation ci- dessus ecrire le termeCklet non pasClk.

Equation d'ordre 3

@Q@t +r:(VQ+R) + [Q:rV+ Q1nmquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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