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Géométrie vectorielle

Table des matières

1 notion de vecteur et vecteurs égaux2

1.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .2

1.2 corrigé activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .4

1.3 a retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .7

1.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .8

1.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .10

2 somme de vecteurs11

2.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .11

2.2 corrigé activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .13

2.3 a retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .15

2.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .16

2.5 interrogation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .17

3 multiplication d"un vecteur par un nombre réel19

3.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .19

3.2 corrigé activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .20

3.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .21

3.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .21

3.5 interrogation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .22

4 vecteurs colinéaires, parallélisme de droites et alignement de points. 23

4.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .23

4.2 corrige activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .25

4.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .30

4.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .30

4.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .31

4.6 interrogation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .33

5 évaluations34

6 devoir maison35

6.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .36

6.2 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .37

7 tp38

7.1 tp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .38

7.2 corrigé tp1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .41

8 annexes42

9 logique44

9.1 Activité 1 :(cause ou conséquence ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

1

1 notion de vecteur et vecteurs égaux1.1 activités

activité 1 : (vecteurs égaux, colinéaires, opposés)

s"il n"est pas nul, un vecteur est représenté par une flèche. (par exemple-→v=--→CDci dessous)

on dit que le vecteur longueur (ou norme) : la longueur ... CD CD un vecteur est définit par la donnée de : sa direction, son senset sa longueur. pour reconnaître : directionssenslongueurs deux vecteurs colinéairesparallèles deux vecteurs opposésparallèlesopposéségales deux vecteurs égauxparallèlesidentiqueségales A.trouver dans la figure ci dessous : (réponses à rédiger à droite de la figure) A B -→u C

D-→

v EF -→w G H x IJ -→y K L z

MN-→t

OP-→

r Q Rdeux vecteurs colinéaires :deux vecteurs opposés :deux vecteurs égaux :

B.construire dans la figure ci dessus :

a. le pointStel que :--→KL=-→SRet construire-→SR b. le pointTtel que :-→QT=---→PO=--→OPet construire-→QT c. le pointUtel que :--→QU=--→POet construire--→QU activité 2 : (vecteurs et parallèlogrames) A. On sait que ABCD est un parallèlogramme de centre I A BCD I a. en déduire 10 couples de vecteurs égaux et 2 couples de vecteurs non égaux AB=... ...=... ...=... ...=...-→AA=... ...?=... B.compléter les phrases suivantes pour quelles soient vraies : siEFGHest un parallélogramme alors--→EF=...et--→FG=... siIest le milieu du segment[AB]alors-→AI=...et-→IA=... si KL=--→MNetK,LetMnon alignés alors...est un parallélogramme si PR=--→OPalors le point...est le milieu du segment... activité 3 :(vecteurs et translation) le pointAa pour imageBpar la translation de vecteur-→u??--→AB=-→u on note :t-→u:A?-→Bou encoret-→u(A) =B(comme pour les fonctions) I. construire les pointsD,E,FetGtels que les conditions 1, 2, 3 et 4 soient respectées.

1.par la translation de vecteur

AB,Ca pour imageD2.t--→CB:A?-→G

3.Eest l"image deBpar la translation de vecteur--→AB4.t--→CB(B) =F

II. pour chacune des conditions, donner deux vecteurs nécessairement égaux. on a 1. donc : ... = ... on a 2. donc : ... = ... on a 3. donc : ... = ... on a 4. donc : ... = ...A B C III. Démontrer que BCDE est un parallélogramme à partir des hypothèses 1, 2, 3, 4. (rédaction sur le cahier) activité 4 : (vecteurs égaux)

ABCDEF est un hexagone régulier.

1. compléter les égalités par un vecteur afin qu"elles soientvraies.

O FC BA ED AB= ...;--→OF= ...;--→FB= ...;--→FC= ...

2. donner tous les vecteurs égaux à

FA: ...

activité 5 : (vecteurs et parallélogrammes) on sait que :CDEGetCDHFsont des parallélogrammes avecG,CetFnon alignés.

1. faire une figure.

2. démontrer que GFHE est un parallélogramme

en utilisant les vecteurs égaux.

1.2 corrigé activités

corrigé activité 1 : (vecteurs égaux, colinéaires, opposés)

s"il n"est pas nul, un vecteur est représenté par une flèche. (par exemple-→v=--→CDci dessous)

on dit que le vecteur C extrémité : le pointD direction : la droite(CD) sens : du pointC vers le point D longueur (ou norme) : la longueurCD CD CDun vecteur est définit par la donnée de : sa direction, son senset sa longueur. pour reconnaître : directionssenslongueurs deux vecteurs colinéairesparallèles deux vecteurs opposésparallèlesopposéségales deux vecteurs égauxparallèlesidentiqueségales A.trouver dans la figure ci dessous : (réponses à rédiger à droite de la figure) A B -→u C

D-→

v EF -→w G

H=T-→

x I=UJ -→y K L z

MN-→t

OP-→

r Q S R

deux vecteurs colinéaires :--→ABet--→CD--→ABet--→KL--→ABet--→EF--→ABet--→GH

deux vecteurs opposés :--→ABet--→CD--→EFet--→GH deux vecteurs égaux :--→OPet--→MN--→KLet--→GH

B.construire dans la figure ci dessus :

a. le pointStel que :--→KL=-→SRet construire-→SR b. le pointTtel que :-→QT=---→PO=--→OPet construire-→QT c. le pointUtel que :--→QU=--→POet construire--→QU corrigé activité 2 : (vecteurs et parallèlogrames) A. On sait que ABCD est un parallèlogramme de centre I A BCD I a. en déduire 10 couples de vecteurs égaux et 2 couples de vecteurs non égaux B.compléter les phrases suivantes pour quelles soient vraies : siEFGHest un parallélogramme alors

EF=--→HGet--→FG=--→EH

E FGH siIest le milieu du segment[AB]alors-→AI=-→IBet-→IA=-→BI A IB si--→KL=--→MNetK,LetMnon alignés alorsKLNMest un parallélogramme K LNM si-→PR=--→OPalors le pointPest le milieu du segment[OR] O PR corrigé activité 3 :(vecteurs et translation) le pointAa pour imageBpar la translation de vecteur-→u??--→AB=-→u on note :t-→u:A?-→Bou encoret-→u(A) =B(comme pour les fonctions) I. construire les pointsD,E,FetGtels que les conditions 1, 2, 3 et 4 soient respectées.

1.par la translation de vecteur

AB,Ca pour imageD2.t--→CB:A?-→G

3.Eest l"image deBpar la translation de vecteur--→AB4.t--→CB(B) =F

II. pour chacune des conditions, donner deux vecteurs nécessairement égaux. on a 1. donc :

AB=--→CD

on a 2. donc :--→CB=-→AG on a 3. donc :--→AB=--→BE on a 4. donc :--→CB=--→BF A B C D G E F III. Démontrer que BCDE est un parallélogramme à partir des hypothèses 1, 2, 3, 4.

1.par la translation de vecteur--→AB,Ca pour imageD--→AB=--→CD

CD=--→BE

3.Eest l"image deBpar la translation de vecteur--→AB--→AB=--→BE

BCDEparallélogramme

corrigé activité 4 :(vecteurs égaux)

ABCDEF est un hexagone régulier.

1. compléter les égalités par un vecteur afin qu"elles soientvraies.

O FC BA ED

2. donner tous les vecteurs égaux à-→FA:-→FA=--→EO=--→OB=--→DC

corrigé activité 5 :(vecteurs et parallélogrammes) on sait que :CDEGetCDHFsont des parallélogrammes avecG,CetFnon alignés.

1. figure

C DEG F H

2. démontrer que GFHE est un parallélogramme

en utilisant les vecteurs égaux.

GE=--→FH

GFHEparallélogramme

1.3 a retenir

définition 1 :(même direction ou colinéaires)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,?

ABet--→CDont même direction??(AB)//(CD)

A B--→ABD C--→CD

(parallèles) définition 2:(même sens)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,

et le sens "deAversB" est "le même" que le sens "deCversD"

A B--→ABC D--→CD

définition 3:(opposés)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,

et le sens "deAversB" est "le sens contraire " du sens "deCversD" et ABet--→CDont même longueurA B--→ABD C--→CD définition 4:(même norme)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,?

???--→ABet--→CDont même norme??AB=CD ( la norme d"un vecteur est sa longueur)

A B--→AB

D

C--→CD

définition 5:(égalité de vecteurs)

Quels que soient les pointsA?=BetC?=D,

AB=--→CD???????--→ABet--→CDont même direction--→ABet--→CDont même sens--→ABet--→CDont même norme

A B--→ABC D--→CD

propriété 1:(égalité de vecteurs et parallélogramme) quels que soient les pointsA?=B,C?=D,A, BetCnon alignés? ???ABDCest un parallélogramme??--→AB=--→CD (attention à l"ordre des lettres) A BDC démonstration :(laissée en exercice) propriété 2 :(égalité de vecteurs et milieu d"un segment) quels que soient les pointsA?=B, etI?

AI=-→IB??Iest le milieu du segment[AB]

(attention à l"ordre des lettres)A IB démonstration :(laissée en exercice)

1.4 exercices

exercice 1 : ABCest un triangle quelconque,Cest le milieu du segment[BD] ABCIest un parallèlogramme,ACDJest un parallèlogramme

1. faire une figure

2. que semble t-il pour les pointsIetJ?

3. démontrer que-→AI=-→AJet queI=J

(pour cela : recopier et compléter le schéma de démonstration ci dessous puis rédiger un texte de démonstration)

C=m[BD]--→BC=--→CD

CD=-→AI

ACDJplgm--→CD=-→AJ

exercice 2 : ABCest un triangle quelconque,Aest le milieu du segment[MB] ABRCest un parallèlogramme,ACMPest un parallèlogramme

1. faire une figure

2. que semble t-il pour le pointApar rapport au segment[PR]?

3. démontrer que-→PA=-→ARet queAest le milieu du segment[PR]

(pour cela : recopier et compléter le schéma de démonstration ci dessous puis rédiger un texte de démonstration)

A=m[MB]--→AB=--→MA

MA=-→CRMARCplgm--→MC=-→AR

ACMPplgm--→MC=-→PA

A=m[PR]

4. conclure

1.5 corrigés exercices

2 somme de vecteurs2.1 activités

activité 1 : construction d"une somme de deux vecteurs soient -→uet-→vdeux vecteurs non nuls, la somme des vecteurs-→uet-→vest un vecteur noté-→w=-→u+-→v pour représenter -→w=-→u+-→v:?(1) on représente-→vau bout de-→u (2) on joint d"une flèche, l"origine de-→uà l"extrémité de-→v

1. représenter

-→w=-→u+-→vainsi que-→v+-→uet comparer ces deux vecteurs.-→u -→v

2. placer le pointBtel que--→AB=-→u+-→v-→u

-→vA

3. placer le pointBtel que--→AB=-→u+-→vet faire une remarque-→u

-→vA

4. placer le pointBtel que--→AB=-→u+-→v

u -→vA activité 2 :somme de deux vecteurs et relation de Chasles

ABCDEF est un hexagone régulier.

1. compléter les égalités afin qu"elles soient vraies.

O FC BA ED (dans une somme on peut remplacer n"importe quel vecteur par un vecteur égal)

AB+-→AO+-→AF=...

2. compléter les égalités afin qu"elles soient vraies.

AE=-→AF+--→... E-→AE=...+--→OE-→AE=---→A...+---→A... FB=--→FO+--→... B--→FB=...+--→AB--→FB=---→F...+---→F... OB=--→OC+--→... B--→OB=...+--→AB--→OB=---→O...+---→O... activité 3 :somme de deux vecteurs, parallélogrammes et milieux

1. compléter les propriétés suivantes :

propriété quels que soient les pointsA, B, CetDavecA,BetDnon alignés ABCDest un parallélogramme??-→AC=--→A...+--→A... A BCD(attention à l"ordre des lettres)propriété quels que soient les pointsA, BetIavecA?=B Iest le milieu du segment[AB]??--→I ...+--→I ...=-→0 A IB

2. on sait que :

ABCest un triangle quelconque.

Aest le milieu du segment[MB]

Aest le milieu du segment[CN]

ABRCest un parallélogramme

AMPNest un parallélogramme

a. faire une figure b. que semble t-il pourApar rapport au segment[PR]? c. montrer que AR+-→AP=-→0et queAest le milieu de[PR]en utilisant les hypothèses ainsi que les propriétés 3 et 4 (utiliser le schéma de démonstration ci dessous)

2.2 corrigé activités

corrigé activité 1 : construction d"une somme de deux vecteurs soient -→uet-→vdeux vecteurs non nuls, la somme des vecteurs-→uet-→vest un vecteur noté-→w=-→u+-→v pour représenter -→w=-→u+-→v:?(1) on représente-→vau bout de-→u (2) on joint d"une flèche, l"origine de-→uà l"extrémité de-→v

1. représenter

-→u+-→vainsi que-→v+-→uet comparer ces deux vecteurs.-→u -→v-→v -→u+-→v -→u -→v+-→u? ???il semble que :-→v+-→u=-→u+-→v

2. placer le pointBtel que--→AB=-→u+-→v-→u

-→vA -→u-→v B

3. placer le pointBtel que--→AB=-→u+-→vet faire une remarque-→u

-→vA -→u

4. placer le pointBtel que--→AB=-→u+-→v

u -→vA -→u -→v -→u+-→v B corrigé activité 2 :somme de deux vecteurs et relation de Chasles

ABCDEF est un hexagone régulier.

1. compléter les égalités afin qu"elles soient vraies.

O FC BA ED (dans une somme on peut remplacer n"importe quel vecteur par un vecteur égal)

AB+--→BC=?

AC--→AB+-→AO=?

AC

AB+--→BO=?

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