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CAPES

Les leçons de

mathématiques à l"oral du CAPESClémentBOULONNEhttp://cbmaths.fr 2

LES LEÇONS DE

MATHÉMATIQUES À

L"ORAL DU CAPES

Recueil compilé par ClémentBOULONNESession CAPES 2013 Ce document est sous licence Creative Commons 3.0 France: paternité pas d"utilisation commerciale partage des conditions initiales à l"identique 4

Table des matières

Correspondance avec les leçons de la session 2017 (option maths) 17

I Probabilités et statistiques

1 1

Résolution de pr oblèmesà l"aide de gra phes•• • • • • • • • • • • • • • • • • 3

1.1 1.2

Color ationde gr aphes5

1.3

Recher chedu plus cour tchemin 9

1.4

Gr aphepr obabiliste12

2

Expér iencealéa toire,pr obabilité,pr obabilitéconditionnelle •• • • • • 15

2.1

Expér iencealéatoir e,événements 15

2.2

Pr obabilités16

2.3

Pr obabilitésconditionnelles 19

3

V ariablesaléa toiresdiscrètes •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 23

3.1 Loi de pr obabilités.Fonction de répar tition23 3.2

Espér ancem athématique25

3.3

V arianceet écar t-type26

3.4 Exemples de v ariablesaléatoir esdiscrètes 29 4

Loi binomiale •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 33

4.1

Loi de Ber noulli33

4.2

Loi binomiale 34

4.3 Pr opriétéssur les coef ficientsbinomiaux 35 4.4

Sta bilitéadditiv ede la loi binomiale 40

4.5

Con vergence40

4.6

Échantillonnage 41

4.7

Loi m ultinomiale43

5

Loi de P oisson,loi nor male•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 45

5.1

Loi de P oisson45

5.2

Loi nor male47

5.3

Con vergence50

6

V ariablesaléa toiresréelles à densité •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 53

6.1

Intr oduction53

6.2

Densité et loi de pr obabilité53

6.3 V ariablesaléatoir escontinues .Loi unif orme,loi exponentielle 54 6.4 Espér anced"une v ariablealéatoir econtinue 56

6TABLE DES MATIÈRES6.5Exemples de v ariablesaléatoir esà densité 56

6.6

Applications 62

7

Lois unif ormes,lois e xponentielles•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 65

7.1

Lois unif ormes65

7.2

Lois exponentielles 69

8

Lois nor males•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 75

8.1

Pr emièresdéfinitions 75

8.2

Loi nor malecentrée 75

8.3 De la loi nor maleà la loi nor malecentrée réduite, utilisation de ta bles76 8.4

Con vergence79

8.5 Théorème de De Moivr e-Laplaceet a pplications80 9

Mar chesaléa toires•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 83

9.1

Chaînes de Mar kov83

9.2

Chaînes de Mar kovau lycée 85

9.3 Un cas par ticulierde chaîne de Mar kov: m archesaléatoir essur Z86 9.4

Mar chesaléatoir essur Zd92

9.5

Mar chesaléatoir essur un gr oupe94

9.6

Mar chesaléatoir esgr andeurnatur e95

10

Sér iessta tistiquesà une v ariable•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 97

10.1

Pr emièresdéfinitions et exemples 97

10.2

Ef fectifet fréquence 98

10.3

Etendue et mode d"une sér iestatistique 99

10.4

P aramètrede position 99

10.5

P aramètrede disper sion100

11

Sér iessta tistiquesà deux v ariablesnumér iques•• • • • • • • • • • • • • 103

11.1

Nuage de points 103

11.2

P ointmo yen103

11.3

Car actéristiquesnumér iques104

11.4

Ajustement af fine105

11.5

A utrestypes de régr ession110

12

Inter vallesde fluctua tion•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 111

12.1

Le théorème de De Moivr e-Laplace111

12.2

Activités d"intr oductionen Seconde 112

12.3 Inter vallede fluctuation, la théor ieen T erminaleS 113 12.4

D"autr esexemples 117

12.5

A vecXcas 119

13

Estima tion•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 121

13.1

Estim ation121

13.2

T estsd"h ypothèses123

TABLE DES MATIÈRES7II Arithmétique & Algèbre129 14

Multiples ,diviseur s,division euc lidienne•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • 131

14.1

Multiples et diviseur sdans Z131

14.2

Division euclidienne 135

14.3

V ersles congr uences136

15

PGCD ,ég alitéde Bézout •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 141

15.1

PGCD : Plus gr andcomm undiviseur 141

15.2

Nombr espr emiersentr eeux 143

15.3

Ég alitéde Bézout 145

15.4

Applications 146

15.5

Questions du jur y150

16

Nombr espr emiers•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 151

16.1

Intr oduction151

16.2

Nombr espr emiers: définition 151

16.3 Quelques pr opriétéssur les nombr espr emiers151 16.4

Recher chedes nombr espr emiers153

16.5

Décomposition en f acteurspr emiers156

16.6

Compléments 157

17

Congr uencesdans Z•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 161

17.1

Pr emièresdéfinitions 161

17.2

Compléments : l"anneau Z/nZ163

17.3

Applications 166

18 Équa tionsdu second degré à coef ficientsréels ou comple xes•• • 173 18.1 Pr emièresdéfinitions et mise sous f ormecano nique173 18.2 Résolution dans Cdes équations du second degré à coefficients réels174 18.3

Applications 177

18.4 Résolution d"équations du second degré à coef ficientscomplexes 180 19

Module et ar gumentd"un nombr ecomple xe•• • • • • • • • • • • • • • • 183

19.1

P etitr appelsur les nombr escomplexes 183

19.2

Module d"un nombr ecomplexe 184

19.3

Ar gumentd"un nombr ecomplexe 185

19.4 Dif férentesf ormesd"écr ituresdes nombr escomplexes 188 19.5

Applications 191

19.6 Pr opositionsde questions posées par le Ju ry193 20

Ex emplesd"utilisa tiondes nombr escomple xes•• • • • • • • • • • • • • 195

20.1

Les nombr escomplexes en géométr ie195

20.2
Les nombr escomplexes pour la résolution d" équationsalgébr iques203 20.3

Les nombr escomplexes et l"électr onique205

21

Calcul v ectoriel•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 209

21.1

Opér ationssur les v ecteurs209

21.2

Équations d"une dr oiteou d"un plan 210

21.3
Bar ycentresd"un ensemble de points de l"espace 212 21.4

Pr oduitscalair e215

21.5

Pr oduitv ectoriel,pr oduitmixte 222

22

Ex emplesd"utilisa tiond"un r epère•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 229

22.1

Définition d"un r epère229

22.2

Utilisation de r epères232

22.3

Fonctions et changement de r epère241

22.4

Système de coor données241

22.5

Coor donnéesgéogr aphiques242

22.6

Et sans r epèreor thonormé...243

22.7
A utrespistes pr oposéespar Ar mellesur LCM2013 245 23

Résolution de pr oblèmesà l"aide de ma trices•• • • • • • • • • • • • • • 247

23.1

Matr iceset opér ationssur les m atrices247

23.2

Résolution de systèmes d"équations 251

23.3

Matr icede Leontief 253

23.4

Courbes polynomiales 254

23.5

T rigonalisationde m atrices255

23.6

DM TICE - Chif frementde Hill 257

24

Pr oportionnalitéet linéar ité•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 261

24.1

Situation de pr oportionnalité261

24.2

Représentation gr aphique265

24.3

Pr oportionnalitéet f onctionslinéair es265

24.4

Pr oportionnalitéet f onctionsaf fines266

24.5

Applications 268

25

P ourcentages•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 271

25.1

Intr oductiondu pour centageau collège 271

25.2

Des pour centagesen 1

reES273 25.3

Les pièges des pour centages277

25.4
Applications économiques : les intérêts 278 26

Systèmes d"équa tionset systèmes d"inéqua tions•• • • • • • • • • • • • 281

26.1

Rem arquesav antde commencer 281

26.2
Cas par ticulier: systèmes d"équations 2×2281 26.3
Cas génér ald"un système d"équations ,métho dedu piv otde Gauss 283 26.4

Système d"inéquations 285

26.5
Intr oductionà la pr ogrammationlinéair e287

TABLE DES MATIÈRES9III Géométrie291

27

Dr oitesdu plan •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 293

27.1

Génér alitéssur les dr oites293

27.2

Dr oitespar allèlesà un axe 293

27.3

Equation d"une dr oite293

27.4
Car actérisationde dr oitespar allèleset per pendiculaires298 27.5

A utresf ormesd"équations de la dr oite300

27.6
For meimplicite, par allélismeet per pendiculaires301 27.7

Inter sectionde tr oisdr oites302

28

Dr oiteset plans de l"espace •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 303

28.1

Dr oiteset plans 303

28.2

P ositionsr elatives305

28.3

Applications 308

29

Dr oitesr emarquablesdu tr iangle•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 313

29.1

Intr oduction313

29.2

Médiatr ices313

29.3

Hauteur s315

29.4

Médianes 317

29.5

Bissectr ices319

29.6
Dr oitespar ticulièresd"un tr iangleisocèle ou équila téral322 29.7

Compléments 324

30

Le cer cle•• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 327

30.1

Définitions 327

30.2

Quelques pr opriétésdu cer cle328

30.3

Equation car tésiennedu cer cle330

30.4
Puissance d"un point par r apportà un cer cle332 30.5

Le cer clevue comme une conique 332

31

Solides de l"espace •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 333

31.1

Défintions 333

31.2

Règles de la per spectivecav alière334

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