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Complexité et preuves dalgorithmes

May 11 2020 Pour n = 105



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Algorithmique et complexité de calcul M Eleuldj EMI Avril 2008 Chapitre I : Préliminaires Contenu 1 Notion d'algorithme 2 Efficacité des algorithmes

  • Comment faire un calcul de complexité ?

    Réaliser un calcul de complexité en temps revient à compter le nombre d'opérations élémentaires (affectation, calcul arithmétique ou logique, comparaison…) effectuées par l'algorithme.

  • Comment calculer la complexité en espace d'un programme ?

    On définit la fonction de complexité en espace sM de M de la manière suivante. sM(n) = maxw=n sM(w). La valeur sM(n) représente l'espace maximal d'un calcul de M avec une entrée de taille n.

  • Comment calculer la complexité moyenne ?

    Complexité en moyenne Est la moyenne des complexités de l'algorithme sur des jeux de données de taille n : Tmoy(n) = ?{Pr(d) · C(d), d ? Dn} o`u Pr(d) est la probabilité d'avoir la donnée d en entrée de l'algorithme.
  • p = O(log n). La complexité temporelle dans le pire des cas de la fonction recherche_dichotomique, somme d'opérations en O(1) et d'une boucle en O(log n), est donc en O(log n).
[PDF] Chapitre 2 Complexité algorithmique

Introduction

Notion de complexite

Complexite et notationO

Comment mesurer la complexite d'un algorithme

Dierentes nuances de complexiteChapitre 2

Complexite algorithmique

Programmation en Python{2eme annee MP3{

E-mail

mlahby@gmail.com

22 octobre 2014

Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20151/ 30

Introduction

Notion de complexite

Complexite et notationO

Comment mesurer la complexite d'un algorithme

Dierentes nuances de complexitePlan

1Introduction

2Notion de complexite

Denition de la complexite d'un algorithme

Types de complexite

3Complexite et notationOLa notationOClasses de complexite les plus usuelles

Comparaison de temps d'execution

4Comment mesurer la complexite d'un algorithme

Le co^ut des instructions elementaires/composees

Evaluer la complexite d'un algorithme

Des exemples de calculs de complexite

Le module timeit

5Dierentes nuances de complexite

Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20152/ 30

Introduction

Notion de complexite

Complexite et notationO

Comment mesurer la complexite d'un algorithme

Dierentes nuances de complexiteIntroduction

Exercice

Ecrire en python une fonction qui prend en argument une cha^ne de caracteres et determine si le caractere 'a' est present dans la cha^ne (on retourne soit True soit

False).Analysons plusieurs solutions

1.

Premi eresolution

def contienta1(chaine) : k = 0

N = len(chaine)

result = False while (result == False and kIntroduction

Notion de complexite

Complexite et notationO

Comment mesurer la complexite d'un algorithme

Dierentes nuances de complexiteIntroduction

2.

Deuxi emesolution :

def contienta2(chaine) : for i in range(len(chaine)) if chaine[i] == 'a' : return True return False 3.

T roisiemeso lution:

def contienta3(chaine) : n = chaine.count('a') return bool(n) 4.

Quatri emesolution :

def contienta4(chaine) : return ('a' in chaine)Quelques questions :

1que remarquez vous concernant cet exercice?

2Le code le plus court! Est-il meilleur?

3Comment peut-on designer le meilleur code parmi ces quatre solutions?

Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20154/ 30

Introduction

Notion de complexite

Complexite et notationO

Comment mesurer la complexite d'un algorithme

Dierentes nuances de complexiteDenition de la complexite d'un algorithme Types de complexiteDenition de la complexite d'un algorithme

Denition

La complexite d'un probleme mathematique P est une mesure de la quantite de

ressources necessaires a la resolution du probleme P.Cette mesure est basee sur une estimation du nombre d'operations de base

eectuees par l'algorithme en fonction de la taille des donnees en entree de l'algorithme.Generalement, pour le m^eme probleme P, on peut trouver plusieurs algorithmes (Alg1;Alg2;::;Algn).L'objectif de la complexite est d'evaluer le co^ut d'execution de chaque algorithme an de choisir le meilleur. .Probleme : Comment evaluer le co^ut d'execution d'un algorithme donne? Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20155/ 30

Introduction

Notion de complexite

Complexite et notationO

Comment mesurer la complexite d'un algorithme

Dierentes nuances de complexiteDenition de la complexite d'un algorithme

Types de complexiteTypes de complexite

En fonction des ressources utilisees pour evaluer la complexite d'un algorithme, on sera amene a dsitinguer deux types de complexite : complexite temporelle et complexite spatiale.Complexite temporelle (en temps) La complexite temporelle d'un algorithme est le nombre d'operations elementaires

(aectations, comparaisons, operations arithmetiques) eectuees par un algorithme.Complexite spatiale (en espace)

La complexite en memoire donne le nombre d'emplacements memoires occupes lors de l'execution d'un programme.Remarque Dans ce cours, nous nous interessons uniquement a la complexite temporelle. Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20156/ 30

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Notion de complexite

Complexite et notationO

Comment mesurer la complexite d'un algorithme

Dierentes nuances de complexiteLa notationO

Classes de complexite les plus usuelles

Comparaison de temps d'executionLa notationODenition Soit T(n) une fonction qui designe le temps de calcul d'un algorithme A. On dit que T(n) est en grand O de f(n) :T(n) =O(f(n)) si et seulement si :9(n0;c) telle queT(n)<=cf(n)8n>=n0 .Exemples

1Exemple 1 :

siT(n) = 3n+ 6 alorsT(n) =O(n)

Demonstration :

En eet, pourn>= 2, on a 3n+ 6<= 9n; la quantite 3n+ 6 est donc bornee, a partir d'un certain rang, par le produit denet d'une constante.2Exemple 2 : siT(n) =n2+ 3nalorsT(n) =O(n2)

Demonstration :

En eet, pourn>= 3, on an2+ 3n<= 2n2; la quantiten2+ 3nest donc

bornee, a partir d'un certain rang, par le produit den2et d'une constante.Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20157/ 30

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Notion de complexite

Complexite et notationO

Comment mesurer la complexite d'un algorithme

Dierentes nuances de complexiteLa notationO

Classes de complexite les plus usuelles

Comparaison de temps d'executionClasses de complexite les plus usuelles On voit souvent appara^tre les complexites suivantes :

ComplexiteNom courantDescription

O(1)constanteLe temps d'execution ne depend pas des donnees

traitees, ce qui est assez rare!O(log(n))logarithmiqueaugmentation tres faible du temps d'execution quand

le parametre croit.O(n)lineaireaugmentation lineraire du temps d'execution quand le parametre croit (si le parametre double, le temps double).O(nlog(n))quasi-lineaireaugmentation un peu superieure a O(n) O(n2)quadratiquequand le parametre double, le temps d'execution est multiplie par 4. Exemple : algorithmes avec deux boucles imbriquees.O(nk)polyn^omialeici,nkest le terme de plus haut degre d'un polyn^ome en n; il n'est pas rare de voir des complexites enO(n3) ouO(n4).O(kn)exponentiellequand le parametre double, le temps d'execution est

eleve a la puissancekaveck>1.O(n!)factorielleasymptotiquement equivalente annProgrammation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20158/ 30

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Complexite et notationO

Comment mesurer la complexite d'un algorithme

Dierentes nuances de complexiteLa notationO

Classes de complexite les plus usuelles

Comparaison de temps d'executionComparaison de temps d'execution Prenons un ordinateur (tres rapide), dont la vitesse du microprocesseur est

1GHz(cad il execute un milliard d'operations par seconde), et imaginons des

algorithmes qui eectuent un traitement donne dans un tempsT(N)Nous donnons ci-dessous tableau des ordres de grandeur des temps d'execution

que l'on peut esperer pourNelements suivant la complexite de l'algorithme. .ComplexiteTemps d'execution en fonction du nombre d'operations

N51015201001000

log N3:109s4:109s5:109s7:109s10

8s3:109s2N10

8s2:108s3:108s4:108s2:107s2:106sN log N1;2:108s3:108s6:108s10

7s7:107s10

5sN

22;5:108s10

7s2;3:107s4:107s10

5s10 3sN

53:106s10

4s7;2:104s3:103s10s11jours2

N3;2:108s10

6s3;3:105s10

500sN

N3:106s10s13ans3:109ans3:10183ans10

300sTab.:Ordres de grandeur des temps d'ex ecutionProgrammation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-20159/ 30

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Comment mesurer la complexite d'un algorithme

Dierentes nuances de complexiteLe co^ut des instructions elementaires/composees

Evaluer la complexite d'un algorithme

Des exemples de calculs de complexite

Le module timeitLe co^ut des instructions elementaires

Operation elementaire

On appelle operation de base, ou operation elementaire, toute :

1Aectation;

2Test de comparaison :==;<;<=;>=;! =;3Operation de lecture (input) et ecriture (print);

4Operation arithmetique :+;;;=;%;5Operation d'incrementation :a=a+1,(pas 1) a=a+n (pas n);

6Operation de decrementation :a=a-1,(pas 1) a=a-n (pas n);

Le co^ut d'une operation elementaire est egale a 1.

Exemple 1 :Que vaut le co^ut de l'algorithmeA

somme=n+ 1 #instr1 somme=sommen#instr2

somme=somme=2#instr3Co^ut(A)=Co^ut(inst1)+Co^ut(instr2)+Co^ut(instr3)=3Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201510/ 30

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Dierentes nuances de complexiteLe co^ut des instructions elementaires/composees

Evaluer la complexite d'un algorithme

Des exemples de calculs de complexite

Le module timeitLe co^ut des instructions composees

Operation composee

On appelle operation composee, toute instruction contenant :

1L'execution d'un instruction conditionnelle : SiPest une instruction

conditionnelle du type SibalorsQ1 sinonQ2 nsi, le nombre d'operations est :

Co^ut(P)<= Co^ut(test) + max(Co^ut(Q1), Co^ut(Q2))2L'execution d'une boucle : le temps d'une boucle est egal a la

multiplication de nombre de repetition par la somme du co^ut de chaque instructionxidu corps de la boucle;

Co^ut(boucle for) =PCo^ut(xi)

Co^ut(boucle while) =P(Co^ut(comparaison) + Co^ut(xi))3L'appel d'une fonction : Lorsqu'une fonction ou une procedure est

appelee, le co^ut de cette fonction ou procedure est le nombre total d'operations elementaires engendrees par l'appel de cette fonction. Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201511/ 30

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Evaluer la complexite d'un algorithme

Des exemples de calculs de complexite

Le module timeitLe co^ut des instructions composees

Exemple 2 :Que vaut le co^ut de l'algorithmeB

if i%2==0 : Texte n=i//2 else : Texte i=i+1 Texte n=i//2 Co^ut(B)=Co^ut(i%2 == 0)+ max(Co^ut(n=i==2),Co^ut(i=i+ 1;n=i==2)) =1+max(1,2) =3Exemple 3 :Que vaut le co^ut de l'algorithmeC whilei<=n: Texte somme=som me+i Texte i=i+1 Co^ut(C)=Co^ut(i<=n)+Co^ut(somme=somme+i)+Co^ut(i=i+ 1) =n+n+n =3n Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201512/ 30

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Des exemples de calculs de complexite

Le module timeitComment mesurer la complexite d'un algorithme Principe pour calculer la complexite d'un algorithme La mesure de complexite d'un algorithme consiste a evaluer le temps

d'execution de cet algorithme.Dans l'evaluation de ce temps d'execution (co^ut), on sera amene a suivre les

etapes suivantes :1Determiner les operations elementaires (OE) a prendre en consideration : co^ut T(OE).2Calculer le nombre d'instructions eectuees par les operations composees (OC) : co^ut T(OC).3Preciser les instructions a negliger.

4Le co^ut de l'algorithme T(Alg) est la somme des deux co^uts T(OE) et

T(OC).

T(Alg) =T(OE) +T(OC)

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Evaluer la complexite d'un algorithme

Des exemples de calculs de complexite

Le module timeitDes exemples de calculs de complexite

Exemple 1 : la fonction append

Le code ci-dessous consiste a

programmer la fonction append def AjoutFin(L,a) :

L=L+[a]

return LExemple >>>L= [1;2] >>>AjoutFin(L;3) [1;2;3]Le nombre d'operations est : 3 (concatenation, aectation et return);Quelque soit la taille de liste, le nombre d'operations est constant;Temps de calcul est constant

Complexite :O(1)

.Exemple 2 : la fonction insert

Le code ci-dessous consiste a

programmer la fonction insert : def AjoutElement(L,a,i) :

L[i :i]=[a]

return LExemple >>>L= [1;2] >>>AjoutElement(L;3;1) [1;3;2]Le nombre d'operations est : 2 (aectation et return);Quelque soit la taille de liste, le nombre d'operations est constant;Temps de calcul est constant

Complexite :O(1)

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Des exemples de calculs de complexite

Le module timeitDes exemples de calculs de complexite

Exemple 3 : boucle simple

for i in range(n) : print(\Bonjour")#une instruction sDans la boucle for,on a une seule instruction : printTemps de calcul de print :Tsest constantTs=CNombre de fois d'execution de cette instruction estnLe nombre total d'operations est n1 =nTemps de calcul total :T(n) =nTsComplexite :O(n) .Exemple 4 : remplir un tableau def RemplirTab(T) : for i in range(len(T)) : print(\T[",i,\]=\,end=") T[i]=int(input())Le parametre de complexite est la taille du tableau d'entree T.On xantion execute 3 operations : print, input et aectationNombre de fois d'execution de ces 3 operations est :len(n)Le nombre total d'operations est

3len(n)Complexite :O(len(T))

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Des exemples de calculs de complexite

Le module timeitDes exemples de calculs de complexite

Ex. 5 : remplir une matrice

def RemplirMat(M,n,p) : for i in range(n) : for j in range(p) : print(\T[",i,\][\,j,"]=\,end=") T[i][j]=int(input())Co^ut pour saisir une valeur est 3

Le nombre d'iteration de la boucle surjpouri

xe egal apLe nombre total pour lire toutes les valeurs pouri xe egal a 3pLe nombre total d'operations est p+p+:::+p|{z} n fois=nxpComplexite :O(np) .Ex. 6 : produit matriciel def ProduitMatriciel(A,B) : prod = [[0]*len(A) for i in range(len(A))] for i in range(len(A)) : for j in range(len(B[0])) : s = 0 for k in range(len(B)) : s= s + A[i][k] * B[k][i] prod[i].append(s) return prodOn suppose que A et B sont deux matrices carrees d'ordre n (len(A) =len(B) =n)Co^ut pour calculer une valeur desest 2 (produit et aectation)Le nombre d'iteration de la boucle surkpourj xe egal anLe nombre d'iteration de la boucle surjpouri xe egal anLe nombre total d'operations est 2+n(n(2+n(2))Complexite :O(n3) Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201516/ 30

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Des exemples de calculs de complexite

Le module timeitDes exemples de calculs de complexite

Exemple 7 Tri par selection

def TriSelection(T,n) : for i in range(n-1) :

Posmin=i

for j in range(i+1,n) : if T[j]Posmin=j #Permutation

T[i],T[Posmin]=T[Posmin],T[i]Co^ut des echanges : le tri pas selection surnnombres faitn1 echanges, ce

quit fait 3(n1) aectationsCo^ut des recherches de maximum : On recherche le maximum parminelements : au plus 4(n1) operations. (c'est le nombre d'iteration de la boucle surjpourixe egal an1) On recherche le maximum parmin1 elements : au plus 4(n2) operations. (c'est le nombre d'iteration de la boucle surjpourixe egal an2) On recherche ensuite le maximum parmin2 elements : 4(n3) tests. ...Le nombre total de tests est :4(1 + 2 + 3 +:::+ (n2) + (n1)) = 4(n1)n2

Le nombre total d'operations est :3(n1) + 4(n1)n2Donc, la complexite est quadratiqueO(n2)Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201517/ 30

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Des exemples de calculs de complexite

Le module timeitDes exemples de calculs de complexite

Ex. 8 : recherche sequentielle

defRechercheSeq(T;n;x) : i=0 while iLe nombre d'operations avant while est 1 (une aectation)

La boucle while contient 2 instructions :

incrementation et aectation

Le nombre de fois d'execution de ces 2

instructions estn

Le nombre d'operations apres while est 1 (un

test)

Le nombre d'operations total est

1 +n(1 + 1) + 1

Complexite :O(n)

.Ex. 9 : Recherche dichotomique def RechDichotomique(T,x) : g,d=0,len(T)-1 while g<=d : m=(g+d)//2 if T[m]==x : return True if T[m]Nombre de fois maximum d'execution de la boucle while estm(cad la complexite est m) Au pire, on divise l'intervalle de recherche par 2 a chaque etape.

Donc : 2m1<=n<= 2m

on deduit quem<=log2(n) + 1

Complexite :O(log2(n))

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Des exemples de calculs de complexite

Le module timeitDes exemples de calculs de complexite Exemple 10 Recherche d'un mot dans une cha^ne de caracteres

Le principe est le m^eme que pour la recherche d'un caractere dans une cha^ne mais ici il necessaire d'ajouter une

boucle "while" pour tester tous les caracteres du mot. def searchWord(mot,texte) : if len(mot)>len(texte) : return False for i in range(1+len(texte)-len(mot)) : j=0 whilejDonc la complexite de l'algorithme estO(n2)Programmation en Python{2eme annee MP3{CPGE GSR 2014-201519/ 30

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Des exemples de calculs de complexite

Le module timeitDes exemples de calculs de complexite

Exemple. 11 les tours de Hano

def hanoi(n,a=1,b=2,c=3) :quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34
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