[PDF] Calcul du rayon du cercle inscrit à un triangle rectangle





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Hypoténuse Angle droit

Ce théorème permet de calculer la longueur du troisième côté d'un triangle rectangle dont on connaît déjà les longueurs de deux côtés. Exemples: On cherche la 



Calculs dans le triangle rectangle

ment une partie de charpente (cotes en mètre). Comment calculer la longueur du chevron. PM ? Première partie. Construire un triangle ABC rectangle.



Sinus dun angle aigu dans un triangle rectangle

mesure d'angles. III) Application au calcul de longueur d'un côté du triangle rectangle : Pour cela il faut connaitre une longueur et la mesure d'un angle.



Calcul du rayon du cercle inscrit à un triangle rectangle

Exercice 1 : Soit ABC un triangle rectangle en C. Nous appellerons a la longueur du coté [BC] b la longueur 



Rappels : Triangle rectangle

deux autres côtés) . Attention quand le triangle n'est pas rectangle l'hypoténuse n'existe pas. Exercice calculer la mesure de l'angle ABC sachant que 



Trigonométrie : calcul de longueurs

côté [AB]. II) Définitions : cosinus ; sinus ; tangente. Soit un triangle ABC rectangle en A. Le cosinus le sinus et la 



Savoir calculer lhypoténuse connaissant un angle et un côté

D'où l'idée d'utiliser la formule du sinus. Dans le triangle ABC rectangle en B : c'est-à-dire. Avec la calculatrice on trouve.



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alors le triangle est rectangle et a pour hypoténuse le plus grand côté. e) Calcul d'une longueur à l'aide du sinus d'un angle aigu:.



Rédaction - Pythagore et sa Réciproque

Calculer NP . Le texte nous présente un triangle rectangle avec deux côtés connus. Le théorème de Pythagore peut certainement nous permettre de calculer le.



Chapitre 8 – Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Calculer la mesure de l'angle BAC. On cherche la mesure de l'angle en A pour lequel on connaît la mesure du côté opposé [BC] et la longueur.



[PDF] Calculs dans le triangle rectangle

Pour calculer la mesure d'un angle aigu d'un triangle rectangle connaissant deux côtés du triangle : • on écrit le cosinus le sinus la tangente de l'angle 



[PDF] Cours-Triangle-rectangle-et-trigonométriepdf

Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des autres côtés



[PDF] CALCULER UNE LONGUEUR Dans un triangle rectangle

FICHE MÉTHODE N°3 : CALCULER UNE LONGUEUR Dans un triangle rectangle Théorème de Pythagore : si on connait deux côtés une donnée à vérifier: triangle 



[PDF] triangle rectangle

TRIANGLE RECTANGLE EXERCICE 2B EXERCICE 1 ABC est un triangle rectangle en A tel que AC = 2 cm et BC = 6 cm Calculer la mesure de l'angle x EXERCICE 2



[PDF] Chapitre 3 – triangle rectangle et perpendicularite : on vous dit tout !

Définition : Dans un triangle rectangle le cosinus d'un angle aigu est égal au quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle (aigu) par la longueur de l 



Calculer la longueur dun côté dans un triangle rectangle

Si on connaît un angle et un côté d'un triangle rectangle on peut calculer les autres côtés Soit ABC un triangle rectangle en A On donne : \hat{b} = 30° et 



[PDF] I ? Théorème de Pythagore Calculer une longueur - AlloSchool

I ? Théorème de Pythagore Calculer une longueur Si ABC est un triangle rectangle en A alors BC2 = BA2 + AC2 Théorème de Pythagore Exemple (C ' ) :



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Dans un triangle rectangle la surface du carré formé par l'hypoténuse vaut la somme des surface des carrés formés par les deux autres côtés (Ne pas recopier 



[PDF] Chapitre 8 – Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle on appelle cosinus d'un angle aigu le rapport du côté adjacent à l'angle et de l'hypoténuse Exemple et notation : cos a =



[PDF] Triangle rectangle : PYTHAGORE et COSINUS - Pierre Lux

Dans un triangle rectangle le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés Rem : L'hypoténuse est le plus long côté d'un 

  • Comment calculer le côté d'un triangle rectangle ?

    En utilisant le théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit. Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².

  • Quel est la formule d'un triangle rectangle ?

    D'après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle si : BC² = AB² + AC². Ainsi, d'après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC².
  • Pour calculer la longueur d'un côté, on utilise le calcul en croix. AC = AB× tan ABC = 5 × tan 45° = 5 Enfin, on peut utiliser la tangente pour calculer des angles au sein d'un triangle rectangle.
Calcul du rayon du cercle inscrit à un triangle rectangle

Exercice 1 :

Soit ABC un triangle rectangle en C.

Nous appellerons a la longueur du coté [BC] , b la longueur du côté [AC] et c la longueur du coté [AB] . Soit I le centre du cercle inscrit à ce triangle et soit r le rayon de ce cercle.

1. Calculer l·MLUH GX PULMQJOH UHŃPMQJOH $%FB

2. Calculer les aires des triangles CIB , AIC et

BIA .

3. En déduire que ar + br + cr = ab , puis que

c b a ab r

4. Applications numériques : ( unité : le cm )

a)Calculer le rayon du cercle inscrit du triangle rectangle dont les côtés mesures 3 , 4 et 5. b)Calculer le rayon du cercle inscrit au triangle

EFG rectangle en E tel que EF = 5 et FG = 13.

Exercice 2:

Soit ABC un triangle rectangle en C.

Nous appellerons a la longueur du coté [BC] , b la longueur du côté [AC] et c la longueur du coté [AB] . Soit I le centre du cercle inscrit à ce triangle et soit r le rayon de ce cercle.

1. Montrer que BR = BT , puis que AS = AT.

2. Déterminer BR et AS.

THEME :

Calcul du rayon du cercle

inscrit dSun triangle rectangle

3. En constatant que BA = BT + TA, en déduire que :

) c - b a ( 2

1 r ou 2

c - b a r

FRUUHŃPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 1 :

1. Aire du triangle ABC :

IH PULMQJOH $%F pPMQP UHŃPMQJOH HQ F O·MLUH GX PULMQJOH $%F HVP pJMOH j : 2 ab 2 b a 2

AC BCu u

2. Calcul des aires des triangles CIB , AIC et

BIA :

Aire du triangle CIB :

2 r a 2

IR BCu

Aire du triangle AIC :

2 r b 2

IS ACu

Aire du triangle BIA :

2 r c 2

IT ABu

3. Calcul de r en fonction de a , b et c :

I·MLUH GX PULMQJOH $%F HVP pJMOH j OM VRPPH GHs aires des trois triangles CIB , AIC et BIA .

BIAAICCIBABC AAAA

donc : 2 r c 2 r b 2 r a 2 ab 2 r c r b r a 2 ab

Puis en simplifiant par 2,

ab = a r + b r + cr ab = r ( a + b + c ) c b a ab = r r = c b a ab

4. Applications numériques :

Cas 1 : Rayon du cercle inscrit du triangle rectangle dont les côtés mesures 3 , 4 et 5.

I·O\SRPpQXVH GH ŃH PULMQJOH UHŃPMQJOH HVP D GRQŃ Ń 13B 0MLQPHQMQP OH ŃORL[ GH M HP N HVP V\PpPULTXHB

Nous pouvons poser a = 3 et b = 4 ou a = 4 et b = 3. Le rayon r du cercle inscrit est donc égal à : r = 112
12

5 4 3

4 3 u Cas 2 : Rayon du cercle inscrit du triangle EFG rectangle en E tel que EF = 5 et FG = 13. FMOŃXORQV PRXP G·MNRUG OM ORQJXHXU GX PURLVLqPH Ń{Pp B

Dans le triangle EFG rectangle en E

G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH QRXV MYRQV :

FG² = EF² + EG²

13² = 5² + EG²

169 = 25 + EG²

169 ² 25 = EG²

EG² = 144

EG = 144
= 12 Le rayon r du cercle inscrit est donc égal à : r = 2 6

2 6 6 5

12 5 30

12 5

13 12 5

12 5u u

u u u

Remarque :

GMQV GH QRPNUHXVHV IRUPXOHV PMPOpPMPLTXHV ŃRQŃHUQMQP OH PULMQJOH RQ XPLOLVH XQH GRQQpH V·MSSHOMQP OH

demi-périmètre. IH SpULPqPUH G·XQ PULMQJOH TXHOŃRQTXH GRQP OHV Ń{PpV PHVXUHQP M N HP Ń HVP pJMO j : a + b + c Le demi-périmètre p est alors égal à p = 2 c b a

GMQV OH ŃMV G·XQ PULMQJOH UHŃPMQJOH QRXV YHQRQV GH GpPRQPUHU TXH OH UM\RQ GX ŃHUŃOH LQVŃULP HVP j JMO j :

c b a ab r Nous avons également MYHŃ 6 O·MLUH GX PULMQJOH HP S le demi périmètre ) r = p S 2 c b a 2 b a r = p S

FRUUHŃPLRQ GH O·H[HUŃLŃH 2 :

1. Montrer que BR = BT , puis que AS = AT :

Soit C un cercle et soit M un point extérieur à ce cercle. Si (MA) et (MB) sont les tangentes issues de M à ce cercle en

A et B, alors MA = MB

( Cf. Thème : Tangente à un cercle ) Sans utiliser ce résultat, nous pouvons faire une démonstration rapide en utilisant le théorème de

Pythagore.

Dans le triangle BRI rectangle en R ,

G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJore, nous avons :

BI² = BR² + RI²

BI² - RI² = BR²

BR² = BI² - r² (1)

Dans le triangle BTI rectangle en R ,

G·MSUqV OH POpRUqPH GH 3\POMJRUH QRXV MYRQV :

BI² = BT² + TI²

BI² - TI² = BT²

BT² = BI² - r² (2)

Des deux égalités (1) et (2), nous en déduisons :

BR² = BT²

Et comme BR et BT sont des nombres positifs ( longueurs de cotés de triangle ), nous avons :

BR = BT

Une démonstration identique permet de démontrer que AS = AT et même que CR = CS ( égalité déjà

connue car CR = CS = r ).

2. Calcul de BR et AS :

Le quadrilatère CSIR est un carré ( 3 angles droits et deux côtés consécutifs de même longueur )

Donc RC = r.

R est un point du segment [BC], donc BC = BR + RC

Donc a = BR + r

Et par suite BR = a - r

S est un point du segment [AC], donc AC = AS + SC

Donc b = AS + r

Et par suite AS = b - r

3. Calcul du rayon du cercle inscrit au triangle :

Nous avons :

BA = BT + TA

Or BR = BT et AS = AT

Donc BA = BT + TA

Donc : c = ( a ² r ) + ( b ² r )

c = a ² r + b - r c = a + b ² 2r

2r = a + b ² c

Et par suite

) c - b a ( 2

1 r ou 2

c - b a r

9pULILŃMPLRQ SRXU OHV GHX[ ŃMV QXPpULTXHV pPXGLpV GMQV O·H[HUŃLŃH 1

Cas 1 :

r = 1 2 2 2

5 - 4 3

Cas 2 :

r = 2 2 4 2

13 - 12 5

Remarque :

Le rayon du cercle circonscrit à un triangle rectanglH HVP pJMO j OM PRLPLp GH OM ORQJXHXU GH O·O\SRPpQXVHB

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