Domaine et racines dune fonction
Comment trouver les racines d'une fonction ? Il suffit d'annuler le numérateur de la fonction. On est donc ramené à résoudre une équation. Rappel :.
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12.6 Donner le domaine de définition et calculer la dérivée f ?(x) des fonctions suivantes : 1. f (x) = x ?2?2lnx . 2. f (x) = x lnx .
FONCTIONS 1 Domaine de déf et détude
Il faut donc décomposer la fonction en fonctions de référence pour trouver son ensemble de définition. Ce travail est à faire avant toute autre chose. II.
Intégrales de fonctions de plusieurs variables
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Fonctions de 2 ou 3 variables
Une fonction à 2 variables est un objet qui à tout couple de nombres réels (xy) on peut évaluer f est le domaine de définition de f . On note D(f ).
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Définition d'une fonction domaines de définition
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Fonctions de deux variables
Exo 2. Dessinez le domaine de définition de f := (xy) ?? x ln(x + y) ? y. ? y ? x. Page 5. Graphe. Le graphe Grf d'une fonction f de deux variables
domaine de définition Exercice 3
1. Calculer le domaine de définition des fonctions f définies de la façon suivante : a. f(x) = 5x + 4.
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(2) Pour montrer que f n'est pas continue en (00) il suffit de trouver une chemin (c'est-à-dire une courbe simple) passant par (00) et tel que la limite de f
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Pour une fonction f(x) donnée on appelle ensemble de définition l'ensemble D des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer cette expression Exemples : f(x)
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Calculer le domaine de définition des fonctions f définies de la façon suivante : a f(x) = 5x + 4 x2 + 3x + 2 b f(x) = px + 3
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f est une fonction de deux variables R2 est son domaine de définition Nous savons trouver et étudier le maximum et le minimum d'une fonction d'une
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Calculer le domaine de définition des fonctions f définies de la façon suivante : a f(x) = Exercice (?) Étude de f(x) = e1?x x2 + x + 1 (a) Donner le
Comment faire pour trouver le domaine d'une fonction ?
domf={x?Rf(x)?R}. Restrictions pour déterminer le domaine d'une fonction algébrique : Si la formule contient un dénominateur, celui-ci ne doit pas être nul. Ainsi, si f est une fraction algébrique P(x)Q(x), alors domf={x?RQ(x)?0}.Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction PDF ?
Si l'on veut trouver l'ensemble de définition, autrement dit l'ensemble des x, il suffit de lire graphiquement l'ensemble des abscisses des points de la courbe représentant f.Quel est le domaine de la fonction ?
Le domaine d'une fonction f correspond à l'ensemble des valeurs que peut prendre sa variable indépendante, généralement x . Le domaine d'une fonction peut être donné de différentes façons: ensembles de nombres, intervalles, accolades.- Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction, on lit les abscisses des points de la représentation graphique. On l'écrit sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.
??PQFonctions de 2 ou 3 variablesAdministrationÉconomique etSociale Mathématiques
XA100M
??PQ1.DÉFINITIONSUnefonctionà 2variablesest un objetquià toutcoupledenombresréels (x,y) associeau plusun nombre réel. Sifest une telle fonction, on note f:R×R→R. Sifassocie un nombre à (x,y), on notef(x,y) ce nombre. On dit qu"on peut évaluerfen (x,y) etf(x,y) est lavaleurdefen (x,y). Une fonction à 3 variables est un objet qui à tout triplet de nombres réels (x,y,z) associeau plusun nombre réel. Sifest une telle fonction, on note f:R×R×R→R. Sifassocie un nombre à (x,y,z), on notef(x,y,z) ce nombre. On dit qu"on peutévaluerfen (x,y,z) etf(x,y,z) est lavaleurdefen (x,y,z). ??PQSifest une fonction (à 2 ou 3 variables), l"ensemble des valeurs en lesquelles on peut évaluerfest ledomaine de définitiondef. On noteD(f). ??PQExemple Soit f:R×R→R (x,y)?→1x-y. C"est une fonction à 2 variables qu"on peut évaluer en tous les couples (x,y) tels quex-y?=0. AinsiD(f)=?(x,y)?R×R:x?=y?.
On a f(2,3)=12-3=-1. ??PQExemple Soit g:R×R×R→R (x,y,z)?→? ?yzxsix?=00 sinon.
C"est une fonction à 3 variables qu"on peut évaluer en tous les couples (x,y,z). AinsiD(g)=R×R×R.
On a g(2,3,1)=3×12=32etg(0,32,12)=0. ??PQ2.EXTREMUMS SOUS CONTRAINTE:MÉTHODE DE SUBSTITUTION2.1.Extremums sous contrainte.Soit f:R×R→R (x,y)?→f(x,y) une fonction de deux variables et c:R×R→R (x,y)?→c(x,y) une deuxième fonction de deux variables. Chercher lemaximumdefsouslacontraintec(x,y)=0 c"est chercher, parmi tous les couples (x,y) deD(f) tels quec(x,y)=0, celui pour lequelf(x,y) est maximum.Un couple (x0,y0) deD(f) est un maximum sous la contraintec(x,y)=0 si+c(x0,y0)=0;+pour tout couple (x,y) deD(f) tel quec(x,y)=0, on a
!Une fonction peut ne pas avoir de maximum sous contrainte. ??PQChercher leminimum defsous la contraintec(x,y)=0 c"est chercher, parmi tous les couples (x,y) deD(f) tels quec(x,y)=0, celui pour lequelf(x,y) est minimum.Un couple (x0,y0) deD(f) est un minimum sous la contraintec(x,y)=0 si+c(x0,y0)=0;+pour tout couple (x,y) deD(f) tel quec(x,y)=0, on a
f(x,y)≥f(x0,y0). !Une fonction peut ne pas avoir de minimum sous contrainte. ??PQ2.2.Méthode par substitution. Objectif :chercher les extremums d"une fonction de deux variablesfsous la contraintec. Limite de la méthode :pas toujours réalisable.Mise en oeuvre :dans la contraintec(x,y)=0, exprimer(1)la variablexen fonction dey: on obtientx=h(y)(2)ou la variableyen fonction dex: on obtienty=h(x).
Dans les deux cas,hest une fonction deunevariable. Les valeursf(x,y) de- viennent alors(1)soitg(y)=f?h(y),y?dans le premier cas;(2)soitg(x)=f(x,h(x))dans le second cas. Il faut alors chercher les extremums de la fonctiongqui est une fonction d"une variable (cf.TD 4 de méthodologie). ??PQExempleOn considère la fonction
f(x,y)=2xy de domaine de définitionD(f)=Ret la contrainte c(x,y)=2x+3y-6. Les couples (x,y) tels quec(x,y)=0 sont ceux tels que y=2-23x. Ainsi, les couples vérifiantc(x,y)=0 sont transformés parfen f(x,y)=f? x,2-23x? =2x?2-23x?
et on doit étudier les extremums de g(x)=2x?2-23x?
??PQOn calcule g ?(x)=-83x+4. Ainsig?(x)>0 pourx<32etg?(x)<0 pourx>32etga un maximum atteint en x=32. On a alors y=2-23×32=1. ce maximum est atteint en?32,1?et vaut f ?32,1? =3. 0.??PQ3.DÉRIVÉES PARTIELLES PREMIÈRES ET DEUXIÈMES3.1.Dérivées partielles premières des fonctions à deux variables.
Soitf:R×R→R
(x,y)?→f(x,y) une fonction à 2 variables. de la fonctionf y:R→R x?→f(x,y) existe enx. On note∂f∂x:R×R→R (x,y)?→f?y(x,y).Pour calculer
∂f∂x, on dérivefpar rapport à la variablexen considéranty comme un nombre constant. de la fonctionf x:R→R y?→f(x,y) existe eny. On note ∂f∂y:R×R→R (x,y)?→f?x(x,y).Pour calculer
∂f∂y, on dérivefpar rapport à la variableyen considérantx comme un nombre constant. ??PQExempleSoitf:R×R→R
(x,y)?→x2?y+y. On aD(f)=?(x,y)?R×R:y≥0?.
Siyest constant, la dérivée dex2?y+ypar rapport àxest 2x?ydonc ∂f∂x(x,y)=2x?y. La fonctionfadmet une dérivée partielle par rapport àxsurD(f). Sixest constant, la dérivée dex2?y+ypar rapport àyestx212?y+1 donc ∂f∂y(x,y)=x212?y+1. La fonctionfadmet une dérivée partielle par rapport àxsur ?(x,y)?R×R:y>0??=D(f). ??PQ3.2.Dérivées partielles deuxièmes des fonctions à deux variables. éventuellement les dériver de nouveau par rapport à la première ou deuxième variable. ??PQOn note∂2f∂x2=∂∂x? ∂f∂x? rapport àxdef. On l"appelledérivéepartielledeuxièmedefparrapportàx.On note
∂2f∂x∂y=∂∂x? ∂f∂y? rapport àydef. On l"appelledérivée partielle deuxième defpar rapport à (x,y). ??PQOn note∂2f∂y∂x=∂∂y? ∂f∂x? rapport àxdef. On l"appelledérivée partielle deuxième defpar rapport à (y,x).On note
∂2f∂y2=∂∂y? ∂f∂y? rapport àydef. On l"appelledérivée partielle deuxième defpar rapport à y. ??PQ3.3.Dérivées partielles premières des fonctions à trois variables.Soitf:R×R×R→R
(x,y,z)?→f(x,y,z) une fonction à 3 variables. On dit quefadmet unedérivée première par rapport àxen(x,y,z) si, la dé- rivée de la fonctionf y,z:R→R x?→f(x,y,z) existe enx. On note ∂f∂x:R×R×R→R (x,y,z)?→f?y,z(x,y,z).Pour calculer
∂f∂x, on dérivefpar rapport à la variablexen considérantyetz comme des nombres constants. ??PQDe même∂f∂yest la fonction de trois variables obtenue en dérivantfpar rap- port àyaprès avoir supposéxetzconstants.De même
∂f∂zest la fonction de trois variables obtenue en dérivantfpar rap- port àzaprès avoir supposéxetyconstants. ??PQ3.4.Dérivées partielles deuxièmes des fonctions à trois variables.Siaest l"une des lettresx,yetz,
sibest l"une des lettresx,yetz,2f∂a∂b=∂∂a?
∂f∂b?est la dérivée partielle première par rapport àade la dérivée partielle première
defpar rapport àb. On l"appelle dérivée partielle deuxième defpar rapportà (a,b).
??PQ4.EXTREMUMS SOUS CONTRAINTE:MÉTHODE DELAGRANGEOncherchelesextremumsdelafonctiondedeuxvariablesfsouslacontrainte
c. Objectif :chercher les extremums d"une fonction de deux variablesfsous la contraintec. Limite de la méthode :cette méthode ne fournit que descandidats. Elle donne une liste de couples (x0,y0) et s"il existe un extremum, il doit être dans cette liste. Cas particulier :si la liste des candidats est vide, il n"y a pas d"extremum. Mise en oeuvre :à partir de la fonctionfet de la contraintecon construit une fonction de trois variables g(x,y,λ)=f(x,y)+λc(x,y).On calcule les trois dérivées partielles
??PQLa liste des candidats est l"ensemble des solutions de ???????∂g∂x=0 ∂g∂y=0 ∂g∂λ=0. ??PQExempleOn cherche les extremums de
f(x,y)=4?xy sous la contrainte c(x,y)=x+y-6=0.La fonction associée est
g(x,y,λ)=4?xy+λ(x+y-6). On aLes candidats sont donc les solutions de
??????2 ?y?x+λ=0 2 ?x?y+λ=0 x+y-6=0. ??PQL"équation2?y?x+λ=0
donne y=λ24x.L"équation
2?x?y+λ=0
donne alors -4λ+λ=0 donc-4+λ2=0 puisλ=-2 ouλ=2. ??PQL"équationx+y-6=0 devient alors x+λ24x-6=0 puis2x-6=0.
On a alorsx=3. Mais,y=λ24xdoncy=3.
SIla fonctionfadmet un extremum sous la contraintec, cet extremum est atteint en (3,3) et vaut f(3,3)=12.??PQ5.REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DES FONCTIONS À DEUX VARIABLES´Pour représenter graphiquement une fonction de une variable, on peut
procéder ainsi : on choisit deux axes graduésΔxetΔyqui forment un angle droit.ΔyΔxO??PQPour tracer le point représentatif de?x,f(x)?,(1)On repèrexsur l"axeΔxen le plaçant à distancexdeO-en mesurant de gauche à droite six≥0-en mesurant de droite à gauche six<0(2)On repèref(x) sur l"axeΔyen le plaçant à distancef(x) deO-en mesurant de bas en haut sif(x)≥0-en mesurant de haut en bas sif(x)<0(3)On trace une droite parallèle àΔypassant par le point repéré surΔx(4)On trace une droite parallèle àΔxpassant par le point repéré surΔy(5)Le point représentatif de?x,f(x)?est le point à l"intersection des deux
droites tracées précédemment. La courbe defest l"ensemble des points représentatifs de?x,f(x)?lorsquex prend toutes les valeurs du domaine de définition def. ??PQΔyΔxO3f(3)(3,f(3)) ??PQΔyΔxO-3f(-3)(-3,f(-3)) ??PQPour représenter graphiquement une fonction de deux variables (x,y)?→f(x,y) il faut remplacer la feuille par l"espace. On place dans cet espace trois axesΔx, yetΔzgradués et tels que chaque axe est orthogonale aux deux autres..ΔyΔxΔzO??PQPour tracer le point représentatif de?x,y,f(x,y)?,(1)On repèrexsur l"axeΔxen le plaçant à distancexdeO-en mesurant de gauche à droite six≥0-en mesurant de droite à gauche six<0(2)On repèreysur l"axeΔyen le plaçant à distanceydeO-en mesurant de bas en haut sif(x)≥0-en mesurant de haut en bas sif(x)<0(3)On repèref(x,y) sur l"axeΔzen le plaçant à distancef(x,y) deO-en mesurant d"arrière en avant sif(x,y)≥0-en mesurant d"avant en arrière sif(x,y)<0.(4)On trace une droite parallèle àΔypassant par le point repéré surΔx(5)On trace une droite parallèle àΔxpassant par le point repéré surΔy(6)On trace un pointPà l"intersection des deux droites tracées précédem-
ment(7)On trace la parallèle àΔzen ce point(8)On trace la parallèle àOPpassant par le point repéré surΔz(9)Le point représentatif de (x,y,f(x,y)) est à l"intersection des deux der-
nières droites tracées. (x,y) prend toutes les valeurs du domaine de définition def.ΔzΔyΔxO34Pf(3,4)(3,4,f(3,4)) ??PQf(x,y)=?x2+y2.??PQ6.LIGNES DE NIVEAUSur le graphe d"une fonction à deux variablesf, le point représentatitf de?x,y,f(x,y)?est àhauteurf(x,y).
Uneligne de niveaude hauteurKdefest l"ensemble des couples (x,y) tels quef(x,y)=K. Exemple :sif(x,y)=x+y, la ligne de niveau de hauteurKdefest l"en- semble des (x,y) tels que x+y=K c"est-à-dire y=K-x. ??PQExemple Sif(x,y)=?x2+y2et siK≥0, la ligne de niveau defde hauteurKest l"en- semble des points (x,y) tels que ?x2+y2=K c"est-à-dire x2+y2=K.
C"est un cercle de rayonKet de centreO.
??PQ7.TANGENTES´Sifest une fonction deunevariable, la tangente au graphe defau point d"abscisse 0 est une droite d"équation y=f(x0)+(x-x0)f?(x0). Exemple :sif(x)=2x2, on af?(x)=4x. Six0=1, la tangente au graphe def au point d"abscisse 1 est y=2+(x-1)×4=4x-2. ??PQ ??PQDans le cas d"une fonction à 2 variables, c"est leplan tangentqu"on étudie. Sifest une fonction à deux variables dont on sait calculer les dérivées pre- mières, l"équation du plan tangent àfau point d"abscissex0et ordonnéey0 estExemple :sif(x,y)=x2y3, on a
En le point d"abscissex0=1 et d"ordonnéey0=2, on a alorsAinsi, l"équation du plan tangent est
z=16x+12y-32. ??PQquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] condition d'existence fraction algébrique
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