Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
Le discriminant est strictement positif donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en fait les solutions de l'équa- tion : Calcul des solutions : x1 =
´Equations différentielles linéaires : le cas du discriminant négatif
le cas du discriminant négatif. On commence par un lemme : Lemme 1. Soit ? un réel et f une solution (réelle) de l'équation différentielle y +?2y =.
SECOND DEGRE (Partie 2)
Propriété : Soit A le discriminant du trinôme ax2 + bx + c . - Si A < 0 : L'équation ax2 + bx + c = 0 n'a pas de solution réelle. - Si
SECOND DEGRÉ (Partie 2)
On observe de même que la fonction f est négative sur l'intervalle ?3;2 On a également que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) < 0 est :.
Equations différentielles du second degré
Si r est une solution de l'équation caractéristique la fonction f(t)=ert est alors une solution de l'équation différentielle. Suivant le calcul du discriminant
Équations différentielles appliquées à la physique
19 jun 2017 0 comme les coefficients ? et ?0 sont positifs
3.2 Equations différentielles linéaires du second ordre
Une fonction f est solution de cette équation sur un intervalle I si toujours des solutions éventuellement complexes si le discriminant est négatif ou ...
Résolution des équations différentielles linéaires du second ordre `a
générale de l'équation (?) est somme d'une solution particuli`ere de racine réelle c'est-`a-dire que son discriminant ? = b2 ? 4ac est négatif.
Trinômes du second degré
On appelle discriminant de cette équation le réel = b² – 4ac. • Si > 0 l'équation a deux solutions distinctes
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Une fonction f est solution de cette équation sur un intervalle I si toujours des solutions éventuellement complexes si le discriminant est négatif ou ...
[PDF] SECOND DEGRE (Partie 2) - maths et tiques
Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ax2 + bx + c = 0 où a b et c sont des réels avec a ? 0 Une solution de cette
[PDF] 2 Factorisation racines et signe du trinôme - Xm1 Math
Le discriminant est strictement négatif donc le trinôme n'admet aucune racine réelle L'ensemble solution est donc S = /0
[PDF] Equation du second degré - Parfenoff org
L'existence de solutions pour l'équation ² et la factorisation du polynôme dépendent du signe de ? Si ? > 0 Si ? = 0 Si ? < 0 l'équation
Equation 2nd degré et discriminant polynôme 2nd degré
Si ? = 0 alors l' équation admet une solution double x = ?b/2a Si ? >0 alors l' équation admet deux solutions distinctes x' et x' telles que: x' =( ?b + ??
[PDF] ´Equations différentielles linéaires : le cas du discriminant négatif
Les solutions réelles de l'équation y +?2y = 0 sont les fonctions hAB(x) = Acos ?x + B sin?x Démonstration On vérifie que ces fonctions sont solutions
[PDF] Discriminant et résolution déquations du second degré
Le discriminant étant strictement positif ce polynôme admet les deux racines suivantes: L'ensemble des solutions de l'équation est:
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15 fév 2013 · Solution: ALGORITHME seconddegré VAR a b c delta : REEL DEBUT ECRIRE (" saisissez les valeurs a b et c de l'équation ax²+bx+c=0 : ")
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On pose ?=b2 ?4ac ? est le discriminant de l'équation P(z)=0 ou du trinôme P(z) ? est un nombre réel Premier cas : ?>0
[PDF] Le second degré - Lycée dAdultes
Comme le discriminant ? est négatif la forme canonique ne se factorise pas Il n'y a donc aucune solution à l'équation du second degré
[PDF] equationspdf - Lycée Jean Vilar
? = 17 > 0 donc l'équation admet deux solutions : x = 5 + ?17 2 et x =5 ? ?17 2 3 ? = ?20 < 0 donc l'équation n'admet pas de solution réelle 4
Comment faire quand le delta est négatif ?
Et si ? est strictement négatif, alors il n'y a pas de solutions réelles.Quand le discriminant est négatif ?
Si le discriminant est strictement négatif, il n'a pas de racine carrée réelle et donc l'équation n'admet pas de solution réelle.Quand delta est inférieur à 0 ?
Propriété : Si ? < 0 , alors l'équation f(x)=0 n'admet aucune solution réelle. f ne peut pas s'écrire sous forme factorisée. Si ? = 0 , alors l'équation f(x)=0 admet une unique solution x0=-b2a .- Etape 1 : Calcul du discriminant ? = b² - 4ac. Si ? < 0 : Pas de solution à l'équation ; Si ? = 0 : Une seule solution S = -b/2a ; Si ? > 0 : Deux solutions à l'équation S = {(-b-racine(?))/2a, (-b+racine(?))/2a}.
Ann´ee 2005-2006BTS MAI 2
Chap 11 :Equations diff´erentiellesdu second degr´eEn classe de BTS MAI on se limite aux cas des ´equations diff´erentielles du second degr´e avec
des coefficients constants, c"est-`a-dire aux ´equations faisant intervenir une fonctionyd´efinie sur un
intervalleI, sa d´eriv´eey?et sa d´eriv´ee secondey??(il faut bien sur que la fonctionysoit deux fois
d´erivable surI) du type ay ??(t) +by?(t) +cy(t) =d(t)dans laquellea,betcsont des constantes r´eelles donn´ees (aveca?= 0) etdune fonction donn´ee,
d´erivable surI.I. Equation sans second membre
Se sont les ´equations pour lesquelles il n"y a pas de second membre c"est-`a-dire qued(t) = 0 : ay ??(t) +by?(t) +cy(t) = 0.De la mˆeme mani`ere que pour les ´equations diff´erentielles de degr´e 1, on cherche des solutions
exponentielles c"est-`a-dire sous la formef(t) = erto`urest un nombre complexe fix´e. On a alorsf?(t) =rertetf??(t) =r2ertdonc si on injectefdans l"´equation on obtient : ar2ert+brert+cert= 0 puis (ar2+br+c)ert= 0 et doncar2+br+c= 0 car ert?= 0.
Cette ´equation de degr´e deux s"appelle
l"´equation caract´eristiquede l"´equationay??+by?+cy= 0.Sirest une solution de l"´equation caract´eristique la fonctionf(t) = ertest alors une solution de
l"´equation diff´erentielle. Suivant le calcul du discriminant trois cas apparaissent.On les ´etudie sur des exemples.
1) cas o`uΔ>0
Exemple :Pour l"´equationy??-4y?+ 3y= 0 l"´equation caract´eristique estr2-4r+ 3 = 0. Son discriminant vaut Δ =...et donc les solutions sontr1=...etr2=....Les fonctionsf1(t) = etetf2(t) = e3tsont donc des solutions de l"´equation diff´erentielle et ainsi toute
fonction du typef(t) =k1et+k2e3t, aveck1etk2deux constantes, est une solution de l"´equation diff´erentielle. En faittoutesles solutions dey??-4y?+ 3y= 0 sont de la forme f(t) =k1et+k2e3t, aveck1etk2deux constantes.Page 1/3
Ann´ee 2005-2006BTS MAI 2
2) cas o`uΔ = 0
Exemple :Pour l"´equationy??-4y?+ 4y= 0 l"´equation caract´eristique estr2-4r+ 4 = 0. Son discriminant vaut Δ =...et donc il y a une seule solution `a savoirr=.... La fonctionf(t) = e2test donc une solution de l"´equation diff´erentielle. On peut voir que la fonctiong(t) =te2test aussi solution de l"´equation diff´erentielle : g ?(t) =.........etg??(t) =.........et ainsig??(t)-4g?(t) + 4g(t) =.... Ainsi toute fonction du typef(t) =k1e2t+k2te2t, aveck1etk2deux constantes, est une solution de l"´equation diff´erentielle. En faittoutesles solutions dey??-4y?+ 4y= 0 sont de la forme f(t) =k1e2t+k2te2t, aveck1etk2deux constantes.3) cas o`uΔ<0
Exemple :Pour l"´equationy??-2y?+ 5y= 0 l"´equation caract´eristique estr2-2r+ 5 = 0. Son discriminant vaut Δ =...et donc les solutions sontr1=......etr2=....... Les fonctionsf1(t) =......= et?cos(2t)-isin(2t)?etf2(t) =......= et?cos(2t) +isin(2t)? sont donc des solutions de l"´equation diff´erentielle. Et ainsi toute fonction du typef(t) =m1f1(t) +m2f2(t), avecm1etm2deux constantes, est une solution de l"´equation diff´erentielle.On pr´ef`ere r´e´ecrire ces solutions sous la forme (´equivalente)f(t) =k1etcos(2t) +k2etsin(2t) aveck1
etk2deux constantes. En faittoutesles solutions dey??-2y?+ 5y= 0 sont de la forme f(t) =k1etcos(2t) +k2etsin(2t), aveck1etk2deux constantes.4) Cas g´en´eral
En r´esum´e on a le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 1 :Pour l"´equationay??+by?+cy= 0 on a l"´equation caract´eristiquear2+br+c= 0.
Si Δ>0 il y a deux racinesr1etr2`a l"´equation caract´eristique et les solutions de l"´equation diff´erentielle sont lesf(t) =k1er1t+k2er2t. Si Δ = 0 il n"y a qu"une raciner`a l"´equation caract´eristique et les solutions de l"´equation diff´erentielle sont lesf(t) = (k1+k2t)ert. Si Δ<0 il y a deux racines complexesα±iβ`a l"´equation caract´eristique et les solutions de l"´equation diff´erentielle sont lesf(t) =?k1cos(βt)+k2sin(βt)?eαt. Et pour chaque cas on ak1etk2qui sont deux constantes.Page 2/3
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Remarque :Si on souhaite d´eterminerunesolution particuli`ere, il nous faut deuxconditions car il y a deux constantes `a d´eterminer (k1etk2). Ces conditions peuvent ˆetre multiples mais le plus souventce sont des conditions du genre??f(0) = 3 etf?(0) =-4??ou??f(0) =-1 etf(1) = 2??.II. Equation avec second membre
En classe de BTS MAI on ne s"int´eresse qu"`a des seconds membres de type fonctions polynomiales, fonctions trigonom´etriques ou fonctions exponentielles(ainsi que des m´elanges des trois).Vous aurez syst´ematiquement des indications pour d´eterminer une solution particuli`ere de l"´equa-
tion avec second membre.N´eanmoins une solution particuli`ere est souvent trouvable sous la mˆeme forme que le second membre
(un polynˆome sidest un polynˆome, un produit d"un polynˆome par une exponentielle sidest de cette
forme ...)Et de mˆeme que dans le cas des ´equations du premier ordre toutes les solutions sont donn´ees par
le th´eor`eme :Th´eor`eme 2 :L"ensemble des solutions de l"´equationay??(t)+by?(t)+cy(t) =d(t) sont les fonctions
g(t) =f(t) +f0(t) o`uf0est une solution particuli`ere etfl"une des solutions de l"´equation homog`ene (c"est-`a-dire sans second membre)ay??(t) +by?(t) +cy(t) = 0.Page 3/3
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